Эллиптические функции Вейерштрасса - Weierstrasss elliptic functions

«P-функция» перенаправляется сюда. Для функции фазового пространства, представляющей квантовое состояние, см. Представление Глаубера – Сударшана P.

В математика, Эллиптические функции Вейерштрасса находятся эллиптические функции которые принимают особенно простую форму; они названы в честь Карл Вейерштрасс. Этот класс функций также называют p-функции и обычно пишется с использованием символа ℘ (каллиграфическая строчная буква p; Unicode U + 2118, г. Латекс wp). Функции ℘ составляют разветвленные двойные покрытия из Сфера Римана посредством тор, разветвленная в четырех точках. Их можно использовать для параметризации эллиптические кривые над комплексными числами, тем самым устанавливая эквивалентность комплексные торы. Род одно решение дифференциальные уравнения можно записать в терминах эллиптических функций Вейерштрасса. Примечательно, что простейшие периодические решения Уравнение Кортевега – де Фриза часто записываются в терминах p-функций Вейерштрасса.

Символ функции P Вейерштрасса

Модель p-функции Вейерштрасса

Определения

Функция P Вейерштрасса, определенная над подмножеством комплексная плоскость используя стандартную технику визуализации, в которой белый соответствует полюсу, черный - нулю, а максимальный насыщенность к ${\displaystyle \left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.}$ Обратите внимание на правильную решетку полюсов и две чередующиеся решетки нулей.

В Эллиптическая функция Вейерштрасса можно определить тремя тесно связанными способами, каждый из которых обладает определенными преимуществами.

• Один является функцией комплексной переменной z и решетка Λ в комплексной плоскости.

• Другой - с точки зрения z и два сложные числа ω₁ и ω₂ определение пары образующих или периодов решетки.

  Что касается двух периодов, Эллиптическая функция Вейерштрасса - эллиптическая функция с периодами ω₁ и ω₂ определяется как

  ${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m\omega _{1}+n\omega _{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.}$

  потом ${\displaystyle \Lambda =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ точки решетка периодов, так что

  ${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}$

  для любой пары образующих решетки определяет функцию Вейерштрасса как функцию комплексной переменной и решетки.

• Третий - с точки зрения z и модуль τ в верхняя полуплоскость. Это связано с предыдущим определением следующим образом: τ = ω₂/ω₁, которая по обычному выбору на паре периодов находится в верхней полуплоскости. Используя этот подход, для фиксированных z функции Вейерштрасса становятся модульные функции из τ.

  Если ${\displaystyle \tau }$ - комплексное число в верхней полуплоскости, то

  ${\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n+m\tau \neq 0}\left\{{1 \over (z+m+n\tau )^{2}}-{1 \over (m+n\tau )^{2}}\right\}.}$

  Приведенная выше сумма однородна степени минус два, из чего мы можем определить функцию Вейерштрасса для любой пары периодов, как

  ${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}.}$

  Мы можем очень быстро вычислить ℘ в терминах тета-функции; поскольку они сходятся так быстро, это более быстрый способ вычисления ℘, чем ряд, который мы использовали для его определения. Формула здесь

  ${\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over 3}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]}$

  Есть второй порядок столб в каждой точке решетки периодов (включая начало координат). С этими определениями ${\displaystyle \wp (z)}$ является четной функцией и ее производной по z, ℘ ′, - нечетная функция.

Дальнейшее развитие теории эллиптические функции показывает, что функция Вейерштрасса определяется с точностью до добавления константы и умножения на ненулевую константу только положением и типом полюсов, среди всех мероморфные функции с заданной решеткой периодов.

Инварианты

Действительная часть инварианта грамм₃ как функция нома q на единичном диске.

Мнимая часть инварианта грамм₃ как функция нома q на единичном диске.

В проколотом районе начала координат Серия Laurent расширение ${\displaystyle \wp }$ является

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=z^{-2}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+O(z^{6})}$

куда

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

Цифры грамм₂ и грамм₃ известны как инварианты.

Суммы после коэффициентов 60 и 140 - это первые два Серия Эйзенштейна, которые модульные формы если рассматривать как функции грамм₄(τ) и грамм₆(τ)соответственно из τ = ω₂/ω₁ с Я(τ) > 0.

Обратите внимание, что грамм₂ и грамм₃ находятся однородные функции степени −4 и −6; то есть,

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$

Таким образом, по соглашению часто пишут ${\displaystyle g_{2}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ с точки зрения отношение периодов ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ и возьми ${\displaystyle \tau }$ лежать в верхняя полуплоскость. Таким образом, ${\displaystyle g_{2}(\tau )=g_{2}(1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ и ${\displaystyle g_{3}(\tau )=g_{3}(1,\omega _{2}/\omega _{1})}$.

В Ряд Фурье за ${\displaystyle g_{2}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ можно записать в терминах квадрата ном ${\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}$ в качестве

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$

куда ${\displaystyle \sigma _{a}(k)}$ это делительная функция. Эта формула может быть переписана в терминах Серия Ламберта.

Инварианты могут быть выражены через Тета-функции Якоби. Этот метод очень удобен для численного расчета: тета-функции очень быстро сходятся. В обозначениях Абрамовица и Стегуна, но обозначая первобытные периоды ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$, инварианты удовлетворяют

${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {4}{3}}\left({\frac {\pi }{\omega _{1}}}\right)^{4}(a^{8}-a^{4}b^{4}+b^{8})={\frac {2}{3}}\left({\frac {\pi }{\omega _{1}}}\right)^{4}(a^{8}+b^{8}+c^{8})}$

${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {8}{27}}\left({\frac {\pi }{\omega _{1}}}\right)^{6}(a^{12}-{\frac {3}{2}}a^{8}b^{4}-{\frac {3}{2}}a^{4}b^{8}+b^{12})}$"Функции Wolfram".

куда

${\displaystyle a=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )}$

${\displaystyle b=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )}$

${\displaystyle c=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )}$

и ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ это отношение периодов, ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ это ном, и ${\displaystyle \theta _{m}}$ и ${\displaystyle \vartheta _{mn}}$ альтернативные обозначения.

Особые случаи

Если инварианты грамм₂ = 0, грамм₃ = 1, то это называется эквиангармонический дело;

грамм₂ = 1, грамм₃ = 0 - это лемнискатический дело.

Дифференциальное уравнение

В этих обозначениях функция удовлетворяет следующему дифференциальное уравнение:

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},\,}$

где зависимость от ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{2}}$ подавляется.

Это соотношение можно быстро проверить, сравнив полюса обеих сторон, например полюс на z = 0 lhs равно

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}{\Big |}_{z=0}\sim {\frac {4}{z^{6}}}-{\frac {24}{z^{2}}}\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{4}}}-80\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{6}}}}$

в то время как полюс на z = 0 из

${\displaystyle [\wp (z)]^{3}{\Big |}_{z=0}\sim {\frac {1}{z^{6}}}+{\frac {9}{z^{2}}}\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{4}}}+15\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{6}}}.}$

Сравнение этих двух дает приведенное выше соотношение.

Интегральное уравнение

Эллиптическая функция Вейерштрасса может быть задана как обратная к эллиптический интеграл.

Позволять

${\displaystyle u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$

Здесь, грамм₂ и грамм₃ принимаются за константы.

Тогда есть

${\displaystyle y=\wp (u).}$

Сказанное выше следует непосредственно из интегрирования дифференциального уравнения.

Модульный дискриминант

Действительная часть дискриминанта как функция нома q на единичном диске.

В модульный дискриминант Δ определяется как частное по 16 дискриминант правой части приведенного выше дифференциального уравнения:

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.\,}$

Это изучается само по себе, как куспид, в модульная форма теория (то есть как функция решетки периодов).

Обратите внимание, что ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$ куда ${\displaystyle \eta }$ это Функция Дедекинда эта.

Наличие 24 можно понять по связи с другими вхождениями, такими как функция эта и Решетка пиявки.

Дискриминант представляет собой модульную форму веса 12. То есть под действием модульная группа, он преобразуется как

${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$

с τ - коэффициент полупериода, и а,б,c и d целые числа, с объявление − до н.э = 1.

Для коэффициентов Фурье ${\displaystyle \Delta }$, видеть Рамануджан тау функция.

Константы е₁, е₂ и е₃

Рассмотрим кубическое полиномиальное уравнение 4т³ − грамм₂т − грамм₃ = 0 с корнями е₁, е₂, и е₃. Его дискриминант в 16 раз больше модульного дискриминанта Δ = грамм₂³ − 27грамм₃². Если он не равен нулю, никакие два из этих корней не равны. Поскольку квадратичный член этого кубического многочлена равен нулю, корни связаны уравнением

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.\,}$

Линейные и постоянные коэффициенты (грамм₂ и грамм₃соответственно) связаны с корнями уравнениями (см. Элементарный симметричный многочлен ).^[1]

${\displaystyle g_{2}=-4\left(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}\right)=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)}$

${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$

Корни е₁, е₂, и е₃ уравнения ${\displaystyle 4x^{3}-g_{2}x-g_{3}=0}$ зависит от τ и может быть выражено через тета-функции. Как и прежде, пусть,

${\displaystyle a=\theta _{2}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{10}(0;\tau )}$

${\displaystyle b=\theta _{3}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{00}(0;\tau )}$

${\displaystyle c=\theta _{4}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{01}(0;\tau )}$

тогда

${\displaystyle e_{1}(\tau )={\tfrac {\pi ^{2}}{3}}(b^{4}+c^{4})}$

${\displaystyle e_{2}(\tau )={\tfrac {\pi ^{2}}{3}}(-a^{4}-b^{4})}$

${\displaystyle e_{3}(\tau )={\tfrac {\pi ^{2}}{3}}(a^{4}-c^{4})}$

С ${\displaystyle g_{2}=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)}$ и ${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$, то их также можно выразить как тета-функции. В упрощенном виде

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}(a^{8}+b^{8}+c^{8})}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}}$

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=16\pi ^{12}a^{8}b^{8}c^{8}=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$

Где ${\displaystyle \eta }$ это Функция Дедекинда эта. В случае действительных инвариантов знак Δ = грамм₂³ − 27грамм₃² определяет характер корней. Если ${\displaystyle \Delta >0}$, все три настоящие и принято называть их так, чтобы ${\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}}$. Если ${\displaystyle \Delta <0}$, принято писать ${\displaystyle e_{1}=-\alpha +\beta i}$ (куда ${\displaystyle \alpha \geq 0}$, ${\displaystyle \beta >0}$), откуда ${\displaystyle e_{3}={\overline {e_{1}}}}$, и ${\displaystyle e_{2}}$ реально и неотрицательно.

Полупериоды ω₁/ 2 и ω₂/ 2 эллиптической функции Вейерштрасса связаны с корнями

${\displaystyle \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)=e_{1}\qquad \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)=e_{2}\qquad \wp \left({\frac {\omega _{3}}{2}}\right)=e_{3}}$

куда ${\displaystyle \omega _{3}=-(\omega _{1}+\omega _{2})}$. Поскольку квадрат производной эллиптической функции Вейерштрасса равен указанному выше кубическому многочлену значения функции, ${\displaystyle \wp '\left({\frac {\omega _{i}}{2}}\right)^{2}=\wp '\left({\frac {\omega _{i}}{2}}\right)=0}$ за ${\displaystyle i=1,2,3}$. И наоборот, если значение функции равно корню многочлена, производная равна нулю.

Если грамм₂ и грамм₃ действительны и Δ> 0, е_я все реальны, и ${\displaystyle \wp ()}$ действительна на периметре прямоугольника с углами 0, ω₃, ω₁ + ω₃, а ω₁. Если корни упорядочены, как указано выше (е₁ > е₂ > е₃), то первый полупериод вполне реален

${\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{2}}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}$

тогда как третий полупериод полностью мнимый

${\displaystyle {\frac {\omega _{3}}{2}}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}.}$

Теоремы сложения

Эллиптические функции Вейерштрасса обладают несколькими свойствами, которые можно доказать:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0}$

Симметричная версия того же тождества

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0{\text{ if }}u+v+w=0.}$

Также

${\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y)}$

и формула дублирования

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),}$

если только 2z это период.

Случай с 1 основным полупериодом

Если ${\displaystyle \omega _{1}=1}$, многое из приведенной выше теории становится проще; тогда это обычный букрит ${\displaystyle \tau }$ за ${\displaystyle \omega _{2}}$.

Для фиксированного τ в верхняя полуплоскость, так что мнимая часть τ положительно, определим Функция Вейерштрасса к

${\displaystyle \wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over (z+m+n\tau )^{2}}-{1 \over (m+n\tau )^{2}}.}$

Сумма распространяется на решетка {п + mτ | п, м ∈ Z} без указания происхождения.

Здесь мы рассматриваем τ как фиксировано и ℘ как функция z; фиксация z и позволяя τ варьировать отводы в районе эллиптические модульные функции.

Общая теория

℘ это мероморфный функция в комплексной плоскости с двойным столб в каждой точке решетки. Он двоякопериоден с периодами 1 и τ; это означает, что удовлетворяет

${\displaystyle \wp (z+1)=\wp (z+\tau )=\wp (z).}$

Вышеупомянутая сумма однородна степени минус два, и если c - любое ненулевое комплексное число,

${\displaystyle \wp (cz;c\omega _{1},c\omega _{2})=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})/c^{2}}$

из которого мы можем определить функцию Вейерштрасса для любой пары периодов. Мы также можем взять производная (конечно, что касается z) и получить функцию, алгебраически связанную с соотношением

${\displaystyle \wp '^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}}$

куда ${\displaystyle g_{2}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ зависеть только от τ, существование модульные формы. Уравнение

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-g_{2}X-g_{3}}$

определяет эллиптическая кривая, и мы видим, что ${\displaystyle (\wp ,\wp ')}$ является параметризацией этой кривой. Совокупность мероморфных двоякопериодических функций с заданными периодами определяет поле алгебраических функций связанный с этой кривой. Можно показать, что это поле

${\displaystyle \mathbb {C} (\wp ,\wp '),}$

так что все такие функции рациональные функции в функции Вейерштрасса и ее производной.

Можно обернуть параллелограмм с одним периодом в тор, или в форме пончика Риманова поверхность, и рассматривать эллиптические функции, связанные с данной парой периодов, как функции, определенные на этой римановой поверхности.

℘ также может быть выражено через тета-функции; поскольку они сходятся очень быстро, это более быстрый способ вычисления ℘, чем ряд, использованный для его определения.

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau ).}$

Функция ℘ имеет два нуля (по модулю периодов), а функция ℘ ′ их три. Нули функции ′ легко найти: поскольку ℘ ′ - нечетная функция, они должны находиться в точках полупериода. С другой стороны, очень трудно выразить нули через закрытая формула, за исключением особых значений модуля (например, когда решетка периодов является Гауссовские целые числа ). Выражение было найдено Загир и Эйхлер.^[2]

Теория Вейерштрасса также включает Дзета-функция Вейерштрасса, который является неопределенным интегралом от и не является двоякопериодическим, и тета-функция, называемая Сигма-функция Вейерштрасса, из которых его дзета-функция является логарифмическая производная. Сигма-функция имеет нули во всех точках периода (только) и может быть выражена через Функции Якоби. Это дает один способ преобразования между обозначениями Вейерштрасса и Якоби.

Сигма-функция Вейерштрасса является вся функция; он играл роль «типичной» функции в теории случайные целые функции из Дж. Э. Литтлвуд.

Связь с эллиптическими функциями Якоби

Для численных расчетов часто бывает удобно вычислить эллиптическую функцию Вейерштрасса в терминах Эллиптические функции Якоби.

Основные отношения:^[3]

${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$

куда е_1–3 - три корня, описанные выше, и где модуль k функций Якоби равно

${\displaystyle k\equiv {\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$

и их аргумент ш равно

${\displaystyle w\equiv z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$

Типография

Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается с помощью довольно специальной строчной буквы.^{[сноска 1]}

В вычислениях буква ℘ доступна как wp в TeX. В Unicode кодовая точка U + 2118 ℘ ЗАГЛАВНАЯ СТРАНИЦА P (HTML℘ · & weierp ;, & wp;) с более правильным псевдонимом эллиптическая функция Вейерштрасса.^{[сноска 2]} В HTML, его можно избежать как & weierp;.

Информация о персонаже

Предварительный просмотр	℘
Юникод имя	SCRIPT CAPITAL P / WEIERSTRASS ELLIPTIC FUNCTION
Кодировки	десятичный	шестнадцатеричный
Unicode	8472	U + 2118
UTF-8	226 132 152	E2 84 98
Ссылка на числовые символы	℘	& # x2118;
Ссылка на именованный символ	& weierp ;, & wp;

Сноски

1. Этот символ использовался как минимум в 1890 году. Первое издание Курс современного анализа к Э. Т. Уиттакер в 1902 г. тоже им пользовался.^[4]
2. В Консорциум Unicode признал две проблемы с именем буквы: буква на самом деле строчная, и это не буква класса "скрипт", например U + 1D4C5 𝓅 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СЦЕНАРИЙ МАЛЫЙ P, но буква эллиптической функции Вейерштрасса. Юникод добавил псевдоним в качестве исправления.^[5][6]

Рекомендации

1. Абрамовиц и Стегун, стр. 629
2. Eichler, M .; Загир, Д. (1982). «О нулях-функции Вейерштрасса». Mathematische Annalen. 258 (4): 399–407. Дои:10.1007 / BF01453974.
3. Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. п. 721. LCCN  59014456.
4. Тейка Казура (2017-08-17), Буква ℘ Имя и происхождение?, MathOverflow, получено 2018-08-30
5. «Известные аномалии в именах символов Юникода». Техническое примечание Unicode № 27. версия 4. Unicode, Inc. 10 апреля 2017 г.. Получено 2017-07-20.
6. "NameAliases-10.0.0.txt". Unicode, Inc. 2017-05-06. Получено 2017-07-20.

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 18". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 627. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций., (1970) Москва, в переводе на английский как Переводы математических монографий AMS Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN  0-8218-4532-2
• Том М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Спрингер, Нью-Йорк ISBN  0-387-97127-0 (См. Главу 1.)
• К. Чандрасекхаран, Эллиптические функции (1980), Springer-Verlag ISBN  0-387-15295-4
• Конрад Кнопп, Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Переиздано в английском переводе как Теория функций (1996), Dover Publications ISBN  0-486-69219-1
• Серж Ланг, Эллиптические функции (1973), Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-04162-6
• Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон, Курс современного анализа, Издательство Кембриджского университета, 1952, главы 20 и 21

внешняя ссылка

• «Эллиптические функции Вейерштрасса», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Эллиптические функции Вейерштрасса на Mathworld.
• Глава 23, Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса в DLMF (Электронная библиотека математических функций ) У. П. Рейнхардта и П. Л. Уокера.