Бесконечный продукт - Infinite product

В математика, для последовательность комплексных чисел а₁, а₂, а₃, ... бесконечный продукт

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

определяется как предел из частичные продукты а₁а₂...а_п в качестве п неограниченно увеличивается. Говорят, что продукт сходиться когда предел существует и не равен нулю. В противном случае продукт считается расходиться. Предел нуля рассматривается специально, чтобы получить результаты, аналогичные результатам для бесконечные суммы. Некоторые источники допускают сходимость к 0, если есть только конечное число нулевых множителей и произведение ненулевых множителей ненулевое, но для простоты мы не допустим этого здесь. Если произведение сходится, то предел последовательности а_п в качестве п неограниченно возрастает, должно быть 1, в то время как обратное, вообще говоря, неверно.

Наиболее известными примерами бесконечных произведений, вероятно, являются некоторые из формул для π, например, следующие два продукта, соответственно Viète (Формула Вьете, первое опубликованное бесконечное произведение по математике) и Джон Уоллис (Уоллис продукт ):

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).}$

Критерии сходимости

Произведение положительных действительных чисел

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

сходится к ненулевому действительному числу тогда и только тогда, когда сумма

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$

сходится. Это позволяет переводить критерии сходимости для бесконечных сумм в критерии сходимости для бесконечных произведений. Тот же критерий применяется к произведениям произвольных комплексных чисел (включая отрицательные действительные числа), если логарифм понимается как фиксированный ветвь логарифма что удовлетворяет ln (1) = 0, при условии, что бесконечное произведение расходится, когда бесконечно много а_п выпадают за пределы области ln, тогда как конечное число таких а_п в сумме можно не учитывать.

Для продуктов из реалов, в которых каждый ${\displaystyle a_{n}\geq 1}$, записанный, например, как ${\displaystyle a_{n}=1+p_{n},}$ куда ${\displaystyle p_{n}\geq 0}$, границы

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$

показать, что бесконечное произведение сходится, если бесконечная сумма п_п сходится. Это зависит от Теорема о монотонной сходимости. Мы можем показать обратное, заметив, что если ${\displaystyle p_{n}\to 0}$, тогда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1,}$

и по предельный сравнительный тест следует, что две серии

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }p_{n},}$

эквивалентны, что означает, что либо они сходятся, либо расходятся.

То же доказательство также показывает, что если ${\displaystyle a_{n}=1-q_{n}}$ для некоторых ${\displaystyle 0\leq q_{n}<1,}$ тогда ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-q_{n})}$ сходится к ненулевому числу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q_{n}}$ сходится.

Если сериал ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ расходится на ${\displaystyle -\infty }$, то последовательность частичных произведений а_п сходится к нулю. Говорят, что бесконечное произведение расходятся к нулю.^[1]

Для случая, когда ${\displaystyle p_{n}}$ имеют произвольные знаки, сходимость суммы ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ не гарантирует сходимость продукта ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$. Например, если ${\displaystyle p_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}$, тогда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ сходится, но ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ расходится к нулю. Однако если ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|}$ сходится, то произведение ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ сходится абсолютно- то есть факторы можно переставлять в любом порядке, не изменяя ни сходимость, ни предельное значение бесконечного произведения.^[2] Кроме того, если ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}}$ сходится, то сумма ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ и продукт ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.^[3]

Представление функций продукта

Основная статья: Теорема факторизации Вейерштрасса

Одним из важных результатов, касающихся бесконечного количества продуктов, является то, что каждый вся функция ж(z) (то есть каждая функция, которая голоморфный по всему комплексная плоскость ) можно разложить на бесконечное произведение целых функций, каждая из которых имеет не более одного корня. В общем, если ж имеет корень порядка м в начале и имеет другие сложные корни в ты₁, ты₂, ты₃, ... (перечисленные с кратностями, равными их порядкам), то

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }$

куда λ_п неотрицательные целые числа, которые могут быть выбраны так, чтобы продукт сходился, и ${\displaystyle \phi (z)}$ - некоторая целая функция (что означает, что термин перед произведением не будет иметь корней в комплексной плоскости). Приведенная выше факторизация не уникальна, так как зависит от выбора значений для λ_п. Однако для большинства функций будет минимальное неотрицательное целое число п такой, что λ_п = п дает сходящийся продукт, называемый каноническое представление продукта. Этот п называется классифицировать канонического продукта. В том случае, если п = 0, это принимает вид

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).}$

Это можно рассматривать как обобщение основная теорема алгебры, поскольку для многочленов произведение становится конечным и φ(z) постоянна.

В дополнение к этим примерам следует особо отметить следующие изображения:

Функция	Бесконечное представление продукта (я)	Примечания
Простой полюс	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c}{c-z}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}}\\{\frac {1}{1-z}}&=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)\end{aligned}}}$
Функция Sinc	${\displaystyle {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$	Это связано с Эйлер. Формула Уоллиса для π является частным случаем этого.
Взаимная гамма-функция	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}}$	Schlömilch
Сигма-функция Вейерштрасса	${\displaystyle \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}}$	Здесь ${\displaystyle \Lambda _{*}}$ - решетка без начала координат.
Символ Q-Pochhammer	${\displaystyle (z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})}$	Широко используется в q-аналог теория. В Функция Эйлера это особый случай.
Рамануджан тета-функция	${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}}$	Выражение Тройное произведение Якоби, также используется в выражении Якоби тета-функция
Дзета-функция Римана	${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$	Здесь пп обозначает n-й простое число. Это частный случай Произведение Эйлера.

Последнее из них не является представлением продукта того же типа, о котором говорилось выше, поскольку ζ не целиком. Скорее, приведенное выше представление продукта ζ(z) сходится точно при Re (z)> 1, где это аналитическая функция. По методикам аналитическое продолжение, эта функция может быть однозначно расширена до аналитической функции (все еще обозначаемой ζ(z)) на всей комплексной плоскости, кроме точки z = 1, где есть простой столб.

Смотрите также

• Бесконечные произведения в тригонометрии
• Бесконечная серия
• Непрерывная дробь
• Бесконечное выражение
• Итерированная двоичная операция

Рекомендации

1. Джеффрис, Гарольд; Джеффрис, Берта Свирлс (1999). Методы математической физики. Кембриджская математическая библиотека (3-е пересмотренное издание). Издательство Кембриджского университета. п. 52. ISBN  1107393671.
2. Тренч, Уильям Ф. (1999). «Условная сходимость бесконечных произведений» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 106: 646–651. Дои:10.1080/00029890.1999.12005098. Получено 10 декабря, 2018.
3. Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов. Лондон: Blackie & Son Ltd.

• Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов. Dover Publications. ISBN  978-0-486-66165-0.
• Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Бостон: Макгроу Хилл. ISBN  0-07-054234-1.
• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А., ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0.

внешняя ссылка

• Бесконечные продукты от Wolfram Math World
• Коллекция бесконечных продуктов - I
• Коллекция бесконечных продуктов - II