Рамануджан тета-функция - Ramanujan theta function

Не путать с имитация тета-функций обнаружил Рамануджан.

В математика особенно q-аналог теория, Рамануджан тета-функция обобщает форму Якоби тета-функции, фиксируя их общие свойства. В частности, Тройное произведение Якоби принимает особенно элегантную форму, когда написано в терминах тэты Рамануджана. Функция названа в честь Шриниваса Рамануджан.

Определение

Тета-функция Рамануджана определяется как

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}}$

для |ab| <1. Тройное произведение Якоби личность тогда принимает форму

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

Здесь выражение ${\displaystyle (a;q)_{n}}$ обозначает символ q-Pochhammer. Идентичности, которые следуют из этого, включают

${\displaystyle \varphi (q)=f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={(-q;q^{2})_{\infty }^{2}(q^{2};q^{2})_{\infty }}}$

и

${\displaystyle \psi (q)=f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}}$

и

${\displaystyle f(-q)=f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }}$

это последнее Функция Эйлера, который тесно связан с Функция Дедекинда эта. Якоби тета-функция в терминах тета-функции Рамануджана можно записать как:

${\displaystyle \vartheta (w,q)=f(qw^{2},qw^{-2})}$

Интегральные представления

У нас есть следующее интегральное представление для полной двухпараметрической формы тета-функции Рамануджана:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {2ae^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log(ab)}}t\right)}{a^{3}b-2a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log(ab)}}t\right)+1}}\right]dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {2be^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log(ab)}}t\right)}{ab^{3}-2b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log(ab)}}t\right)+1}}\right]dt.\end{aligned}}}$

Частные случаи тета-функций Рамануджана, данные ${\displaystyle \varphi (q):=f(q,q)}$ OEIS: A000122 и ${\displaystyle \psi (q):=f(q,q^{3})}$ OEIS: A010054 ^[2] также имеют следующие интегральные представления:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (q)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4q\left(1-q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log(q)}}t\right)\right)}{q^{4}-2q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log(q)}}t\right)+1}}\right]dt\\\psi (q)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\left(1-{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log(q)}}t\right)\right)}{q-2{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log(q)}}t\right)+1}}\right]dt.\end{aligned}}}$

Это приводит к нескольким частным случаям интегралов для констант, определяемых этими функциями, когда ${\displaystyle q:=\exp(-k\pi )}$ (ср. Явные значения тета-функции ). В частности, мы имеем ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-k\pi }\right)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{k\pi }\left(e^{2k\pi }-\cos \left({\sqrt {2\pi k}}t\right)\right)}{e^{4k\pi }-2e^{2k\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi k}}t\right)+1}}\right]dt\\{\frac {\pi ^{1/4}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{\pi }\left(e^{2\pi }-\cos \left({\sqrt {2\pi }}t\right)\right)}{e^{4\pi }-2e^{2\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi }}t\right)+1}}\right]dt\\{\frac {\pi ^{1/4}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {2}}+2}}{2}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{2\pi }\left(e^{4\pi }-\cos \left(2{\sqrt {\pi }}t\right)\right)}{e^{8\pi }-2e^{4\pi }\cos \left(2{\sqrt {\pi }}t\right)+1}}\right]dt\\{\frac {\pi ^{1/4}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}{2^{1/4}3^{3/8}}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{3\pi }\left(e^{6\pi }-\cos \left({\sqrt {6\pi }}t\right)\right)}{e^{12\pi }-2e^{6\pi }\cos \left({\sqrt {6\pi }}t\right)+1}}\right]dt\\{\frac {\pi ^{1/4}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{5^{3/4}}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{5\pi }\left(e^{10\pi }-\cos \left({\sqrt {10\pi }}t\right)\right)}{e^{20\pi }-2e^{10\pi }\cos \left({\sqrt {10\pi }}t\right)+1}}\right]dt.\end{aligned}}}$

и это

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi \left(e^{-k\pi }\right)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {k\pi }}t\right)-e^{k\pi /2}}{\cos \left({\sqrt {k\pi }}t\right)-\cosh \left({\frac {k\pi }{2}}\right)}}\right]dt\\{\frac {\pi ^{1/4}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\pi /8}}{2^{5/8}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\pi }}t\right)-e^{\pi /2}}{\cos \left({\sqrt {\pi }}t\right)-\cosh \left({\frac {\pi }{2}}\right)}}\right]dt\\{\frac {\pi ^{1/4}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\pi /4}}{2^{5/4}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {2\pi }}t\right)-e^{\pi }}{\cos \left({\sqrt {2\pi }}t\right)-\cosh \left(\pi \right)}}\right]dt\\{\frac {\pi ^{1/4}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\left({\sqrt {2}}+1\right)^{1/4}e^{\pi /16}}{2^{7/16}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}t\right)-e^{\pi /4}}{\cos \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}t\right)-\cosh \left({\frac {\pi }{4}}\right)}}\right]dt.\end{aligned}}}$

Применение в теории струн

Тета-функция Рамануджана используется для определения критические размеры в Теория бозонных струн, теория суперструн и М-теория.

использованная литература

1. Шмидт, М. Д. (2017). «Преобразования производящей функции квадратного ряда» (PDF). Журнал неравенств и специальных функций. 8 (2).
2. Вайсштейн, Эрик В. «Рамануджан Тета-функции». MathWorld. Получено 29 апреля 2018.

• Бейли, В. Н. (1935). Обобщенный гипергеометрический ряд. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 32. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Базовая гипергеометрическая серия. Энциклопедия математики и ее приложений. 96 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-83357-4.
• «Функция Рамануджана», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Каку, Мичио (1994). Гиперпространство: научная одиссея через параллельные вселенные, искривления времени и десятое измерение. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-286189-1.
• Вайсштейн, Эрик В. «Рамануджан Тета-функции». MathWorld.