Подгруппа конгруэнтности - Congruence subgroup

В математика, а подгруппа конгруэнции из матричная группа с участием целое число записи - это подгруппа определяется условиями конгруэнтности записей. Очень простой пример: обратимый 2 × 2 целочисленные матрицы детерминант 1, в котором недиагональные записи даже. В более общем смысле понятие подгруппа конгруэнции можно определить для арифметические подгруппы из алгебраические группы; то есть те, для которых у нас есть понятие «интегральной структуры» и которые можно определить редукционные карты по модулю целого числа.

Существование конгруэнтных подгрупп в арифметической группе дает ей множество подгрупп, в частности, показывает, что группа финитно аппроксимируемая. Важным вопросом об алгебраической структуре арифметических групп является проблема подгруппы конгруэнции, который спрашивает, все ли подгруппы конечных показатель являются существенно конгруэнтными подгруппами.

Подгруппы конгруэнции матриц 2 × 2 являются фундаментальными объектами классической теории модульные формы; современная теория автоморфные формы аналогичным образом использует конгруэнтные подгруппы в более общих арифметических группах.

Подгруппы конгруэнции модулярной группы

Простейший интересный случай, в котором можно изучать конгруэнтные подгруппы, - это модульная группа ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$.^[1]

Подгруппы главных конгруэнций

Если ${\displaystyle n\geqslant 1}$ целое число существует гомоморфизм ${\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ индуцированный редукцией по модулю ${\displaystyle n}$ морфизм ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. В главная подгруппа конгруэнции уровня ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ это ядро ${\displaystyle \pi _{n}}$, и его обычно обозначают ${\displaystyle \Gamma (n)}$. В явном виде это описывается следующим образом:

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

Из этого определения сразу следует, что ${\displaystyle \Gamma (n)}$ это нормальная подгруппа конечных показатель в ${\displaystyle \Gamma }$. В сильная аппроксимационная теорема (в этом случае легкое следствие Китайская теорема об остатках ) следует, что ${\displaystyle \pi _{n}}$ сюръективно, так что фактор ${\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)}$ изоморфен ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ).}$ Вычисление порядка этой конечной группы дает следующую формулу для индекса:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

где произведение берется по всем простым числам, делящим ${\displaystyle n}$.

Если ${\displaystyle n\geqslant 3}$ то ограничение ${\displaystyle \pi _{n}}$ любой конечной подгруппе ${\displaystyle \Gamma }$ инъективно. Отсюда следует следующий результат:

Если ${\displaystyle n\geqslant 3}$ то главные конгруэнтные подгруппы ${\displaystyle \Gamma (n)}$ без кручения.

Группа ${\displaystyle \Gamma (2)}$ содержит ${\displaystyle -\operatorname {Id} }$ и не без кручения. С другой стороны, его изображение в ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ без кручения, а частное гиперболическая плоскость по этой подгруппе - сфера с тремя каспами.

Определение подгруппы конгруэнции

Если ${\displaystyle H}$ является подгруппой в ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ тогда это называется подгруппа конгруэнции если существует ${\displaystyle n\geqslant 1}$ такая, что содержит главную конгруэнтную подгруппу ${\displaystyle \Gamma (n)}$. В уровень ${\displaystyle l}$ из ${\displaystyle H}$ тогда самый маленький такой ${\displaystyle n}$.

Из этого определения следует, что:

• Подгруппы конгруэнции имеют конечный индекс в ${\displaystyle \Gamma }$;
• Подгруппы конгруэнции уровня ${\displaystyle \ell }$ находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} ).}$

Примеры

Подгруппы ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$, иногда называемый Подгруппа конгруэнции Гекке уровня ${\displaystyle n}$, определяется как прообраз ${\displaystyle \pi _{n}}$ группы верхнетреугольных матриц. Это,

${\displaystyle \Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

Индекс определяется по формуле:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

где произведение берется по всем простым числам, делящим ${\displaystyle n}$. Если ${\displaystyle p}$ тогда простое ${\displaystyle \Gamma /\Gamma _{0}(p)}$ находится в естественной биекции с проективная линия над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, и явные представители для (левых или правых) классов смежности ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$ в ${\displaystyle \Gamma }$ это следующие матрицы:

${\displaystyle \operatorname {Id} ,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Подгруппы ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ никогда не бывают без кручения, поскольку всегда содержат матрицу ${\displaystyle -I}$. Бесконечно много ${\displaystyle n}$ такое, что изображение ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ в ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ также содержит торсионные элементы.

Подгруппы ${\displaystyle \Gamma _{1}(n)}$ являются прообразом подгруппы унипотентных матриц:

${\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

Они без кручения, как только ${\displaystyle n>2}$, а их индексы даются по формуле:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

В тета-подгруппа ${\displaystyle \Lambda }$ подгруппа конгруэнции ${\displaystyle \Gamma }$ определяется как прообраз циклической группы второго порядка, порожденной ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$. Он имеет индекс 3 и явно описывается:^[2]

${\displaystyle \Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {n}},bd\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

Свойства подгрупп конгруэнции

Подгруппы конгруэнций модулярной группы и ассоциированных римановых поверхностей отличаются некоторыми особенно хорошими геометрическими и топологическими свойствами. Вот пример:

• Существует лишь конечное число конгруэнтных покрытий модулярной поверхности, имеющих нулевой род;^[3]
• (Теорема Сельберга 3/16 ) Если ${\displaystyle f}$ - непостоянная собственная функция Оператор Лапласа-Бельтрами на конгруэнтном покрытии модульной поверхности с собственным значением ${\displaystyle \lambda }$ тогда ${\displaystyle \lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}.}$

Существует также набор известных операторов, называемых Операторы Гекке на гладких функциях на конгруэнтных покрытиях, коммутирующих друг с другом и с оператором Лапласа – Бельтрами и диагонализируемых в каждом собственном подпространстве последнего. Их общие собственные функции являются фундаментальным примером автоморфные формы. Другими автоморфными формами, ассоциированными с этими конгруэнтными подгруппами, являются голоморфные модулярные формы, которые можно интерпретировать как классы когомологий на ассоциированных римановых поверхностях с помощью Изоморфизм Эйхлера-Шимуры.

Нормализаторы конгруэнтных подгрупп Гекке

В нормализатор ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$ из ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$ в ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ был исследован; один результат 1970-х годов из-за Жан-Пьер Серр, Эндрю Огг и Джон Г. Томпсон в том, что соответствующий модульная кривая (в Риманова поверхность полученный в результате факторизации гиперболической плоскости по ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$) имеет род нулю (т. е. модулярная кривая является эллиптическая кривая ) если и только если п составляет 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда позже Огг услышал о группа монстров, он заметил, что это были именно те главные факторы размером с M, он написал газету, предлагая бутылку Jack Daniels виски любому, кто мог бы объяснить этот факт - это было отправной точкой для теории Чудовищный самогон, который объясняет глубокую связь между теорией модульных функций и группой монстров.

В арифметических группах

Арифметические группы

Основная статья: Арифметическая группа

Понятие арифметической группы является обширным обобщением, основанным на фундаментальном примере ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$. В общем, чтобы дать определение, нужен полупростая алгебраическая группа ${\displaystyle \mathbf {G} }$ определяется по ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и верное представление ${\displaystyle \rho }$, также определяемый ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ от ${\displaystyle \mathbf {G} }$ в ${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}}$; тогда арифметическая группа в ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ какая-нибудь группа ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ имеющего конечный индекс в стабилизаторе подрешетки конечного индекса в ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$.

Подгруппы конгруэнтности

Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ быть арифметической группой: для простоты лучше предположить, что ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$. Как и в случае с ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ есть редукционные морфизмы ${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$. Мы можем определить главную конгруэнтную подгруппу группы ${\displaystyle \Gamma }$ быть ядром ${\displaystyle \pi _{n}}$ (который априори может зависеть от представления ${\displaystyle \rho }$), а подгруппа конгруэнции из ${\displaystyle \Gamma }$ быть любой подгруппой, которая содержит главную конгруэнтную подгруппу (понятие, которое не зависит от представления). Это подгруппы конечного индекса, соответствующие подгруппам конечных групп ${\displaystyle \pi _{n}(\Gamma )}$, и уровень определен.

Примеры

Основные конгруэнтные подгруппы ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$ подгруппы ${\displaystyle \Gamma (n)}$ предоставлено:

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

тогда подгруппы конгруэнции соответствуют подгруппам ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$.

Другой пример арифметической группы - это группы ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O)}$ где ${\displaystyle O}$ это кольцо целых чисел в числовое поле, Например ${\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$. Тогда если ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ это главный идеал деление рационального простого числа ${\displaystyle p}$ подгруппы ${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {p}})}$ который является ядром мода карты редукции ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ является подгруппой конгруэнции, поскольку она содержит главную подгруппу конгруэнции, определенную редукцией по модулю ${\displaystyle p}$.

Еще одна арифметическая группа - это Модульные группы Siegel ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} ),}$ определяется:

${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Обратите внимание, что если ${\displaystyle g=1}$ тогда ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$ В тета-подгруппа ${\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}}$ из ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ это набор всех ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ так что оба ${\displaystyle AB^{\top }}$ и ${\displaystyle CD^{\top }}$ иметь четные диагональные входы.^[4]

Свойство (τ)

Семейство конгруэнтных подгрупп в данной арифметической группе ${\displaystyle \Gamma }$ всегда имеет свойство (τ) Любоцкого – Циммера.^[5] Это может означать, что Постоянная Чигера семьи их Графы смежных классов Шрайера (относительно фиксированной генераторной установки для ${\displaystyle \Gamma }$) равномерно отделена от нуля, другими словами, они представляют собой семейство графики расширителей. Существует также репрезентативно-теоретическая интерпретация: если ${\displaystyle \Gamma }$ это решетка в группе Ли г то свойство (τ) эквивалентно нетривиальному унитарные представления из г происходящие в пространствах ${\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )}$ будучи отделенным от тривиального представления (в Упала топология на унитарном двойственном к г). Свойство (τ) является ослаблением Имущество Каждан (Т) откуда следует, что семейство всех подгрупп конечного индекса обладает свойством (τ).

В S-арифметические группы

Если ${\displaystyle \mathbf {G} }$ это ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-группа и ${\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$ конечное множество простых чисел, ${\displaystyle S}$-арифметическая подгруппа ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ определяется как арифметическая подгруппа, но с использованием ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$ вместо того ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Основным примером является ${\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$.

Позволять ${\displaystyle \Gamma _{S}}$ быть ${\displaystyle S}$-арифметическая группа в алгебраической группе ${\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}}$. Если ${\displaystyle n}$ является целым числом, не делящимся ни на одно простое число в ${\displaystyle S}$, то все простые числа ${\displaystyle p_{i}}$ обратимы по модулю ${\displaystyle n}$ и отсюда следует, что существует морфизм ${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ).}$ Таким образом, можно определить подгруппы конгруэнции в ${\displaystyle \Gamma _{S}}$, чей уровень всегда взаимно прост со всеми простыми числами в ${\displaystyle S}$.

Проблема подгруппы сравнения

Подгруппы конечного индекса в SL₂(Z)

Подгруппы конгруэнтности в ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ являются подгруппами конечного индекса: естественно спросить, учитывают ли они все подгруппы конечного индекса в ${\displaystyle \Gamma }$. Ответ - решительное «нет». Этот факт был уже известен Феликс Кляйн и есть много способов показать множество неконгруэнтных подгрупп конечного индекса. Например:

1. Простая группа в серия композиций частного ${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$, где ${\displaystyle \Gamma '}$ нормальная конгруэнтная подгруппа, должна быть простой группа лиева типа (или циклический), фактически одна из групп ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$ для прайма ${\displaystyle p}$. Но для каждого ${\displaystyle m}$ есть подгруппы конечного индекса ${\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma }$ такой, что ${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ изоморфен переменная группа ${\displaystyle A_{m}}$ (Например ${\displaystyle \Gamma (2)}$ сюръекты на любой группе с двумя образующими, в частности на всех знакопеременных группах, и ядра этих морфизмов дают пример). Таким образом, эти группы не должны совпадать.
2. Есть сомнение ${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} }$; для ${\displaystyle m}$ достаточно большое ядро ${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ должно быть неконгруэнтным (один из способов убедиться в этом состоит в том, что константа Чигера графа Шрайера обращается в 0; также существует простое алгебраическое доказательство в духе предыдущего пункта).
3. Число ${\displaystyle c_{N}}$ подгрупп конгруэнции в ${\displaystyle \Gamma }$ индекса ${\displaystyle N}$ удовлетворяет ${\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)}$. С другой стороны, число ${\displaystyle a_{N}}$ подгрупп конечного индекса индекса ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle \Gamma }$ удовлетворяет ${\displaystyle N\log N=O(\log a_{N})}$, поэтому большинство подгрупп конечного индекса должны быть неконгруэнтными.^[6]

Ядро сравнения

Для любой арифметической группы можно задать тот же вопрос, что и для модульной группы:

Задача наивной подгруппы сравнения: Дана ли арифметическая группа, все ли ее подгруппы с конечным индексом конгруэнтные подгруппы?

Эта проблема может иметь положительное решение: ее источник - работа Хайман Басс, Жан-Пьер Серр и Джон Милнор, и Йенс Меннике который доказал это, в отличие от случая с ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$, когда ${\displaystyle n\geqslant 3}$ все подгруппы конечного индекса в ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ являются конгруэнтными подгруппами. Решение Басса – Милнора – Серра включало аспект алгебраическая теория чисел связан с K-теория.^[7] С другой стороны, работы Серра по ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$ над числовыми полями показывает, что в некоторых случаях ответ на наивный вопрос «нет», в то время как небольшое ослабление проблемы дает положительный ответ.^[8]

Эта новая проблема лучше формулируется в терминах некоторых компактных топологических групп, связанных с арифметической группой ${\displaystyle \Gamma }$. Есть топология на ${\displaystyle \Gamma }$ для которого базой окрестностей тривиальной подгруппы является множество подгрупп конечного индекса ( проконечная топология); и есть другая топология, определенная таким же образом с использованием только конгруэнтных подгрупп. Проконечная топология приводит к пополнению ${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}}$ из ${\displaystyle \Gamma }$, а топология «конгруэнтности» порождает еще одно пополнение ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$. Оба проконечные группы и существует естественный сюръективный морфизм ${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}}$ (интуитивно понятно, что условий для Последовательность Коши в топологии сравнения, чем в проконечной топологии).^[9][10] В ядро конгруэнтности ${\displaystyle C(\Gamma )}$ является ядром этого морфизма, и проблема конгруэнтных подгрупп, сформулированная выше, сводится к следующему: ${\displaystyle C(\Gamma )}$ тривиально. Ослабление вывода приводит к следующей проблеме.

Задача подгруппы сравнения: Ядро сравнения ${\displaystyle C(\Gamma )}$ конечно?

Когда проблема имеет положительное решение, говорят, что ${\displaystyle \Gamma }$ имеет свойство подгруппы конгруэнции. Гипотеза, обычно приписываемая Серру, утверждает, что неприводимая арифметическая решетка в полупростой группе Ли ${\displaystyle G}$ обладает свойством конгруэнтной подгруппы тогда и только тогда, когда настоящий ранг из ${\displaystyle G}$ не менее 2; например, решетки в ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$ всегда должно быть в собственности.

Отрицательные решения

Гипотеза Серра утверждает, что решетка в группе Ли ранга один не должна обладать свойством конгруэнтной подгруппы. Таких групп три семейства: ортогональные группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2}$, то унитарные группы ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2}$ и группы ${\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2}$ (группы изометрий полуторалинейная форма над кватернионами Гамильтона), плюс исключительная группа ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ (увидеть Список простых групп Ли ). Текущее состояние проблемы подгруппы конгруэнции следующее:

• Известно, что для всех групп существует отрицательное решение (подтверждающее гипотезу) ${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1)}$ с участием ${\displaystyle d\neq 7}$. Доказательство использует те же аргументы, что и 2. в случае ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$: в общем случае строить сюръекцию на ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ доказательство не является единообразным для всех случаев и не удается для некоторых решеток размерности 7 из-за явления триальность.^[11][12] В размерностях 2 и 3 и для некоторых решеток в более высоких измерениях также применяются аргументы 1 и 3.
• Он известен по многим решеткам в ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1)}$, но не все (опять же с использованием обобщения аргумента 2).^[13]
• Во всех остальных случаях он полностью открыт.

Положительные решения

Во многих ситуациях, когда ожидается, что проблема конгруэнтной подгруппы имеет положительное решение, было доказано, что это действительно так. Вот список алгебраических групп, для которых свойство конгруэнтной подгруппы, как известно, выполняется для ассоциированных арифметических решеток, если ранг ассоциированной группы Ли (или, в более общем смысле, сумма рангов действительного и p-адического множителей в случай S-арифметических групп) не менее 2:^[14]

• Любая неанизотропная группа (включая случаи, рассмотренные Бассом – Милнором – Серром, а также ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ является ${\displaystyle \min(p,q)>1}$, и многие другие);
• Любая группа типа не ${\displaystyle A_{n}}$ (например, все анизотропные формы симплектических или ортогональных групп действительного ранга ${\displaystyle \geqslant 2}$);
• Наружные формы типа ${\displaystyle A_{n}}$, например унитарные группы.

Случай внутренних форм типа ${\displaystyle A_{n}}$ все еще открыт. Вовлеченные алгебраические группы связаны с группами единиц в центральных простых алгебрах с делением; например, свойство конгруэнтной подгруппы не выполняется для решеток в ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$ или ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ с компактным фактором.^[15]

Группы конгруэнтности и группы аделей

В кольцо аделей ${\displaystyle \mathbb {A} }$ это ограниченный продукт всех завершений ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ т.е.

${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}}$

где произведение над всеми простыми числами и ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ это область p-адические числа. Для любой алгебраической группы ${\displaystyle \mathbf {G} }$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ то адельная алгебраическая группа ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ четко определено. Он может быть наделен канонической топологией, которая в случае, когда ${\displaystyle \mathbf {G} }$ является линейной алгебраической группой является топологией как подмножество ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$. Конечные адели ${\displaystyle \mathbb {A} _{f}}$являются ограниченным произведением всех неархимедовых пополнений (всех p-адических полей).

Если ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ является арифметической группой, то ее конгруэнтные подгруппы характеризуются следующим свойством: ${\displaystyle H\subset \Gamma }$ является конгруэнтной подгруппой тогда и только тогда, когда ее замыкание ${\displaystyle {\overline {H}}\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$ - компактно-открытая подгруппа (компактность автоматическая) и ${\displaystyle H=\Gamma \cap {\overline {H}}}$. В целом группа ${\displaystyle \Gamma \cap {\overline {H}}}$ равно конгруэнтному замыканию ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle \Gamma ,}$ и топология сравнения на ${\displaystyle \Gamma }$ индуцированная топология как подгруппа ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$, в частности, завершение сравнения ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ является его замыканием в этой группе. Эти замечания также справедливы для S-арифметических подгрупп, заменяя кольцо конечных аделей ограниченным произведением по всем простым числам, не входящим в S.

В более общем плане можно определить, что это значит для подгруппы ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ быть конгруэнтной подгруппой без явной ссылки на фиксированную арифметическую подгруппу, требуя, чтобы она была равна ее замыканию конгруэнции ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\cap \mathbf {G} (\mathbb {Q} ).}$ Таким образом, становится возможным изучать все конгруэнтные подгруппы сразу, глядя на дискретную подгруппу ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} ).}$ Это особенно удобно в теории автоморфных форм: например, все современные трактовки Формула следа Артура-Сельберга делаются в этой аделиковой обстановке.

Заметки

1. Модульная группа обычно определяется как фактор ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )/\{\pm \operatorname {Id} \},}$ здесь мы скорее будем использовать ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ чтобы упростить, но теория почти такая же.
2. Эйхлер, Мартин (1966). Введение в теорию алгебраических чисел и функций. Академическая пресса. стр.36 –39.
3. Лонг, Даррен Д .; Маклахлан, Колин; Рид, Алан (2006). «Арифметические фуксовы группы нулевого рода». Чистая и прикладная математика Quarterly 2. Специальный выпуск, посвященный 60-летию профессора Дж. Х. Коутса: 569–599.
4. Рихтер, Олав (2000). «Тета-функции неопределенных квадратичных форм над полями действительных чисел». Труды Американского математического общества. 128 (3): 701–708. Дои:10.1090 / s0002-9939-99-05619-1.
5. Клозель, Лоран (2003). «Демонстрация гипотезы τ». Изобретать. Математика. (На французском). 151: 297–328. Дои:10.1007 / s00222-002-0253-8.
6. Любоцки и Сигал 2003, Главы 6–7.
7. Bass, H .; Милнор, Джон Уиллард; Серр, Жан-Пьер (1967), "Решение проблемы конгруэнтных подгрупп для SL_п (п≥3) и Sp_2n (п≥2)", Публикации Mathématiques de l'IHÉS (33): 59–137, ISSN  1618-1913, Г-Н  0244257 (Erratum )
8. Серр, Жан-Пьер (1970). "Le problème des sous-groupes de congruence pour SL₂". Анналы математики. Вторая серия (на французском языке). 92: 489–527. Дои:10.2307/1970630.
9. Платонов и Рапинчук 1994, Предложение 9.10.
10. Сури 2003, Раздел 3.7.
11. Любоцки и Сигал 2003, Теорема 7.2.
12. Агол, Ян (2013). «Гипотеза виртуального Хакена». Documenta Math. 18: 1045–1087.
13. Каждан, Давид (1977). «Некоторые приложения представления Вейля». J. Анализировать мат. 32: 235–248. Дои:10.1007 / bf02803582.
14. Платонов и Рапинчук 1994, п. 568.
15. Рагхунатан, М.С. (2004). «Проблема конгруэнтных подгрупп». Proc. Индийский акад. Sci. (Математика. Науки). 114: 299–308.

использованная литература

• Любоцкий Александр; Сегал, Дэн (2003). Рост подгруппы. Birkhäuser. ISBN  3-7643-6989-2.
• Платонов Владимир; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 г. Рэйчел Роуэн.). Чистая и прикладная математика. 139. Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc. ISBN  0-12-558180-7. Г-Н  1278263.
• Сери, Б. (2003). Проблема подгруппы сравнения. Книжное агентство Индостан. ISBN  81-85931-38-0.