Представление Глаубера – Сударшана P - Glauber–Sudarshan P representation

В Представление Сударшана-Глаубера П это предлагаемый способ записать фазовое пространство распределение квантовой системы в формулировка фазового пространства квантовой механики. Представление P - это распределение квазивероятностей в котором наблюдаемые выражаются в нормальный порядок. В квантовая оптика, это представление, формально эквивалентное нескольким другим представлениям,^[1][2] иногда отстаивают альтернативные представления для описания свет в оптическое фазовое пространство, потому что типичные оптические наблюдаемые, такие как оператор числа частиц, естественно выражаются в нормальном порядке. Он назван в честь Георгий Сударшан^[3] и Рой Дж. Глаубер,^[4] которые работали над этой темой в 1963 году. Это было предметом полемика когда Глаубер был награжден акцией 2005 г. Нобелевская премия по физике за его работу в этой области и Георгий Сударшан вклад не был признан.^[5]Статья Сударшана была получена в Physical Review Letters 1 марта 1963 г. и опубликована 1 апреля 1963 г., а статья Глаубера была получена в Physical Review 29 апреля 1963 г. и опубликована 15 сентября 1963 г. Несмотря на множество полезных применений в лазере. теории и теории когерентности, Представление Глаубера – Сударшана P имеет недостаток, заключающийся в том, что он не всегда положителен и, следовательно, не является истинной функцией вероятности.

Определение

Основная статья: Распределение квазивероятностей

Мы хотим построить функцию ${displaystyle P(alpha )}$ с тем свойством, что матрица плотности ${displaystyle {hat {ho }}}$ является диагональ в основе когерентные состояния ${displaystyle {|alpha angle }}$, т.е.

${displaystyle {hat {ho }}=int P(alpha )|{alpha }angle langle {alpha }|,d^{2}alpha ,qquad d^{2}alpha equiv d,{m {Re}}(alpha ),d,{m {Im}}(alpha ).}$

Мы также хотим построить функцию так, чтобы математическое ожидание нормально упорядоченного оператора удовлетворяло условию теорема оптической эквивалентности. Это означает, что матрица плотности должна быть в анти-нормальный порядок, чтобы мы могли выразить матрицу плотности в виде степенного ряда

${displaystyle {hat {ho }}_{A}=sum _{j,k}c_{j,k}cdot {hat {a}}^{j}{hat {a}}^{dagger k}.}$

Вставка оператор идентификации

${displaystyle {hat {I}}={frac {1}{pi }}int |{alpha }angle langle {alpha }|,d^{2}alpha ,}$

Мы видим, что

${displaystyle {egin{aligned}ho _{A}({hat {a}},{hat {a}}^{dagger })&={frac {1}{pi }}sum _{j,k}int c_{j,k}cdot {hat {a}}^{j}|{alpha }angle langle {alpha }|{hat {a}}^{dagger k},d^{2}alpha &={frac {1}{pi }}sum _{j,k}int c_{j,k}cdot alpha ^{j}|{alpha }angle langle {alpha }|alpha ^{*k},d^{2}alpha &={frac {1}{pi }}int sum _{j,k}c_{j,k}cdot alpha ^{j}alpha ^{*k}|{alpha }angle langle {alpha }|,d^{2}alpha &={frac {1}{pi }}int ho _{A}(alpha ,alpha ^{*})|{alpha }angle langle {alpha }|,d^{2}alpha ,end{aligned}}}$

Таким образом, мы формально присваиваем

${displaystyle P(alpha )={frac {1}{pi }}ho _{A}(alpha ,alpha ^{*}).}$

Более полезные интегральные формулы для п необходимы для любого практического расчета. Один метод^[6] заключается в определении характеристическая функция

${displaystyle chi _{N}(eta )=operatorname {tr} ({hat {ho }}cdot e^{ieta cdot {hat {a}}^{dagger }}e^{ieta ^{*}cdot {hat {a}}})}$

а затем возьмите преобразование Фурье

${displaystyle P(alpha )={frac {1}{pi ^{2}}}int chi _{N}(eta )e^{-eta alpha ^{*}+eta ^{*}alpha },d^{2}eta .}$

Еще одна полезная интегральная формула для п является^[7]

${displaystyle P(alpha )={frac {e^{|alpha |^{2}}}{pi ^{2}}}int langle -eta |{hat {ho }}|eta angle e^{|eta |^{2}-eta alpha ^{*}+eta ^{*}alpha },d^{2}eta .}$

Обратите внимание, что обе эти интегральные формулы не сходятся в любом обычном смысле для «типовых» систем. Мы также можем использовать матричные элементы ${displaystyle {hat {ho }}}$ в Основа Фока ${displaystyle {|nangle }}$. Следующая формула показывает, что это всегда возможное^[3] чтобы записать матрицу плотности в этой диагональной форме, не обращаясь к порядку операторов, используя инверсию (приведенную здесь для одного режима),

${displaystyle P(alpha )=sum _{n}sum _{k}langle n|{hat {ho }}|kangle {frac {sqrt {n!k!}}{2pi r(n+k)!}}e^{r^{2}-i(n-k) heta }left[left(-{frac {partial }{partial r}}ight)^{n+k}delta (r)ight],}$

где р и θ амплитуда и фаза α. Хотя это полное формальное решение этой возможности, оно требует бесконечно большого числа производных от Дельта-функции Дирака, далеко за пределами досягаемости обычных теория умеренного распределения.

Обсуждение

Если у квантовой системы есть классический аналог, например когерентное состояние или тепловое излучение, тогда п неотрицательно везде, как и обычное распределение вероятностей. Если же у квантовой системы нет классического аналога, например бессвязный Государство Фока или запутанная система, тогда п где-то отрицательно или более сингулярно, чем дельта-функция Дирака. (Автор теорема Шварца, распределения, которые более сингулярны, чем дельта-функция Дирака, всегда где-то отрицательны.) Такие "отрицательная вероятность "или высокая степень сингулярности является особенностью, присущей представлению, и не умаляет значимости ожидаемых значений, взятых в отношении п. Даже если п действительно ведет себя как обычное распределение вероятностей, однако все не так просто. Согласно Манделю и Вольфу: «Различные когерентные состояния не [взаимно] ортогональны, так что даже если ${displaystyle scriptstyle P(alpha ),}$ ведет себя как истинная плотность [функция] вероятности, она не описывает вероятности взаимоисключающих состояний ".^[8]

Примеры

Тепловое излучение

От статистическая механика аргументы в базисе Фока, среднее число фотонов моды с волновой вектор k и состояние поляризации s для черное тело при температуре Т как известно

${displaystyle langle {hat {n}}_{mathbf {k} ,s}angle ={frac {1}{e^{hbar omega /k_{B}T}-1}}.}$

В п представление черного тела

${displaystyle P({alpha _{mathbf {k} ,s}})=prod _{mathbf {k} ,s}{frac {1}{pi langle {hat {n}}_{mathbf {k} ,s}angle }}e^{-|alpha |^{2}/langle {hat {n}}_{mathbf {k} ,s}angle }.}$

Другими словами, каждая мода черного тела нормально распределенный в основе когерентных состояний. поскольку п положительна и ограничена, эта система по существу классическая. Это действительно замечательный результат, потому что для теплового равновесия матрица плотности также диагональна в фоковском базисе, но фоковские состояния неклассичны.

Весьма необычный пример

Даже очень простые на вид состояния могут демонстрировать весьма неклассическое поведение. Рассмотрим суперпозицию двух когерентных состояний

${displaystyle |psi angle =c_{0}|alpha _{0}angle +c_{1}|alpha _{1}angle }$

где c₀ , c₁ - константы, на которые распространяется нормализующее ограничение

${displaystyle 1=|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+2e^{-(|alpha _{0}|^{2}+|alpha _{1}|^{2})/2}operatorname {Re} left(c_{0}^{*}c_{1}e^{alpha _{0}^{*}alpha _{1}}ight).}$

Обратите внимание, что это сильно отличается от кубит потому что ${displaystyle |alpha _{0}angle }$ и ${displaystyle |alpha _{1}angle }$ не ортогональны. Поскольку легко вычислить ${displaystyle langle -alpha |{hat {ho }}|alpha angle =langle -alpha |psi angle langle psi |alpha angle }$, мы можем использовать приведенную выше формулу Мехты для вычисления п,

${displaystyle {egin{aligned}P(alpha )={}&|c_{0}|^{2}delta ^{2}(alpha -alpha _{0})+|c_{1}|^{2}delta ^{2}(alpha -alpha _{1})[5pt]&{}+2c_{0}^{*}c_{1}e^{|alpha |^{2}-{frac {1}{2}}|alpha _{0}|^{2}-{frac {1}{2}}|alpha _{1}|^{2}}e^{(alpha _{1}^{*}-alpha _{0}^{*})cdot partial /partial (2alpha ^{*}-alpha _{0}^{*}-alpha _{1}^{*})}e^{(alpha _{0}-alpha _{1})cdot partial /partial (2alpha -alpha _{0}-alpha _{1})}cdot delta ^{2}(2alpha -alpha _{0}-alpha _{1})[5pt]&{}+2c_{0}c_{1}^{*}e^{|alpha |^{2}-{frac {1}{2}}|alpha _{0}|^{2}-{frac {1}{2}}|alpha _{1}|^{2}}e^{(alpha _{0}^{*}-alpha _{1}^{*})cdot partial /partial (2alpha ^{*}-alpha _{0}^{*}-alpha _{1}^{*})}e^{(alpha _{1}-alpha _{0})cdot partial /partial (2alpha -alpha _{0}-alpha _{1})}cdot delta ^{2}(2alpha -alpha _{0}-alpha _{1}).end{aligned}}}$

Несмотря на то, что у дельта-функций бесконечно много производных, п по-прежнему подчиняется теореме оптической эквивалентности. Если, например, математическое ожидание числового оператора берется по отношению к вектору состояния или как среднее по фазовому пространству по отношению к п, совпадают два ожидаемых значения:

${displaystyle {egin{aligned}langle psi |{hat {n}}|psi angle &=int P(alpha )|alpha |^{2},d^{2}alpha &=|c_{0}alpha _{0}|^{2}+|c_{1}alpha _{1}|^{2}+2e^{-(|alpha _{0}|^{2}+|alpha _{1}|^{2})/2}operatorname {Re} left(c_{0}^{*}c_{1}alpha _{0}^{*}alpha _{1}e^{alpha _{0}^{*}alpha _{1}}ight).end{aligned}}}$

Смотрите также

• Распределение квазивероятностей # Характеристические функции
• Неклассический свет
• Распределение квазивероятностей Вигнера
• Представление Хусими Q
• Споры о Нобелевской премии

использованная литература

Цитаты

1. Л. Коэн (1966). «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве». J. Math. Phys. 7 (5): 781–786. Bibcode:1966JMP ..... 7..781C. Дои:10.1063/1.1931206.
2. Л. Коэн (1976). «Проблема квантования и вариационный принцип в фазовой формулировке квантовой механики». J. Math. Phys. 17 (10): 1863–1866. Bibcode:1976JMP .... 17.1863C. Дои:10.1063/1.522807.
3. Сударшан Э.С.Г. (1963). «Эквивалентность полуклассического и квантово-механического описания статистических световых пучков». Phys. Rev. Lett. 10 (7): 277–279. Bibcode:1963ПхРвЛ..10..277С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.10.277.
4. Р. Дж. Глаубер (1963). «Когерентные и некогерентные состояния поля излучения». Phys. Rev. 131 (6): 2766–2788. Bibcode:1963ПхРв..131.2766Г. Дои:10.1103 / PhysRev.131.2766.
5. Чжоу, Лулу (2005-12-06). "Ученые ставят под сомнение Нобелевскую премию". Гарвардский малиновый. Получено 2016-04-28.
6. К. Л. Мехта; Сударшан Э.С.Г. (1965). «Связь квантового и полуклассического описания оптической когерентности». Phys. Rev. 138 (1B): B274 – B280. Bibcode:1965ПхРв..138..274М. Дои:10.1103 / PhysRev.138.B274.
7. К. Л. Мехта (1967). "Диагональное когерентное представление квантовых операторов". Phys. Rev. Lett. 18 (18): 752–754. Bibcode:1967ПхРвЛ..18..752М. Дои:10.1103 / PhysRevLett.18.752.
8. Мандель и Вольф 1995, п. 541

Список используемой литературы

Мандель, Л.; Вольф, Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-41711-2