Функция Дедекинда эта - Dedekind eta function

Не путать с Эта функция Вейерштрасса или же Эта функция Дирихле.

Η-функция Дедекинда в верхней полуплоскости

В математика, то Функция Дедекинда эта, названный в честь Ричард Дедекинд, это модульная форма веса 1/2 и является функцией, определенной на верхняя полуплоскость из сложные числа, где мнимая часть положительна. Это также происходит в бозонная теория струн.

Определение

Для любого комплексного числа ${\displaystyle \tau }$ с ${\displaystyle \mathrm {Im} (\tau )>0}$, позволять ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$, то эта функция определяется как

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi {\rm {{i}\tau }}}{12}}\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2n\pi {\rm {{i}\tau }}})=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}).}$

Обозначение ${\displaystyle q\equiv e^{2\pi {\rm {{i}\tau }}}\,}$ теперь стандарт в теория чисел, хотя многие старые книги используют q для ном ${\displaystyle e^{\pi {\rm {{i}\tau }}}\,}$. Возводя уравнение эта в 24-й степени и умножая на (2π)¹² дает

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$

где Δ - модульный дискриминант. Наличие 24 можно понять по связи с другими явлениями, такими как 24-мерный Решетка пиявки.

Функция эта есть голоморфный на верхней полуплоскости, но не может быть продолжена аналитически за ее пределы.

Модуль Эйлера фи на единичном круге, раскрашенный так, что черный = 0, красный = 4

Действительная часть модульного дискриминанта как функция q.

Эта функция удовлетворяет условию функциональные уравнения^[1]

${\displaystyle \eta (\tau +1)=e^{\frac {\pi {\rm {i}}}{12}}\eta (\tau ),\,}$

${\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-{\rm {i}}\tau }}\eta (\tau ).\,}$

В более общем плане предположим а, б, c, d целые числа с объявление − до н.э = 1, так что

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$

является преобразованием, принадлежащим модульная группа. Можно предположить, что либо c > 0, или c = 0 и d = 1. Тогда

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),}$

куда

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=e^{\frac {b{\rm {i}}\pi }{12}}\quad (c=0,d=1);}$

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=e^{{\rm {i}}\pi [{\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}]}\quad (c>0).}$

Здесь ${\displaystyle s(h,k)}$ это Дедекиндовая сумма

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}$

Благодаря этим функциональным уравнениям эта-функция является модульная форма веса 1/2 и уровня 1 для персонажа 24 порядка метаплектическая двойная крышка модульной группы и может использоваться для определения других модульных форм. В частности модульный дискриминант из Weierstrass можно определить как

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}\,}$

и является модульной формой веса 12. (Некоторые авторы опускают множитель при (2π)¹², так что разложение в ряд имеет целые коэффициенты).

В Тройное произведение Якоби означает, что эта (с точностью до множителя) якоби тета-функция для специальных значений аргументов:

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp({\tfrac {1}{12}}\pi in^{2}\tau ),}$^[2]

куда ${\displaystyle \chi (n)}$ это" Dirichlet персонаж по модулю 12 с ${\displaystyle \chi (\pm 1)=1}$,${\displaystyle \chi (\pm 5)=-1}$. Ясно,

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\tfrac {\pi i\tau }{12}}\vartheta ({\tfrac {\tau +1}{2}};3\tau ).}$^{[нужна цитата ]}

В Функция Эйлера

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right),}$

относится к ${\displaystyle \eta \,}$ к ${\displaystyle \phi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )\,}$, имеет степенной ряд Тождество Эйлера:

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

Поскольку функцию eta легко вычислить численно из любого степенной ряд, при вычислениях часто бывает полезно выразить другие функции в терминах этого, когда это возможно, а произведения и частные функций эта, называемые частными эта, могут использоваться для выражения большого разнообразия модульных форм.

На рисунке на этой странице показан модуль функции Эйлера: дополнительный множитель ${\displaystyle q^{1/24}}$ между this и eta почти нет никакой визуальной разницы (это только вводит крошечный укол в начале координат). Таким образом, это изображение можно рассматривать как изображение эта как функция от q.

Комбинаторные тождества

Теория алгебраические персонажи из аффинные алгебры Ли дает начало большому классу ранее неизвестных тождеств для функции эта. Эти тождества вытекают из Формула характера Вейля – Каца, и более конкретно из так называемых «тождеств знаменателя». Сами персонажи позволяют строить обобщения Тета-функция Якоби которые преобразуются под модульная группа; вот что ведет к идентичностям. Пример одной такой новой идентичности^[3] является

${\displaystyle \eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}}$

куда ${\displaystyle q=\exp 2\pi i\tau }$ это q-аналог или «деформация» самый высокий вес модуля.

Особые ценности

Приведенная выше связь с функцией Эйлера вместе со специальными значениями последней, легко вывести, что

${\displaystyle \eta (i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (3i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2(3^{1/3})(3+2{\sqrt {3}})^{1/12}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (4i)={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\;\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{29}/16}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (e^{2\pi i/3})=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3/2}}{2\pi }}}$

Коэффициенты Eta

Эти-факторы определяются частными вида

${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

Где ${\displaystyle d}$ является целым неотрицательным числом и ${\displaystyle r_{d}}$ любое целое число. Линейные комбинации эта-частных при мнимых квадратичных аргументах могут быть алгебраический, в то время как комбинации коэффициентов эта могут даже быть интеграл. Например, определите,

${\displaystyle j(\tau )={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}{\big )}^{8}+2^{8}{\big (}{\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{16}{\Big )}^{3}}$

${\displaystyle j_{2A}(\tau )={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}{\big )}^{12}+2^{6}{\big (}{\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{12}{\Big )}^{2}}$

${\displaystyle j_{3A}(\tau )={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}{\big )}^{6}+3^{3}{\big (}{\tfrac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{6}{\Big )}^{2}}$

${\displaystyle j_{4A}(\tau )={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}{\big )}^{4}+4^{2}{\big (}{\tfrac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{4}{\Big )}^{2}={\Big (}{\tfrac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}{\Big )}^{24}}$

с 24-й степенью Модульная функция Weber ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau )}$. Потом,

${\displaystyle j{\Big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\Big )}=-640320^{3},\quad e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots }$

${\displaystyle j_{2A}{\Big (}{\tfrac {\sqrt {-58}}{2}}{\Big )}=396^{4},\qquad \quad e^{\pi {\sqrt {58}}}\approx 396^{4}-104.00000017\dots }$

${\displaystyle j_{3A}{\Big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-89/3}}}{2}}{\Big )}=-300^{3},\quad e^{\pi {\sqrt {89/3}}}\approx 300^{3}+41.999971\dots }$

${\displaystyle j_{4A}{\Big (}{\tfrac {\sqrt {-7}}{2}}{\Big )}=2^{12},\qquad \quad \quad e^{\pi {\sqrt {7}}}\approx 2^{12}-24.06\dots }$

и так далее, значения, которые появляются в Рамануджан – Сато серия.

Эта-коэффициенты также могут быть полезным инструментом для описания основ модульные формы, которые, как известно, сложно вычислить и выразить напрямую. В 1993 году Бэзил Гордон и Ким Хьюз доказали, что если коэффициент эта ${\displaystyle \eta _{g}}$ формы ${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$ удовлетворяет

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}{\text{ and,}}}$

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}},}$

тогда ${\displaystyle \eta _{g}}$ это масса ${\displaystyle k}$ модульная форма для подгруппа конгруэнции ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ (вплоть до голоморфность ) куда

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.}$^[4]

Этот результат был расширен в 2019 г., так что обратное верно для случаев, когда ${\displaystyle N}$ является совмещать к ${\displaystyle 6}$, и остается открытым, что исходная теорема точна для всех целых чисел ${\displaystyle N}$.^[5] Это также означает, что любой модульный коэффициент эта для любого уровень ${\displaystyle n}$ подгруппа конгруэнции также должна быть модульная форма для группы ${\displaystyle \Gamma (N)}$. Хотя эти теоремы характеризуют модульный эти частные, условие голоморфность необходимо проверять отдельно, используя теорему, полученную из работы Жерара Лигоза.^[6] и Ив Мартен:^[7]

Если ${\displaystyle \eta _{g}}$ является эта-частным, удовлетворяющим указанным выше условиям для целого числа ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ являются взаимно простыми целыми числами, то порядок обращения в нуль на куспид ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ относительно ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ является

${\displaystyle {\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd(d,\delta )^{2}r_{\delta }}{\gcd(d,{\frac {N}{\delta }})d\delta }}}$.

Эти теоремы предоставляют эффективные средства создания голоморфных модулярных эта-факторных, однако этого может быть недостаточно для построения базиса для векторное пространство модульных форм и бугорки. Полезная теорема для ограничения числа рассматриваемых модулярных факторов эта утверждает, что голоморфный вес ${\displaystyle k}$ модульный коэффициент эта ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ должен удовлетворить

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leq \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min(2,{\text{ord}}_{p}(N))},}$

куда ${\displaystyle {\text{ord}}_{p}(N)}$ обозначает наибольшее целое число ${\displaystyle m}$ такой, что ${\displaystyle p^{m}\mid N}$.^[8]Эти результаты приводят к нескольким характеристикам пространств модулярных форм, которые могут быть охарактеризованы модулярными факторами эта.^[9] С использованием градуированное кольцо структуры на кольце модулярных форм, мы можем вычислить базы векторных пространств модулярных форм, составленных из ${\displaystyle \mathbb {C} }$-линейные комбинации эта-частных. Например, если мы предположим ${\displaystyle N=pq}$ это полупервичный то следующий процесс может использоваться для вычисления базиса эта-частного ${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{0}(N))}$.^[10]

Шаг 1. Установите полупростое число ${\displaystyle N=pq}$ который взаимно прост с 6. Мы знаем, что любое модульное отношение эта может быть найдено с помощью приведенных выше теорем, поэтому разумно вычислить их алгоритмически.

Шаг 2. Вычислите размер ${\displaystyle D}$ из ${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{0}(N))}$. Это говорит нам, сколько линейно независимых модульных коэффициентов эта нам необходимо вычислить, чтобы сформировать основу.

Шаг 3: Уменьшите количество рассматриваемых коэффициентов эта. Для полупростых чисел мы можем уменьшить количество разбиений, используя оценку

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|}$

и заметив, что сумма порядков исчезновения на куспидах ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ должен равняться

${\displaystyle S:={\frac {(p+1)(q+1)}{6}}}$.^[11]

Шаг 4. Найдите все разделы ${\displaystyle S}$ на 4 кортежа (есть 4 куспида ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$), и среди них рассмотрим только разбиения, удовлетворяющие условиям Гордона и Хьюза (мы можем преобразовать порядки обращения в нуль в показатели). Каждому из этих разделов соответствует уникальный коэффициент эта.

Шаг 5. Определите минимальное количество терминов в q-расширение каждого фактора эта, необходимого для однозначной идентификации элементов (здесь используется результат, известный как граница Штурма). Затем используйте линейную алгебру, чтобы определить максимальное независимое множество среди этих частных эта.

Шаг 6. Предполагая, что мы не нашли ${\displaystyle D}$ много линейно независимых эта-частных. Найдите подходящее векторное пространство ${\displaystyle M_{k'}(\Gamma _{0}(N))}$ такой, что ${\displaystyle k'}$ и ${\displaystyle M_{k'}(\Gamma _{0}(N))}$ охватывает (слабо голоморфный ) эти частные,^[12] и ${\displaystyle M_{k'-k}(\Gamma _{0}(N))}$ содержит коэффициент эта ${\displaystyle \eta _{g}}$.

Шаг 7. Взять вес ${\displaystyle k}$ модульная форма ${\displaystyle f}$ не в промежутке наших вычисленных эта-частных и вычислить ${\displaystyle f\eta _{g}}$ как линейная комбинация эта-частных в ${\displaystyle M_{k'}(\Gamma _{0}(N))}$ а затем разделить на ${\displaystyle \eta _{g}}$. Результатом будет выражение ${\displaystyle f}$ как линейная комбинация отношений эта по желанию. Повторяйте это до тех пор, пока не будет сформирована основа.

Смотрите также

• Формула Чоула – Сельберга
• Рамануджан – Сато серия
• q-серия
• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Функция распределения (теория чисел)
• Формула предела Кронекера
• Аффинная алгебра Ли

Рекомендации

1. Сигель, К. (1954). "Простое доказательство ${\displaystyle \eta (-1/\tau )=\eta (\tau ){\sqrt {\tau /{\rm {i}}}}\,}$". Математика. 1: 4. Дои:10.1112 / S0025579300000462.
2. Удар, Дэниел (1998), Автоморфные формы и представления, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-55098-X
3. Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-48412-X
4. Бэзил Гордон и Ким Хьюз. Мультипликативные свойства η-произведений. II. В памяти Эмиля Гроссвальда: теория чисел и связанный с ней анализ, том 143 Contemp. Math., Страницы 415–430. Амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1993.
5. Майкл Аллен и др. «Эти-частные простых или полупростых уровней и эллиптических кривых». In: arXiv e-prints, arXiv:1901.10511 (Январь 2019 г.), arXiv:1901.10511. arXiv:1901.10511 [math.NT].
6. Г. Лигозат. Модульные курсы жанра 1. U.E.R. Mathématique, Université Paris XI, Orsay, 1974. Publication Mathématique d’Orsay, No. 75 7411.
7. Ив Мартен. Мультипликативные η-факторы. Пер. Амер. Математика. Soc., 348 (12): 4825–4856, 1996.
8. Джереми Роуз и Джон Дж. Уэбб. О пространствах модулярных форм, натянутых на эта-факторы. Adv. Матем., 272: 200–224,2015.
9. Джереми Роуз и Джон Дж. Уэбб. О пространствах модулярных форм, натянутых на эта-факторы. Adv. Матем., 272: 200–224,2015.
10. Майкл Аллен и др. «Эти-частные простых или полупростых уровней и эллиптических кривых». In: arXiv e-prints, arXiv:1901.10511 (Январь 2019 г.), arXiv:1901.10511. arXiv:1901.10511 [math.NT].
11. Майкл Аллен и др. «Эти-частные простых или полупростых уровней и эллиптических кривых». In: arXiv e-prints, arXiv:1901.10511 (Январь 2019 г.), arXiv:1901.10511. arXiv:1901.10511 [math.NT].
12. Джереми Роуз и Джон Дж. Уэбб. О пространствах модулярных форм, натянутых на эта-факторы. Adv. Матем., 272: 200–224,2015.

дальнейшее чтение

• Том М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд), Тексты для выпускников по математике 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN  3-540-97127-0 См. Главу 3.
• Нил Коблитц, Введение в эллиптические кривые и модульные формы (2-е изд.), Тексты для выпускников по математике 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN  3-540-97966-2