Группа линий - Line group

А группа линий математический способ описания симметрии связанные с движением по линии. Эти симметрии включают повторение вдоль этой линии, что делает эту линию одномерной решеткой. Однако группы линий могут иметь более одного измерения, и они могут включать эти измерения в свое изометрии или преобразования симметрии.

Строят группу линий, беря точечная группа в полных размерах пространства, а затем добавляя сдвиги или смещения вдоль линии к каждому из элементов точечной группы, как космическая группа. Эти смещения включают повторы и часть повтора, по одной доле для каждого элемента. Для удобства дроби масштабируются под размер раппорта; таким образом они находятся в пределах линии ячейка сегмент.

Одномерный

Есть 2 одномерные группы линий. Это бесконечные пределы дискретного двумерные точечные группы C_п и D_п:

Обозначения				Описание	Пример
Intl	Орбифолд	Coxeter	П.Г.
p1	∞∞	[∞]^+	C∞	Переводы. Абстрактная группа Z, целые числа при сложении	... --> --> --> --> ...
p1m	*∞∞	[∞]	D∞	Размышления. Абстрактная группа Dih∞, то бесконечная диэдральная группа	... --> <-- --> <-- ...

Двумерный

Есть 7 фризовые группы, которые включают отражения вдоль линии, отражения, перпендикулярные линии, и поворот на 180 ° в двух измерениях.

7 обозначений групп фризов и схема

IUC	Орбифолд	Schönflies	Конвей	Coxeter	Фундаментальный домен
p1	∞∞	C∞	C∞	[∞,1]^+
p1m1	*∞∞	C∞v	CD2∞	[∞,1]
p11g	∞x	S2∞	CC2∞	[∞^+,2^+]
p11m	∞*	C∞h	± C∞	[∞^+,2]
p2	22∞	D∞	D2∞	[∞,2]^+
p2mg	2*∞	D∞d	DD4∞	[∞,2^+]
p2мм	*22∞	D∞h	± D2∞	[∞,2]

Трехмерный

Существует 13 бесконечных семейств трехмерных групп прямых,^[1] полученный из 7 бесконечных семейств осевых трехмерные точечные группы. Как и в случае с пространственными группами в целом, группы линий с одной и той же группой точек могут иметь разные шаблоны смещений. Каждое из семейств основано на группе вращений вокруг оси с порядком п. Группы перечислены в Обозначения Германа-Могена, а для точечных групп Обозначение Шенфлиса. Кажется, что нет сопоставимых обозначений для групп линий. Эти группы также можно интерпретировать как образцы группы обоев^[2] обернутый вокруг цилиндра п раз и бесконечно повторяется вдоль оси цилиндра, так же как трехмерные точечные группы и группы фризов. Таблица этих групп:

Группа точек					Группа линий
H-M		Schönf.	Сфера.	Кокс.	H-M		Тип смещения	Обои на стену			Coxeter [∞час, 2, пv]
Четное п	Странный п				Четное п	Странный п		IUC	Орбифолд	Диаграмма
п		Cп	nn	[n]^+	ппq		Спиральный: q	p1	о		[∞^+, 2, п^+]
2п	п	S2п	п ×	[2^+, 2н^+]	п2п	пп	Никто	p11g, pg (h)	××		[(∞,2)^+, 2н^+]
п/ м	2п	Cпчас	п *	[2, n^+]	пп/ м	п2п	Никто	p11m, pm (ч)	**		[∞^+, 2, n]
2п/ м		C2пчас	(2n) *	[2,2n^+]	P2пп/ м		Зигзаг	c11m, см (h)	*×		[∞^+,2^+, 2н]
пмм	пм	Cпv	* нн	[n]	ппмм	ппм	Никто	p1m1, pm (v)	**		[∞, 2, n^+]
					ппcc	ппc	Плоское отражение	p1g1, pg (v)	××		[∞^+, (2, п)^+]
2пмм		C2пv	* (2n) (2n)	[2n]	P2ппMC		Зигзаг	c1m1, см (в)	*×		[∞,2^+, 2н^+]
п22	п2	Dп	n22	[2, n]^+	ппq22	ппq2	Спиральный: q	p2	2222		[∞, 2, n]^+
2п2м	пм	Dпd	2 * п	[2^+, 2н]	п2п2м	ппм	Никто	p2gm, pmg (v)	22*		[(∞,2)^+, 2н]
					п2п2c	ппc	Плоское отражение	p2gg, pgg	22×		[^+(∞, (2), 2n)^+]
п/М-м-м	2п2м	Dпчас	* n22	[2, n]	пп/М-м-м	п2п2м	Никто	p2мм, pмм	*2222		[∞, 2, n]
					пп/ mcc	п2п2c	Плоское отражение	p2mg, pmg (ч)	22*		[∞, (2, п)^+]
2п/М-м-м		D2пчас	* (2n) 22	[2,2n]	P2пп/ мкм		Зигзаг	c2мм, см	2*22		[∞,2^+, 2н]

Типы смещения:

• Без смещения.
• Спиральное смещение со спиральностью q. Для C_п(q) и D_п(q), осевое вращение k снаружи п имеет смещение (q/п)k mod 1. Частица, подвергнутая последовательному вращению, таким образом, будет следовать по спирали. D_п(q) включает повороты на 180 ° по осям в перпендикулярной плоскости; эти оси имеют одинаковый спиральный узор смещений относительно их направлений.
• Зигзагообразное смещение. Спиральное смещение для спиральности q = п на общее количество 2п. Осевое вращение k из 2п имеет 1/2, если нечетное, 0, если четное, и то же самое для других элементов.
• Смещение плоского отражения. Каждый элемент, который является отражением вдоль направления в перпендикулярной плоскости, имеет смещение 1/2. Это аналогично тому, что происходит в группах фризов p11g и p2mg.

Обратите внимание, что группы обоев pm, pg, cm и pmg появляются дважды. Каждый внешний вид имеет разную ориентацию относительно оси группы линий; отражение параллельно (h) или перпендикулярно (v). У остальных групп такой ориентации нет: p1, p2, pmm, pgg, cmm.

Если точечная группа ограничена быть кристаллографическая точечная группа, симметрия некоторой трехмерной решетки, то полученная группа линий называется группа стержней. Всего 75 групп стержней.

• В Обозначение Кокстера основан на прямоугольных группах обоев, с вертикальной осью, свернутой в цилиндр порядка симметрии п или же 2n.

Переходя к континуальному пределу, с п до ∞ возможные точечные группы превращаются в C_∞, С_∞h, С_∞v, D_∞, а D_∞h, и группы линий имеют соответствующие возможные смещения, за исключением зигзага.

Спиральная симметрия

В Спираль Бурдейка – Кокстера, цепочка регулярных тетраэдры, показывает спиральную симметрию без целого числа витков, чтобы повторить исходную ориентацию.

Дальнейшая информация: Ось винта

Группы C_п(q) и D_п(q) выражают симметрии спиральных объектов. C_п(q) для |q| спирали ориентированы в одном направлении, а D_п(q) для |q| неориентированные спирали и 2 |q|, спирали с чередующейся ориентацией. Изменение знака q создает зеркальное отображение, изменяя хиральность спиралей или их направленность. Спирали могут иметь собственную длину внутреннего повтора; п становится числом оборотов, необходимым для получения целого числа внутренних повторов. Но если скручивание спирали и внутреннее повторение несоизмеримы (соотношение не рациональное число), то п эффективно ∞.

Нуклеиновые кислоты, ДНК и РНК, хорошо известны своей винтовой симметрией. Нуклеиновые кислоты имеют четко определенное направление, давая одиночные цепи C_п(1). Двойные нити имеют противоположные направления и находятся на противоположных сторонах оси спирали, что дает им D_п(1).

Смотрите также

• Группа точек
• Космическая группа
• Одномерная группа симметрии
• Группа Frieze
• Группа стержней

Рекомендации

1. Дамнянович, Милан; Милошевич, Иванка (2010), «Структура групп линий» (PDF), Группы линий в физике: теория и приложения к нанотрубкам и полимерам (конспекты лекций по физике), Спрингер, ISBN  978-3-642-11171-6
2. Рассат, Андре (1996), «Симметрия в сфероалканах, фуллеренах, канальцах и других столбчатых агрегатах», в Цукарисе, Жорж; Этвуд, Дж. Л.; Липковски, Януш (ред.), Кристаллография супрамолекулярных соединений, Научная серия НАТО C: (закрыто), 480, Springer, стр. 181–201, ISBN  978-0-7923-4051-5 (books.google.com [1] )