Изометрия - Isometry

Эта статья о функциях сохранения расстояния. Для других математических применений см. изометрия (значения). Для нематематических целей см. Изометрические.

Не путать с Изометрическая проекция.

В математика, изометрия (или же соответствие, или же конгруэнтное преобразование) это расстояние -сохраняющее преобразование между метрические пространства, обычно считается биективный.^[1]

А сочинение из двух противоположный изометрии - это прямая изометрия. Отражение в линии - противоположная изометрия, например р ₁ или же р ₂ на рисунке. Перевод Т прямая изометрия: жесткое движение.^[2]

Вступление

Учитывая метрическое пространство (грубо говоря, набор и схему для определения расстояний между элементами набора), изометрия - это трансформация который сопоставляет элементы с тем же или другим метрическим пространством, так что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двухмерном или трехмерном Евклидово пространство, две геометрические фигуры конгруэнтный если они связаны изометрией;^[3] изометрия, которая их связывает, представляет собой либо жесткое движение (поступательное движение или вращение), либо сочинение жесткого движения и отражение.

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство встроенный в другом пространстве. Например, завершение метрического пространства M включает изометрию из M в M ', а набор частных пространства Последовательности Коши на M. Оригинальное пространство M таким образом изометрически изоморфный в подпространство полное метрическое пространство, и его обычно отождествляют с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно закрытое подмножество некоторых нормированное векторное пространство и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого Банахово пространство.

Изометрический сюръективный линейный оператор на Гильбертово пространство называется унитарный оператор.

Определение изометрии

Позволять Икс и Y быть метрические пространства с метриками d_Икс и d_Y. А карта ж : Икс → Y называется изометрия или же сохранение расстояния если для любого а,б ∈ Икс надо

${\displaystyle d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).}$^[4]

Изометрия выполняется автоматически инъективный;^[1] в противном случае две разные точки, а и б, можно было бы отобразить в одну и ту же точку, что противоречит аксиоме совпадения метрики d. Это доказательство аналогично доказательству того, что заказать встраивание между частично упорядоченные наборы инъективно. Ясно, что любая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением.

А глобальная изометрия, изометрический изоморфизм или же сопоставление это биективный изометрия. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратная функция. Обратное к глобальной изометрии также является глобальной изометрией.

Два метрических пространства Икс и Y называются изометрический если существует биективная изометрия из Икс к Y. В набор биективных изометрий из метрического пространства в себя образует группа относительно функциональная композиция, называется группа изометрии.

Есть также более слабое понятие изометрия пути или же дуговая изометрия:

А изометрия пути или же дуговая изометрия карта, сохраняющая длины кривых; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрия, поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип предназначен.

Примеры

• Любой отражение, перевод и вращение является глобальной изометрией на Евклидовы пространства. Смотрите также Евклидова группа и Евклидово пространство § Изометрии.
• Карта ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ в ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ представляет собой изометрию пути, но не изометрию. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, это не инъективно.

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение:^[5] В середина из двух элементов Икс и у в векторном пространстве - это вектор 1/2(Икс + у).

Теорема^[5][6] — Позволять А : Икс → Y быть сюръективной изометрией между нормированные пространства который отображает 0 в 0 (Стефан Банах назвал такие карты вращения) где отметим, что А является нет предполагается, что это линейный изометрия. потом А отображает средние точки в средние точки и является линейным, как карта по действительным числам ℝ. Если Икс и Y комплексные векторные пространства, то А может не быть линейным, как карта ℂ.

Линейная изометрия

Учитывая два нормированные векторные пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$, а линейная изометрия это линейная карта ${\displaystyle A:V\to W}$ что сохраняет нормы:

${\displaystyle \|Av\|=\|v\|}$

для всех ${\displaystyle v\in V}$.^[7] Линейные изометрии - это карты, сохраняющие расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективный.

В внутреннее пространство продукта, приведенное выше определение сводится к

${\displaystyle \langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle }$

для всех ${\displaystyle v\in V}$, что эквивалентно утверждению, что ${\displaystyle A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}}$. Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, поскольку

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle .}$

Линейные изометрии не всегда унитарные операторы, хотя, поскольку они требуют дополнительно, чтобы ${\displaystyle V=W}$ и ${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}}$.

Посредством Теорема Мазура – ​​Улама, любая изометрия нормированных векторных пространств над р является аффинный.

Примеры

• Изометрические линейные карты из C^п себе даются унитарные матрицы.^{[8][9][10][11]}

Коллекторы

Изометрия многообразие - любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрика на коллекторе; многообразие с (положительно определенной) метрикой является Риманово многообразие, один с индефинитной метрикой является псевдориманово многообразие. Таким образом, изометрии изучаются в Риманова геометрия.

А локальная изометрия от одного (псевдо -)Риманово многообразие другому - карта, которая тянет обратно в метрический тензор на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такая карта тоже диффеоморфизм, такое отображение называется изометрия (или же изометрический изоморфизм), и дает понятие изоморфизм («одинаковость») в категория Rm римановых многообразий.

Определение

Позволять ${\displaystyle R=(M,g)}$ и ${\displaystyle R'=(M',g')}$ - два (псевдо) риманова многообразия, и пусть ${\displaystyle f:R\to R'}$ - диффеоморфизм. потом ${\displaystyle f}$ называется изометрия (или же изометрический изоморфизм) если

${\displaystyle g=f^{*}g',\,}$

куда ${\displaystyle f^{*}g'}$ обозначает откат метрического тензора ранга (0, 2) ${\displaystyle g'}$ к ${\displaystyle f}$. Эквивалентно с точки зрения продвигать ${\displaystyle f_{*}}$, у нас есть это для любых двух векторных полей ${\displaystyle v,w}$ на ${\displaystyle M}$ (т.е. разделы касательный пучок ${\displaystyle \mathrm {T} M}$),

${\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).\,}$

Если ${\displaystyle f}$ это локальный диффеоморфизм такой, что ${\displaystyle g=f^{*}g'}$, тогда ${\displaystyle f}$ называется локальная изометрия.

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу, группа изометрии. Когда группа непрерывная группа, то бесконечно малые генераторы группы являются Убивающие векторные поля.

В Теорема Майерса – Стинрода. утверждает, что любая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является Группа Ли.

Римановы многообразия которые имеют изометрии, определенные в каждой точке, называются симметричные пространства.

Обобщения

• Для положительного действительного числа ε ε-изометрия или же почти изометрия (также называемый Хаусдорф приближение) - это карта ${\displaystyle f:X\to Y}$ между метрическими пространствами такими, что
  1. за Икс,Икс′ ∈ Икс есть |d_Y(ƒ (Икс), ƒ (Икс′))−d_Икс(Икс,Икс′) | <ε, и
  2. для любой точки у ∈ Y есть точка Икс ∈ Икс с d_Y(у, ƒ (Икс)) <ε

То есть ε-изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет никаких элементов содомена дальше, чем ε от изображения элемента области. Обратите внимание, что ε-изометрии не считаются непрерывный.

• В свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
• Квазиизометрия еще одно полезное обобщение.
• Можно также определить элемент абстрактной унитальной C * -алгебры как изометрию:

  ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$ является изометрией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a^{*}\cdot a=1}$.

Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, потому что, как правило, левый обратный не является правым обратным.

• На псевдоевклидово пространство, период, термин изометрия означает, что линейная биекция сохраняет величину. Смотрите также Квадратичные пространства.

Смотрите также

• Теорема Бекмана – Куорлза
• Второе двойственное банахово пространство как изометрический изоморфизм
• Изометрия евклидовой плоскости
• Плоский (геометрия)
• Группа гомеоморфизмов
• Инволюция
• Группа изометрии
• Движение (геометрия)
• Теорема Майерса – Стинрода.
• Трехмерные изометрии, оставляющие фиксированное начало координат
• Частичная изометрия
• Полуопределенное вложение
• Космическая группа
• Симметрия в математике

Рекомендации

1. Кокстер 1969, п. 29

   "Мы сочтем удобным использовать слово трансформация в особом смысле взаимно однозначного соответствия ${\displaystyle P\to P'}$ среди всех точек на плоскости (или в пространстве), то есть правило для связывания пар точек, с пониманием того, что каждая пара имеет первый член п и второй член П' и что каждая точка встречается как первый член только одной пары, а также как второй член только одной пары ...

   В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование» или «конгруэнтность») - это преобразование, которое сохраняет длину ... »

2. Кокстер 1969, п. 46

   3.51 Любая прямая изометрия - это либо перенос, либо вращение. Любая противоположная изометрия является либо отражением, либо скользящим отражением.

3. Кокстер 1969, п. 39

   3.11 Любые два конгруэнтных треугольника связаны единственной изометрией.

4. Beckman, F. S .; Куорлз, Д. А., младший (1953). «Об изометриях евклидовых пространств» (PDF). Труды Американского математического общества. 4 (5): 810–815. Дои:10.2307/2032415. JSTOR  2032415. МИСТЕР  0058193.
   Позволять Т - преобразование (возможно, многозначное) ${\displaystyle E^{n}}$ (${\displaystyle 2\leq n<\infty }$) в себя.
   Позволять ${\displaystyle d(p,q)}$ расстояние между точками п и q из ${\displaystyle E^{n}}$, и разреши Tp, Tq быть любыми изображениями п и q, соответственно.
   Если есть длина а > 0 такой, что ${\displaystyle d(Tp,Tq)=a}$ в любое время ${\displaystyle d(p,q)=a}$, тогда Т является евклидовым преобразованием ${\displaystyle E^{n}}$ на себя.
5. Наричи и Бекенштейн 2011 С. 275-339.
6. Виланский 2013, стр. 21-26.
7. Томсен, Джеспер Фанч (2017). Линейная алгебра [Линейная алгебра] (на датском). Орхус: математический факультет Орхусского университета. п. 125.
8. Roweis, S.T .; Саул, Л. К. (2000). «Снижение нелинейной размерности локально линейным вложением». Наука. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX  10.1.1.111.3313. Дои:10.1126 / science.290.5500.2323. PMID  11125150.
9. Саул, Лоуренс К .; Роуейс, Сэм Т. (2003). «Мыслите глобально, подходите локально: обучение нелинейным многообразиям без учителя». Журнал исследований в области машинного обучения. 4 (Июнь): 119–155. Квадратичная оптимизация ${\displaystyle \mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)}$ (стр. 135) так, что ${\displaystyle \mathbf {M} \equiv YY^{\top }}$
10. Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунюань (2004). "Основные многообразия и уменьшение нелинейной размерности посредством локального выравнивания касательного пространства". Журнал SIAM по научным вычислениям. 26 (1): 313–338. CiteSeerX  10.1.1.211.9957. Дои:10,1137 / с1064827502419154.
11. Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: модифицированное локально линейное вложение с использованием множественных весов». Достижения в системах обработки нейронной информации. 19. Он может найти идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, выбранным из изометрического коллектора.

Библиография

• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.

Библиография

• Кокстер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию, второе издание. Wiley. ISBN  9780471504580.
• Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4815-9.