Кажданская собственность (T) - Kazhdans property (T)

В математика, а локально компактный топологическая группа грамм имеет свойство (T) если тривиальное представление является изолированная точка в его унитарный дуальный оснащен Упала топология. Неформально это означает, что если грамм действует унитарно на Гильбертово пространство и имеет «почти инвариантные векторы», то имеет ненулевой инвариантный вектор. Формальное определение, введенное Давид Каждан (1967 ), придает этому точное количественное значение.

Хотя первоначально определено в терминах неприводимые представления, свойство (T) часто можно проверить, даже если унитарное двойственное неизвестно или совсем не известно. Свойство (T) имеет важные приложения к теория представлений групп, решетки в алгебраических группах над локальными полями, эргодическая теория, геометрическая теория групп, расширители, операторные алгебры и теория сетей.

Определения

Позволять грамм - σ-компакт, локально компактный топологическая группа и π: грамм → U(ЧАС) а унитарное представительство из грамм на (комплексном) гильбертовом пространстве ЧАС. Если ε> 0 и K компактное подмножество грамм, то единичный вектор ξ в ЧАС называется (ε, K) -инвариантный вектор если

{ displaystyle forall g in K : left | pi (g) xi - xi right | < varepsilon.}

Следующие условия на грамм все эквивалентны грамм имея свойство (T) из Каждан, и любой из них может использоваться как определение свойства (T).

(1) тривиальное представление является изолированная точка из унитарный дуальный из грамм с Упала топология.

(2) Любая последовательность непрерывный положительно определенные функции на грамм сходится к 1 равномерно на компактные подмножества, сходится к 1 равномерно на грамм.

(3) Каждые унитарное представительство из грамм имеющий (ε, K) -инвариантный единичный вектор для любого ε> 0 и любого компактного подмножества K, имеет ненулевой инвариантный вектор.

(4) Существует ε> 0 и компактное подмножество K из грамм такое, что каждое унитарное представление грамм имеющий (ε, K) -инвариантный единичный вектор, имеет ненулевой инвариантный вектор.

(5) Каждая непрерывная аффинный изометрический действие из грамм на настоящий Гильбертово пространство имеет неподвижную точку (недвижимость (FH)).

Если ЧАС это закрытая подгруппа из грамм, пара (грамм,ЧАС), как говорят, имеет относительное свойство (T) из Маргулис если существует ε> 0 и компактное подмножество K из грамм так что всякий раз, когда унитарное представление грамм имеет (ε, K) -инвариантный единичный вектор, то у него есть ненулевой вектор, фиксированный ЧАС.

Обсуждение

Из определения (4), очевидно, следует определение (3). Чтобы показать обратное, пусть грамм - локально компактная группа, удовлетворяющая (3), предположим от противного, что для любого K и ε существует унитарное представление, имеющее (K, ε) -инвариантный единичный вектор и не имеет инвариантного вектора. Посмотрите на прямую сумму всех таких представлений, и это отменит (4).

Эквивалентность (4) и (5) (Свойство (FH)) - это теорема Делорма-Гишарде. Тот факт, что (5) влечет (4), требует предположения, что грамм σ-компактно (и локально компактно) (Бекка и др., теорема 2.12.4).

Общие свойства

Свойство (T) сохраняется при частных: если грамм обладает свойством (T) и ЧАС это факторгруппа из грамм тогда ЧАС обладает свойством (T). Эквивалентно, если гомоморфный образ группы грамм делает нет обладают свойством (T), то грамм сам по себе не обладает свойством (T).
Если грамм обладает свойством (T), то грамм/[грамм, грамм] компактно.
Любая счетная дискретная группа со свойством (T) конечно порождена.
An податливая группа обладающее свойством (T), обязательно компактный. Аменабельность и свойство (T) в грубом смысле противоположны: они позволяют легко или сложно найти почти инвариантные векторы.
Теорема Каждана: Если Γ решетка в группе Ли грамм то Γ обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда грамм обладает свойством (T). Таким образом, для п ≥ 3 специальная линейная группа SL (п, Z) обладает свойством (T).

Примеры

Компактные топологические группы обладают свойством (T). В частности, круговая группа, аддитивная группа Z_п из п-адические целые числа, компактные особые унитарные группы SU (п) и все конечные группы обладают свойством (T).
Простой настоящий Группы Ли настоящих классифицировать как минимум двое обладают свойством (T). Это семейство групп включает специальные линейные группы SL (п, р) за п ≥ 3 и специальные ортогональные группы ТАК(п,q) за п > q ≥ 2 и SO (п,п) за п ≥ 3. В общем, это справедливо для простых алгебраические группы ранга не менее двух выше местное поле.
Пары (р^п ⋊ SL (п, р), р^п) и (Z^п ⋊ SL (п, Z), Z^п) обладают относительным свойством (T) для п ≥ 2.
За п ≥ 2, некомпактная группа Ли Sp (п, 1) изометрий кватернионный эрмитская форма подписи (п, 1) - простая группа Ли вещественного ранга 1, обладающая свойством (T). По теореме Каждана решетки этой группы обладают свойством (T). Эта конструкция важна, потому что эти решетки гиперболические группы; таким образом, существуют группы, которые являются гиперболическими и обладают свойством (T). Явными примерами групп из этой категории служат арифметические решетки в Sp (п, 1) и некоторые кватернионные группы отражения.

Примеры групп, которые не иметь свойство (T) включать

Аддитивные группы целых чисел Z, действительных чисел р и из п-адические числа Q_п.
Специальные линейные группы SL (2, Z) и SL (2, р) в результате существования представлений дополнительной серии вблизи тривиального представления, хотя SL (2,Z) обладает свойством (τ) относительно главных конгруэнтных подгрупп по теореме Сельберга.
Некомпактный разрешимые группы.
Нетривиальный бесплатные группы и свободные абелевы группы.

Дискретные группы

Исторически свойство (T) было установлено для дискретных групп Γ путем вложения их в виде решеток в вещественные или p-адические группы Ли со свойством (T). Сейчас доступно несколько прямых методов.

В алгебраический метод Шалома применяется, когда Γ = SL (п, р) с р кольцо и п ≥ 3; метод основан на том, что Γ может быть ограниченно порожденный, т.е. может быть выражено как конечное произведение более простых подгрупп, таких как элементарные подгруппы, состоящие из матриц, отличающихся от единичной матрицы в одном заданном недиагональном положении.
В геометрический метод берет свое начало в идеях Гарланда, Громов и Пьер Пансу. Его простейшая комбинаторная версия принадлежит Зуку: пусть Γ - дискретная группа, порожденная конечным подмножеством S, замкнутая относительно обратного и не содержащая единицы, и определим конечную график с вершинами S и грань между грамм и час в любое время грамм⁻¹час лежит в S. Если этот граф связан и наименьшее ненулевое собственное значение Лапласиан соответствующего простого случайного блуждания больше ½, то Γ обладает свойством (T). Более общая геометрическая версия, созданная Зуком и Баллманн и Святковски (1997), утверждает, что если дискретная группа Γ действует правильно прерывисто и компактно на стягиваемый 2-х мерный симплициальный комплекс с теми же теоретическими условиями графа, наложенными на связь в каждой вершине, то Γ обладает свойством (T). Много новых примеров гиперболические группы со свойством (T) можно выставить с помощью этого метода.
В компьютерный метод основан на предложении Нарутака Одзава и был успешно реализован несколькими исследователями. Он основан на алгебраической характеризации свойства (T) в терминах неравенства в действительной групповая алгебра, для которого решение можно найти, решив полуопределенное программирование проблема численно на компе. Примечательно, что этот метод подтвердил свойство (T) для группа автоморфизмов свободной группы ранга не ниже 5. Человеческое доказательство этого результата не известно.

Приложения

Григорий Маргулис использовал тот факт, что SL (п, Z) (за п ≥ 3) обладает свойством (T) строить явные семейства расширяющиеся графики, то есть графы со свойством, что каждое подмножество имеет равномерно большую «границу». Эта связь привела к ряду недавних исследований, дающих явную оценку Константы Каждан, количественная оценка свойства (T) для конкретной группы и генерирующего набора.
Ален Конн использовали дискретные группы со свойством (T), чтобы найти примеры тип II₁ факторы с счетный фундаментальная группа, поэтому, в частности, не все положительные реалы ℝ⁺. Сорин Попа впоследствии использовал относительное свойство (T) для дискретных групп для создания типа II.₁ фактор с тривиальной фундаментальной группой.
Группы со свойством (T) приводят к хорошему смешивание свойства в эргодическая теория: опять же неформально, процесс, который медленно смешивает, оставляет некоторые подмножества почти инвариантный.^{[нужна цитата ]}^{[требуется разъяснение ]}
Точно так же группы со свойством (T) могут использоваться для построения конечных наборов обратимых матриц, которые могут эффективно аппроксимировать любую заданную обратимую матрицу в том смысле, что каждая матрица может быть аппроксимирована с высокой степенью точности конечным произведением матриц. в списке или их обратные, так что количество необходимых матриц пропорционально количеству значащие цифры в приближении.^{[нужна цитата ]}^{[требуется разъяснение ]}
Группы со свойством (T) также имеют Собственность Серра FA.^[1]
Тошиказу Сунада заметил, что положительность дна спектра "скрученного" лапласиана на замкнутом многообразии связана со свойством (T) фундаментальная группа.^[2] Это наблюдение приводит к результату Брукса, который говорит, что нижняя часть спектра Лапласиан на универсальном накрывающем многообразии над замкнутым римановым многообразием M равен нулю тогда и только тогда, когда фундаментальная группа M является послушный.^[3]