Космическая группа - Space group

Космическая группа шестиугольный H₂О лед это P6₃/ммс. Первый м указывает на плоскость зеркала, перпендикулярную оси c (a), вторая м указывает плоскости зеркала, параллельные оси c (b), а c указывает плоскости скольжения (b) и (c). Черные квадраты обрисовывают элементарную ячейку.

В математика, физика и химия, а космическая группа это группа симметрии конфигурации в пространстве, обычно в три измерения.^[1] В трех измерениях существует 219 различных типов, или 230, если хиральный копии считаются отдельными. Космические группы также изучаются в измерениях, отличных от 3, где их иногда называют Бибербах группы, и дискретны компактный группы изометрий ориентированного Евклидово пространство.

В кристаллография, пространственные группы также называют кристаллографический или же Федоров группы, и представляют собой описание симметрия кристалла. Окончательным источником относительно трехмерных пространственных групп является Международные таблицы для кристаллографии (Хан (2002) ).

История

Космические группы в 2 измерениях - 17 группы обоев которые были известны в течение нескольких столетий, хотя доказательство того, что список был полным, было дано только в 1891 году, после того как была в основном завершена гораздо более сложная классификация космических групп.^[2]В 1879 г. немецкий математик Леонард Зонке перечислил 65 пространственных групп (называемых группами Зонке), элементы которых сохраняют хиральность.^[3] Точнее, он перечислил 66 групп, но и русский математик, и кристаллограф Евграф Федоров и немецкий математик Артур Мориц Шенфлис заметил, что двое из них действительно были одинаковыми. Впервые пространственные группы в трех измерениях были перечислены в 1891 году Федоровым.^[4] (в чьем списке было два пропусков (I43d и Fdd2) и одна дупликация (Fmm2)), а вскоре после этого в 1891 году были независимо перечислены Шенфлисом.^[5] (в чьем списке было четыре пропусков (I43d, Pc, Cc,?) И одно дублирование (P42₁м)). Правильный список из 230 космических групп был найден к 1892 году в ходе переписки между Федоровым и Шенфлисом.^[6] Барлоу  (1894 ) позже перечислил группы другим методом, но пропустил четыре группы (Fdd2, I42г, П42₁d и P42₁в) хотя у него уже был правильный список из 230 групп от Федорова и Шёнфлиса; распространенное утверждение, что Барлоу не знал об их работе, неверно.^{[нужна цитата ]}Буркхардт (1967) Подробно описана история открытия космических групп.

Элементы

Пространственные группы в трех измерениях состоят из комбинаций 32 кристаллографические точечные группы с 14 Решетки Браве, каждый из которых принадлежит одному из 7 решетчатые системы. Это означает, что действие любого элемента данной пространственной группы может быть выражено как действие элемента соответствующей точечной группы с последующим необязательным переводом. Таким образом, пространственная группа - это некоторая комбинация трансляционной симметрии ячейка (включая центрирование решетки^{[требуется разъяснение ]}) операции точечной групповой симметрии отражение, вращение и неправильное вращение (также называемая ротоинверсией), а ось винта и планер операции симметрии. Комбинация всех этих операций симметрии дает в общей сложности 230 различных пространственных групп, описывающих все возможные симметрии кристаллов.

Элементы, фиксирующие точку

Элементы пространственной группы, фиксирующие точку пространства, являются элементом идентичности, отражениями, вращениями и неправильные вращения.

Переводы

Переводы образуют нормальную абелеву подгруппу группы классифицировать 3, называемая решеткой Браве. Существует 14 возможных типов решетки Браве. В частное пространственной группы решеткой Браве является конечной группой, которая является одной из 32 возможных точечные группы.

Самолеты планирования

А планер - это отражение в плоскости, за которым следует перенос, параллельный этой плоскости. Это отмечает ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, или же ${\displaystyle c}$, в зависимости от того, по какой оси идет скольжение. Также есть ${\displaystyle n}$ скольжение - скольжение по половине диагонали лица, а ${\displaystyle d}$ скольжение, которое составляет четвертую часть пути либо по грани, либо по диагонали пространства элементарной ячейки. Последняя называется алмазной плоскостью скольжения, так как она присутствует в алмаз структура. В 17 пространственных группах из-за центрирования ячейки скольжения происходят одновременно в двух перпендикулярных направлениях, т.е. этот же самолет скольжения можно назвать б или же c, а или же б, а или же c. Например, группа Abm2 также может называться Acm2, группа Ccca может называться Cccb. В 1992 году было предложено использовать символ е для таких самолетов. Изменены символы для пяти пространственных групп:

Космическая группа №	39	41	64	67	68
Новый символ	Aem2	Aea2	CMCE	Смме	Ccce
Старый символ	Abm2	Aba2	CMCA	CMMA	Ccca

Винтовые оси

А ось винта - это вращение вокруг оси с последующим перемещением в направлении оси. Они отмечены числом, п, чтобы описать степень вращения, где число - это количество операций, которые необходимо применить для завершения полного вращения (например, 3 будет означать поворот на треть пути вокруг оси каждый раз). Затем степень смещения добавляется в качестве индекса, показывающего, как далеко по оси находится смещение, как часть вектора параллельной решетки. Итак, 2₁ представляет собой двукратный поворот с последующим переносом 1/2 вектора решетки.

Общая формула

Общая формула действия элемента пространственной группы:

у = M.Икс + D

куда M его матрица, D - его вектор, а где элемент трансформирует точку Икс в точку у. В целом, D = D(решетка ) + D(M), куда D(M) - единственная функция от M это ноль для M быть личностью. Матрицы M сформировать точечная группа это основа космической группы; решетка должна быть симметричной относительно этой точечной группы, но сама кристаллическая структура не может быть симметричной относительно этой точечной группы применительно к какой-либо конкретной точке (то есть без трансляции). Например, алмаз кубический структура не имеет точки, где кубическая точечная группа применяется.

Размер решетки может быть меньше, чем общий размер, что приводит к «субпериодической» пространственной группе. Для (габаритный размер, размер решетки):

• (1,1): Одномерный группы линий
• (2,1): Двумерный группы линий: фризовые группы
• (2,2): Группы обоев
• (3,1): Трехмерный группы линий; с точечными трехмерными кристаллографическими группами группы стержней
• (3,2): Группы слоев
• (3,3): космические группы, обсуждаемые в этой статье

Обозначение

Дальнейшая информация: Список космических групп

Существует как минимум десять способов именования пространственных групп. Некоторые из этих методов могут присвоить одной и той же пространственной группе несколько разных имен, поэтому в целом существует много тысяч разных имен.

Число

Международный союз кристаллографии публикует таблицы всех типов пространственных групп и присваивает каждой из них уникальный номер от 1 до 230. Нумерация произвольная, за исключением того, что группам с одинаковой кристаллической системой или точечной группой даются последовательные номера.

Обозначение международного символа

Обозначения Германа – Могена

Обозначение Германа – Могена (или международное) описывает решетку и некоторые образующие группы. Имеет сокращенную форму, называемую международный короткий символ, который наиболее часто используется в кристаллографии и обычно состоит из четырех символов. Первый описывает центрирование решетки Браве (п, А, C, я, р или же F). Следующие три описывают наиболее заметную операцию симметрии, видимую при проецировании вдоль одного из направлений высокой симметрии кристалла. Эти символы такие же, как и в точечные группы, с добавлением плоскостей скольжения и оси винта, описанных выше. Например, космическая группа кварц это P3₁21, показывая, что он демонстрирует примитивное центрирование мотива (то есть один раз на элементарную ячейку) с осью винта тройного вращения и осью вращения второго порядка. Обратите внимание, что он явно не содержит кристаллическая система, хотя это уникально для каждой космической группы (в случае п3₁21, он тригональный).

В международном коротком символе первый символ (3₁ в этом примере) обозначает симметрию вдоль большой оси (ось c в тригональных случаях), вторая (2 в данном случае) вдоль осей второстепенной важности (a и b), а третий символ - симметрию в другом направлении. В тригональном случае также существует пространственная группа P3₁12. В этой пространственной группе оси второго порядка расположены не вдоль осей a и b, а в направлении, повернутом на 30 °.

Международные символы и международные короткие символы для некоторых космических групп были немного изменены в период с 1935 по 2002 год, поэтому в нескольких космических группах используются 4 различных международных символа.

Направления обзора 7 кристаллических систем показаны ниже.

Положение в символе	Триклиник	Моноклиника	Орторомбический	Тетрагональный	Тригональный	Шестиугольный	Кубический
1	—	б	а	c	c	c	а
2	—		б	а	а	а	[111]
3	—		c	[110]	[210]	[210]	[110]

Обозначение Холла^[7]

Обозначение пространственной группы с явным происхождением. Символы вращения, перемещения и направления оси четко разделены, а центры инверсии явно определены. Конструкция и формат записи делают ее особенно подходящей для компьютерной генерации информации о симметрии. Например, группа номер 3 имеет три символа Холла: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).

Обозначение Шенфлиса

Пространственные группы с заданной точечной группой нумеруются цифрами 1, 2, 3,… (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется в качестве надстрочного индекса к символу Шенфлиса для точечной группы. Например, группы с 3 по 5, точечная группа которых C₂ иметь символы Schönflies C¹
₂, C²
₂, C³
₂.

Федоров обозначение

Символ Шубникова

Strukturbericht обозначение

Соответствующие обозначения для кристаллических структур с буквой и индексом: А Элементы (одноатомные), B для соединений AB, C для AB₂ соединения, D для_мB_п соединения, (E, F, ..., K Более сложные соединения), L Сплавы, О Органические соединения, S Силикаты. Некоторые структурные обозначения имеют одни и те же пространственные группы. Например, пространственная группа 225 - это A₁, B₁, а C₁. Космическая группа 221 - это А_час, а B₂.^[8] Однако кристаллографы не будут использовать нотацию Strukturbericht для описания пространственной группы, скорее, она будет использоваться для описания конкретной кристаллической структуры (например, пространственная группа + расположение атомов (мотив)).

Обозначение орбифолда (2D)

Обозначение фибрифолда (3D)

Как следует из названия, обозначение орбифолда описывает орбифолд, задаваемый фактором евклидова пространства по пространственной группе, а не генераторами пространственной группы. Он был представлен Конвей и Терстон, и мало используется вне математики. С некоторыми из пространственных групп связано несколько разных слоистых образов, поэтому они имеют несколько разных символов.

Обозначение Кокстера

Группы пространственной и точечной симметрии, представленные как модификации чисто отражательной Группы Кокстера.

Геометрические обозначения^[9]

А геометрическая алгебра обозначение.

Системы классификации

Существует (по крайней мере) 10 различных способов классифицировать космические группы. Отношения между некоторыми из них описаны в следующей таблице. Каждая классификационная система является усовершенствованием нижеследующих.

(Кристаллографические) типы пространственных групп (230 в трех измерениях)
Две пространственные группы, рассматриваемые как подгруппы группы аффинные преобразования пространства, имеют тот же тип пространственной группы, если они сопряжены с помощью аффинного преобразования, сохраняющего киральность. В трех измерениях для 11 из аффинное пространство групп, не существует сохраняющего киральность отображения группы в ее зеркальное отображение, поэтому, если выделить группы по их зеркальным изображениям, каждое из них разделится на два случая (например, P41 и P43). Итак, существует 54 + 11 = 65 типов пространственных групп, которые сохраняют киральность (группы Зонке).
Типы аффинных пространственных групп (219 в трех измерениях)
Две пространственные группы, рассматриваемые как подгруппы группы аффинных преобразований пространства, имеют один и тот же тип аффинной пространственной группы, если они сопряжены при аффинном преобразовании. Тип аффинной пространственной группы определяется базовой абстрактной группой пространственной группы. В трех измерениях существует 54 типа аффинных пространственных групп, сохраняющих киральность.
Арифметические классы кристаллов (73 в трех измерениях)
Иногда их называют Z-классами. Они определяются точечной группой вместе с действием точечной группы на подгруппу переводов. Другими словами, арифметические кристаллические классы соответствуют классам сопряженности конечной подгруппы общей линейной группы GLп(Z) над целыми числами. Космическая группа называется симморфный (или же расколоть), если существует такая точка, что все симметрии являются произведением симметрии, фиксирующей эту точку, и сдвига. Эквивалентно, пространственная группа симморфна, если она полупрямой продукт своей точечной группы с ее подгруппой трансляции. Существует 73 симморфных пространственных группы, по одной в каждом арифметическом кристаллическом классе. Существует также 157 несимморфных типов пространственных групп с различными числами в классах арифметических кристаллов. Арифметические классы кристаллов можно интерпретировать как различные ориентации точечных групп в решетке, при этом матричные компоненты групповых элементов ограничиваются наличием целочисленных коэффициентов в пространстве решетки. Это довольно легко изобразить в двухмерном, группа обоев дело. Некоторые из точечных групп имеют отражения, и линии отражения могут проходить вдоль направлений решетки, на полпути между ними или в обоих направлениях. Нет: C1: p1; C2: p2; C3: p3; C4: p4; C6: p6 Вместе: D1: pm, pg; D2: pmm, pmg, pgg; D3: p31m Между: D1: см; D2: cmm; D3: p3m1 Оба: D4: p4m, p4g; D6: p6m
(геометрический) Кристалл классы (32 в трех измерениях)	Стаи Браве (14 в трех измерениях)
Иногда их называют Q-классами. Кристаллический класс пространственной группы определяется ее точечной группой: фактор-группа по подгруппе трансляций, действующих на решетке. Две пространственные группы принадлежат к одному и тому же кристаллическому классу тогда и только тогда, когда их точечные группы, которые являются подгруппами GLп(Z), сопряжены в большей группе GLп(Q).	Они определяются основным типом решетки Браве. Они соответствуют классам сопряженности решеточных точечных групп в GLп(Z), где точечная группа решетки - это группа симметрий основной решетки, которая фиксирует точку решетки и содержит точечную группу.
Кристаллические системы (7 в трех измерениях)	Решетчатые системы (7 в трех измерениях)
Кристаллические системы - это специальная модификация решетчатых систем, чтобы сделать их совместимыми с классификацией по точечным группам. Они отличаются от семейств кристаллов тем, что семейство гексагональных кристаллов разделено на два подмножества, называемых тригональными и гексагональными кристаллическими системами. Тригональная кристаллическая система больше, чем система ромбоэдрической решетки, гексагональная кристаллическая система меньше, чем система гексагональной решетки, а остальные кристаллические системы и системы решеток такие же.	Решеточная система пространственной группы определяется классом сопряженности решеточной точечной группы (подгруппа в GLп(Z)) в большей группе GLп(Q). В трех измерениях точечная группа решетки может иметь один из 7 различных порядков 2, 4, 8, 12, 16, 24 или 48. Семейство гексагональных кристаллов разделено на два подмножества, называемых системами ромбоэдрической и гексагональной решеток.
Хрустальные семьи (6 в трех измерениях)
Точечная группа пространственной группы не совсем определяет ее решеточную систему, потому что иногда две пространственные группы с одной и той же точечной группой могут находиться в разных решетчатых системах. Семейства кристаллов образуются из систем решеток путем слияния двух систем решеток всякий раз, когда это происходит, так что кристаллическое семейство пространственной группы определяется либо ее системой решеток, либо ее точечной группой. В трехмерном пространстве единственные два семейства решеток, которые объединяются таким образом, - это гексагональная и ромбоэдрическая системы решеток, которые объединены в гексагональное кристаллическое семейство. Шесть семейств кристаллов в трех измерениях называются триклинными, моноклинными, ромбическими, тетрагональными, гексагональными и кубическими. Семейства кристаллов обычно используются в популярных книгах по кристаллам, где их иногда называют кристаллическими системами.

Конвей, Дельгадо Фридрихс и Хусон и др. (2001 ) дал другую классификацию пространственных групп, названную фиброзная запись, согласно складка структур на соответствующих орбифолд. Они разделили 219 аффинных пространственных групп на приводимые и неприводимые группы. Приводимые группы делятся на 17 классов, соответствующих 17 группы обоев, а остальные 35 неприводимых групп совпадают с кубические группы и классифицируются отдельно.

В других измерениях

Теоремы Бибербаха

В п размерностей, аффинная пространственная группа или группа Бибербаха, является дискретной подгруппой изометрий п-мерное евклидово пространство с компактной фундаментальной областью. Бибербах (1911, 1912 ) доказал, что подгруппа трансляций любой такой группы содержит п линейно независимые переводы и является бесплатным абелевский подгруппа конечного индекса, а также является единственной максимальной нормальной абелевой подгруппой. Он также показал, что в любом измерении п существует только конечное число возможностей для класса изоморфизма основной группы пространственной группы, и, более того, действие группы на евклидовом пространстве уникально с точностью до сопряжения посредством аффинных преобразований. Это отвечает на часть Восемнадцатая проблема Гильберта. Цассенхаус (1948) показал, что, наоборот, любая группа, являющаяся расширением^{[когда определяется как? ]} из Z^п конечной группой, действующей точно, является аффинное пространство группа. Объединение этих результатов показывает, что классификация пространственных групп в п размерностей с точностью до сопряжения аффинными преобразованиями по сути то же самое, что классификация классов изоморфизма для групп, которые являются расширениями Z^п конечной группой, действующей точно.

В теоремах Бибербаха важно предположить, что группа действует как изометрии; теоремы не обобщаются на дискретные кокомпактные группы аффинных преобразований евклидова пространства. Контрпримером является 3-мерная группа Гейзенберга целых чисел, действующая посредством переводов на группу Гейзенберга вещественных чисел, отождествленную с 3-мерным евклидовым пространством. Это дискретная кокомпактная группа аффинных преобразований пространства, но не содержит подгруппы Z³.

Классификация по малым размерам

В этой таблице указано количество типов пространственных групп в малых размерах, включая количество различных классов пространственных групп. В скобках указаны номера энантиоморфных пар.

Размеры	Кристаллические семейства (последовательность A004032 в OEIS )	Кристаллические системы (последовательность A004031 в OEIS )	Решетки Браве (последовательность A256413 в OEIS )	Абстрактные кристаллографические точечные группы (последовательность A006226 в OEIS )	Геометрические классы кристаллов, Q-классы, кристаллографические точечные группы (последовательность A004028 в OEIS )	Классы арифметических кристаллов, Z-классы (последовательность A004027 в OEIS )	Типы аффинных пространственных групп (последовательность A004029 в OEIS )	Типы кристаллографических пространственных групп (последовательность A006227 в OEIS )
0[а]	1	1	1	1	1	1	1	1
1[b]	1	1	1	2	2	2	2	2
2[c]	4	4	5	9	10	13	17	17
3[d]	6	7	14	18	32	73	219 (+11)	230
4[e]	23 (+6)	33 (+7)	64 (+10)	118	227 (+44)	710 (+70)	4783 (+111)	4894
5[f]	32	59	189	239	955	6079	222018 (+79)	222097
6[грамм]	91	251	841	1594	7103	85308 (+?)	28927915 (+?)	?

1. Тривиальная группа
2. Один - это группа целых чисел, а другой - бесконечная диэдральная группа; видеть группы симметрии в одном измерении.
3. Эти 2D пространственные группы также называются группы обоев или же группы самолетов.
4. В 3D существует 230 типов кристаллографических пространственных групп, что сокращается до 219 типов аффинных пространственных групп из-за того, что некоторые типы отличаются от их зеркального отображения; они, как говорят, отличаются энантиоморфный персонаж (например, P3₁12 и P3₂12). Обычно космическая группа относится к 3D. Перечислили они независимо Барлоу (1894), Федоров (1891) Ошибка harvtxt: несколько целей (3 ×): CITEREFFedorov1891 (помощь) и Шёнфлис (1891).
5. 4895 4-мерных групп были перечислены Гарольдом Брауном, Рольфом Бюловом и Иоахимом Нойбюзером и др. (1978 ) Neubüser, Souvignier & Wondratschek (2002) исправлено количество энантиоморфных групп со 112 до 111, так что общее количество групп составляет 4783 + 111 = 4894. В 4-мерном пространстве 44 энантиоморфных точечных группы. Если рассматривать энантиоморфные группы как разные, то общее количество точечных групп составляет 227 + 44 = 271.
6. Плескен и Шульц (2000) перечислил размерности 5. Сувинье (2003) подсчитал энантиоморфы.
7. Плескен и Шульц (2000) пронумерованы размерности 6, позже были найдены исправленные цифры.^[10] Первоначально опубликовано 826 типов решеток в Плескен и Ханрат (1984) был исправлен до 841 в Опгенорт, Плескен и Шульц (1998). Смотрите также Janssen et al. (2002) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFJanssenBirmanKoptsikVerger-Gaugry2002 (помощь). Сувинье (2003) подсчитал энантиоморфы, но в этой статье использовались старые ошибочные данные CARAT для измерения 6.

Магнитные группы и обращение времени

Основная статья: Магнитная космическая группа

Помимо кристаллографических пространственных групп существуют также магнитные пространственные группы (также называемые двухцветными (черно-белыми) кристаллографическими группами или группами Шубникова). Эти симметрии содержат элемент, известный как обращение времени. Они рассматривают время как дополнительное измерение, и элементы группы могут включать обращение времени как отражение в нем. Они важны в магнитные конструкции которые содержат упорядоченные непарные вращения, т.е. ферро-, Ferri- или же антиферромагнитный структуры, изученные нейтронография. Элемент обращения времени переворачивает магнитное вращение, оставляя всю остальную структуру неизменной, и его можно комбинировать с рядом других элементов симметрии. С учетом обращения времени существует 1651 магнитная пространственная группа в 3D (Ким 1999, стр.428). Также было возможно сконструировать магнитные версии для других габаритных размеров и размеров решетки (Документы Даниэля Литвина, (Литвин 2008 ), (Литвин 2005 )). Группы Frieze представляют собой группы магнитных одномерных линий, группы слоев - это группы магнитных обоев, а группы осевых трехмерных точек - это группы магнитных 2D-точек. Количество исходных и магнитных групп по (габаритному, решетчатому) размеру :(Palistrant 2012 )(Souvignier 2006 )

Общий измерение	Решетка измерение	Обычные группы			Магнитные группы
		Имя	Символ	Считать	Символ	Считать
0	0	Группа нульмерной симметрии	${\displaystyle G_{0}}$	1	${\displaystyle G_{0}^{1}}$	2
1	0	Одномерные точечные группы	${\displaystyle G_{10}}$	2	${\displaystyle G_{10}^{1}}$	5
	1	Одномерные дискретные группы симметрии	${\displaystyle G_{1}}$	2	${\displaystyle G_{1}^{1}}$	7
2	0	Двумерные точечные группы	${\displaystyle G_{20}}$	10	${\displaystyle G_{20}^{1}}$	31
	1	Фриз-группы	${\displaystyle G_{21}}$	7	${\displaystyle G_{21}^{1}}$	31
	2	Группы обоев	${\displaystyle G_{2}}$	17	${\displaystyle G_{2}^{1}}$	80
3	0	Трехмерные точечные группы	${\displaystyle G_{30}}$	32	${\displaystyle G_{30}^{1}}$	122
	1	Группы стержней	${\displaystyle G_{31}}$	75	${\displaystyle G_{31}^{1}}$	394
	2	Группы слоев	${\displaystyle G_{32}}$	80	${\displaystyle G_{32}^{1}}$	528
	3	Трехмерные пространственные группы	${\displaystyle G_{3}}$	230	${\displaystyle G_{3}^{1}}$	1651
4	0	Четырехмерные точечные группы	${\displaystyle G_{40}}$	271	${\displaystyle G_{40}^{1}}$	1202
	1		${\displaystyle G_{41}}$	343
	2		${\displaystyle G_{42}}$	1091
	3		${\displaystyle G_{43}}$	1594
	4	Четырехмерные дискретные группы симметрии	${\displaystyle G_{4}}$	4894	${\displaystyle G_{4}^{1}}$	62227

Таблица пространственных групп в 2-х измерениях (группы обоев)

Таблица группы обоев используя классификацию трехмерных пространственных групп:

Кристаллическая система (Решетка Браве)	Геометрический класс Группа точек				Арифметика учебный класс	Группы обоев (сотовая диаграмма)
	Schön.	Орбифолд	Кокс.	Ord.
Косой	C1	(1)	[ ]^+	1	Никто	p1 (1)
	C2	(22)	[2]^+	2	Никто	p2 (2222)
Прямоугольный (Центрированный ромбический)	D1	(*)	[ ]	2	Вдоль	вечера (**)		pg (××)
	D2	(*22)	[2]	4	Вдоль	пмм (*2222)		pmg (22*)
Ромбический (Прямоугольник по центру)	D1	(*)	[ ]	2	Между	см (*×)
	D2	(*22)	[2]	4	Между	см (2*22)		pgg (22×)
Квадрат	C4	(44)	[4]^+	4	Никто	p4 (442)
	D4	(*44)	[4]	8	Обе	p4m (*442)		p4g (4*2)
Шестиугольный	C3	(33)	[3]^+	3	Никто	p3 (333)
	D3	(*33)	[3]	6	Между	p3m1 (*333)		p31m (3*3)
	C6	(66)	[6]^+	6	Никто	p6 (632)
	D6	(*66)	[6]	12	Обе	p6m (*632)

Для каждого геометрического класса возможные арифметические классы:

• Нет: нет линий отражения
• Вдоль: линии отражения вдоль направлений решетки
• Между: отражающие линии на полпути между направлениями решетки
• Оба: линии отражения вдоль и между направлениями решетки.

Таблица пространственных групп в 3-х измерениях

Дальнейшая информация: Список космических групп

#	Кристаллическая система (считать) Решетка Браве	Группа точек					Космические группы (международный короткий символ)
		Int'l	Schön.	Орбифолд	Кокс.	Ord.
1	Триклиник (2)	1	C1	11	[ ]^+	1	P1
2		1	Cя	1×	[2^+,2^+]	2	п1
3–5	Моноклиника (13)	2	C2	22	[2]^+	2	P2, P21 C2
6–9		м	Cs	*11	[ ]	2	Pm, Pc См, см
10–15		2 / м	C2ч	2*	[2,2^+]	4	P2 / м, P21/ м C2 / м, P2 / с, P21/ c C2 / c
16–24	Орторомбический (59)	222	D2	222	[2,2]^+	4	P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121
25–46		мм2	C2v	*22	[2]	4	Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2 Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		М-м-м	D2ч	*222	[2,2]	8	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Иммм, Ибам, Ибка, Имма
75–80	Тетрагональный (68)	4	C4	44	[4]^+	4	P4, P41, P42, P43, I4, I41
81–82		4	S4	2×	[2^+,4^+]	4	п4, Я4
83–88		4 / м	C4ч	4*	[2,4^+]	8	P4 / м, P42/ м, П4 / н, П42/ п I4 / м, I41/ а
89–98		422	D4	224	[2,4]^+	8	P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212 I422, I4122
99–110		4мм	C4в	*44	[4]	8	P4мм, P4bm, P42см, P42нм, P4cc, P4nc, P42mc, P42до н.э I4мм, I4см, I41мкр, И41CD
111–122		42м	D2d	2*2	[2^+,4]	8	п42м, П42c, P421м, П421c, P4м2, П4c2, P4b2, P4n2 я4м2, я4c2, я42м, я42d
123–142		4 / ммм	D4ч	*224	[2,4]	16	P4 / ммм, P4 / mcc, P4 / nbm, P4 / nnc, P4 / mbm, P4 / mnc, P4 / nmm, P4 / ncc, P42/ mmc, P42/ мкм, P42/ nbc, P42/ нм, P42/ mbc, P42/ мм, P42/ nmc, P42/ нсм I4 / ммм, I4 / мкм, I41/ amd, I41/ acd
143–146	Тригональный (25)	3	C3	33	[3]^+	3	P3, P31, P32 R3
147–148		3	S6	3×	[2^+,6^+]	6	п3, Р3
149–155		32	D3	223	[2,3]^+	6	P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221 R32
156–161		3м	C3в	*33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3м	D3D	2*3	[2^+,6]	12	п31м, П31c, P3m1, P3c1 р3Мистер3c
168–173	Шестиугольный (27)	6	C6	66	[6]^+	6	P6, P61, P65, P62, P64, P63
174		6	C3ч	3*	[2,3^+]	6	п6
175–176		6 / м	C6ч	6*	[2,6^+]	12	P6 / м, P63/ м
177–182		622	D6	226	[2,6]^+	12	P622, P6122, стр. 6522, стр. 6222, стр. 6422, стр. 6322
183–186		6мм	C6v	*66	[6]	12	P6 мм, P6cc, P63см, P63MC
187–190		6m2	D3ч	*223	[2,3]	12	п6м2, П6c2, P62м, П62c
191–194		6 / ммм	D6ч	*226	[2,6]	24	P6 / ммм, P6 / mcc, P63/ мкм, P63/ mmc
195–199	Кубический (36)	23	Т	332	[3,3]^+	12	P23, F23, I23 P213, И213
200–206		м3	Тчас	3*2	[3^+,4]	24	Вечера3, Pn3, Fm3, Fd3, Я3, Па3, Я3
207–214		432	О	432	[3,4]^+	24	P432, P4232 F432, F4132 I432 P4332, P4132, I4132
215–220		43м	Тd	*332	[3,3]	24	п43м, Ж43м, я43м п43н, Ж43c, I43D
221–230		м3м	Очас	*432	[3,4]	48	Вечера3м, Пн3n, Pm3n, Pn3м FM3м, Fm3c, Fd3м, Fd3c Я3м, я3d

Примечание. е Самолет - это самолет с двойным скольжением, который скользит в двух разных направлениях. Они находятся в семи ромбических, пяти тетрагональных и пяти кубических пространственных группах, все с центрированной решеткой. Использование символа е стал официальным с Хан (2002).

Систему решеток можно найти следующим образом. Если кристаллическая система не тригональная, то и решеточная система однотипна. Если кристаллическая система является тригональной, то система решетки является гексагональной, если пространственная группа не является одной из семи в ромбоэдрическая решетчатая система состоящий из 7 тригональных пространственных групп в таблице выше, имя которых начинается с R. (Термин ромбоэдрическая система также иногда используется как альтернативное название для всей тригональной системы.) гексагональная решетчатая система больше, чем гексагональная кристаллическая система, и состоит из гексагональной кристаллической системы вместе с 18 группами тригональной кристаллической системы, кроме семи, названия которых начинаются с R.

В Решетка Браве пространственной группы определяется системой решеток вместе с начальной буквой ее названия, которая для негомбоэдрических групп - P, I, F, A или C, что означает главную, центрированную по телу, центрированную по граням, A- решетки с центрированной гранью или C-гранью.

Вывод кристаллического класса из пространственной группы

1. Оставьте тип Bravais
2. Преобразуйте все элементы симметрии с поступательными компонентами в их соответствующие элементы симметрии без трансляционной симметрии (плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости; оси винта преобразуются в простые оси вращения)
3. Оси вращения, оси вращения и плоскости зеркал остаются неизменными.

Рекомендации

1. Хиллер, Ховард (1986). «Кристаллография и когомологии групп». Амер. Математика. Ежемесячно. 93 (10): 765–779. Дои:10.2307/2322930. JSTOR  2322930.
2. Федоров, Е. (1891). «Симметрія на плоскости» [Симметрия на площади, Симметрия на плоскости. Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического общества (Записки Императорского Сант-Петербургского Минералогического Общества, Известия Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества). 2-я серия. 28: 345–390.
3. Зонке, Леонард (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [Развитие теории кристаллической структуры] (на немецком). Лейпциг, Германия: B.G. Тюбнер.
4. Федоров, Э. С. (1891). "Симметрія правильныхъ системъ фигуръ" [Симметрия правильных систем фигур, Симметрия правильных систем фигур. Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Записки Императорского Санкт-Петербургскова Минералогического общества, Известия Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества). 2-я серия. 28: 1–146.
   • Английский перевод: Федоров, Э. С .; Харкер, Дэвид и Кэтрин, пер. (1971). Симметрия кристаллов, Монография Американской кристаллографической ассоциации № 7. Буффало, Нью-Йорк, США: Американская кристаллографическая ассоциация. С. 50–131.
5. Шенфлис, Артур М. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [Кристаллические системы и кристаллическая структура] (на немецком). Лейпциг, Германия: B.G. Тюбнер.
6. Федоров, Э. фон (1892). "Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen" [Подборка кристаллографических результатов мистера Шенфлиса и моего]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (на немецком). 20: 25–75.
7. http://cci.lbl.gov/sginfo/hall_symbols.html
8. "Strukturbericht - Wikimedia Commons". commons.wikimedia.org.
9. PDF Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре, Дэвид Хестенес и Джереми Холт
10. "Домашняя страница CARAT". Получено 11 мая 2015.

• Барлоу, W (1894 г.), "Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle" [О геометрических свойствах жестких структур и их применении в кристаллах]. Zeitschrift für Kristallographie, 23: 1–63, Дои:10.1524 / zkri.1894.23.1.1
• Бибербах, Людвиг (1911), «Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume» [О группах жесткие преобразования в евклидовых пространствах], Mathematische Annalen, 70 (3): 297–336, Дои:10.1007 / BF01564500, ISSN  0025-5831
• Бибербах, Людвиг (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich" [О группах жесткие преобразования в евклидовых пространствах (второй очерк). Группы с конечной фундаментальной областью. Mathematische Annalen, 72 (3): 400–412, Дои:10.1007 / BF01456724, ISSN  0025-5831
• Браун, Гарольд; Бюлов, Рольф; Нойбюзер, Иоахим; Вондрачек, Ганс; Цассенхаус, Ганс (1978), Кристаллографические группы четырехмерного пространства, Нью-Йорк: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN  978-0-471-03095-9, МИСТЕР  0484179
• Буркхардт, Иоганн Якоб (1947), Die Bewegungsgruppen der Kristallographie [Группы Жесткие преобразования в кристаллографии], Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften (Учебники и монографии из областей точных наук), 13, Verlag Birkhäuser, Базель, МИСТЕР  0020553
• Буркхардт, Иоганн Якоб (1967), "Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen" [Об истории открытия 230 космических групп], Архив истории точных наук, 4 (3): 235–246, Дои:10.1007 / BF00412962, ISSN  0003-9519, МИСТЕР  0220837
• Конвей, Джон Хортон; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Huson, Daniel H .; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных космических группах», Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, ISSN  0138-4821, МИСТЕР  1865535
• Федоров, Э. С. (1891), "Симметрія правильныхъ системъ фигуръ" [Симметрия правильных систем фигур, Симметрия правильных систем фигур], Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического общества (Записки Императорского Санкт-Петербургскова Минералогического общества, Известия Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества), 2-я серия, 28 (2): 1–146
• Федоров, Э. С. (1971), Симметрия кристаллов, Монография ACA, 7, Американская кристаллографическая ассоциация
• Hahn, Th. (2002), Хан, Тео (ред.), Международные таблицы для кристаллографии, том A: Симметрия пространственных групп, Международные таблицы для кристаллографии, А (5-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1107/97809553602060000100, ISBN  978-0-7923-6590-7
• Холл, С. (1981), "Обозначение пространственных групп с явным происхождением", Acta Crystallographica A, 37 (4): 517–525, Bibcode:1981AcCrA..37..517H, Дои:10.1107 / s0567739481001228
• Янссен, Т.; Birman, J.L .; Dénoyer, F .; Копцик В.А .; Verger-Gaugry, J.L .; Weigel, D .; Ямамото, А .; Abrahams, S.C .; Копский, В. (2002), "Отчет подкомитета по номенклатуре п-Габаритная кристаллография. II. Символы для арифметических классов кристаллов, классов Браве и пространственных групп », Acta Crystallographica A, 58 (Pt 6): 605–621, Дои:10.1107 / S010876730201379X
• Ким, Шун К. (1999), Теоретико-групповые методы и приложения к молекулам и кристаллам, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511534867, ISBN  978-0-521-64062-6, МИСТЕР  1713786
• Литвин, Д. (Май 2008 г.), «Таблицы кристаллографических свойств магнитных пространственных групп», Acta Crystallographica A, 64 (Пт 3): 419–24, Bibcode:2008AcCrA..64..419L, Дои:10.1107 / S010876730800768X, PMID  18421131
• Литвин, Д. (Май 2005 г.), «Таблицы свойств магнитных субпериодических групп» (PDF), Acta Crystallographica A, 61 (Pt 3): 382–5, Bibcode:2005AcCrA..61..382L, Дои:10.1107 / S010876730500406X, PMID  15846043
• Neubüser, J .; Souvignier, B .; Вондратчек, Х. (2002), "Поправки к кристаллографическим группам четырехмерного пространства Брауна и др. (1978) [Нью-Йорк: Wiley and Sons]", Acta Crystallographica A, 58 (Пт 3): 301, Дои:10.1107 / S0108767302001368, PMID  11961294
• Опдженорт, Дж; Плескен, Вт; Шульц, Т. (1998), "Кристаллографические алгоритмы и таблицы", Acta Crystallographica A, 54 (Pt 5): 517–531, Дои:10.1107 / S010876739701547X
• Палистрант, А. Ф. (2012), "Полная схема четырехмерных кристаллографических групп симметрии", Кристаллографические отчеты, 57 (4): 471–477, Bibcode:2012CryRp..57..471P, Дои:10.1134 / S1063774512040104
• Плескен, Вильгельм; Hanrath, W (1984), "Решетки шестимерного пространства", Математика. Комп., 43 (168): 573–587, Дои:10.1090 / s0025-5718-1984-0758205-5
• Плескен, Вильгельм; Шульц, Тильман (2000), «Подсчет кристаллографических групп в малых размерностях», Экспериментальная математика, 9 (3): 407–411, Дои:10.1080/10586458.2000.10504417, ISSN  1058-6458, МИСТЕР  1795312
• Шенфлис, Артур Мориц (1923), "Теория кристаллов" [Теория кристаллической структуры], Gebrüder Bornträger, Берлин.
• Сувинье, Бернд (2006), "Четырехмерная магнитная точка и пространственные группы", Zeitschrift für Kristallographie, 221: 77–82, Bibcode:2006ЗК .... 221 ... 77С, Дои:10.1524 / zkri.2006.221.1.77
• Винберг, Э. (2001) [1994], «Кристаллографическая группа», Энциклопедия математики, EMS Press
• Цассенхаус, Ганс (1948), "Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen" [Об алгоритме определения пространственных групп], Комментарии Mathematici Helvetici, 21: 117–141, Дои:10.1007 / BF02568029, ISSN  0010-2571, МИСТЕР  0024424
• Сувинье, Бернд (2003), «Энантиоморфизм кристаллографических групп в более высоких измерениях с результатами в размерностях до 6», Acta Crystallographica A, 59 (3): 210–220, Дои:10.1107 / S0108767303004161

внешняя ссылка

• Международный союз кристаллографии
• Точечные группы и решетки Браве
• [1] Кристаллографический сервер Бильбао
• Информация о космической группе (старая)
• Информация о космической группе (новинка)
• Структуры кристаллической решетки: индекс по пространственной группе
• Полный список 230 кристаллографических пространственных групп
• Интерактивная 3D-визуализация всех 230 кристаллографических пространственных групп
• Хьюсон, Дэниел Х. (1999), Обозначение фибрифолда и классификация трехмерных пространственных групп (PDF)
• Центр геометрии: 2.1 Формулы симметрий в декартовых координатах (двухмерные)
• Центр геометрии: 10.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (три измерения)