Одномерная группа симметрии - One-dimensional symmetry group

А одномерная группа симметрии это математическая группа это описывает симметрии в одном измерении (1D).

Паттерн в 1D можно представить как функцию ж(Икс) для, скажем, цвета в позиции Икс.

Единственная нетривиальная точечная группа в 1D - это простая отражение. Его можно представить самым простым Группа Кокстера, А₁, [ ], или же Диаграмма Кокстера-Дынкина .

Аффинный группы симметрии представляют перевод. Изометрии, которые оставляют функцию неизменной: переводы Икс + а с а такой, что ж(Икс + а) = ж(Икс) и размышления а − Икс с таким, что ж(а − Икс) = ж(Икс). Отражения можно представить в виде аффинная группа Кокстера [∞], или Диаграмма Кокстера-Дынкина представляющий два отражения, а трансляционная симметрия как [∞]⁺, или диаграмму Кокстера-Дынкина как смесь двух отражений.

Группа точек

Для паттерна без трансляционной симметрии возможны следующие варианты (1D точечные группы ):

группа симметрии - это тривиальная группа (без симметрии)
группа симметрии - это одна из групп, каждая из которых состоит из единицы и отражения в точке (изоморфной Z₂)

Группа	Coxeter		Описание
C₁	[ ]⁺		Личность, Тривиальная группа Z₁
D₁	[ ]		Отражение. Абстрактные группы Z₂ или Dih₁.

Дискретные группы симметрии

Эти аффинные симметрии можно рассматривать как предельные случаи 2D диэдральные и циклические группы:

Группа	Coxeter		Описание
C_∞	[∞]⁺		Циклический: ∞-кратные вращения становятся трансляциями. Абстрактная группа Z_∞, то бесконечная циклическая группа.
D_∞	[∞]		Двугранные: ∞-кратные отражения. Абстрактная группа Dih_∞, то бесконечная диэдральная группа.

Трансляционная симметрия

Рассмотрим все шаблоны в 1D, которые имеют трансляционные симметрия, т.е. функции ж(Икс) такой, что для некоторых а > 0, ж(Икс + а) = ж(Икс) для всех Икс. Для этих паттернов значения а для которых это свойство имеет место группа.

Сначала рассмотрим паттерны, для которых группа дискретный, т. е. для которых положительные значения в группе имеют минимум. При изменении масштаба мы делаем это минимальное значение равным 1.

Такие модели делятся на две категории: две одномерные. космические группы или же группы линий.

В более простом случае единственные изометрии р которые сопоставляют шаблон с самим собой, являются переводами; это применимо, например, к шаблону

− −−−  − −−−  − −−−  − −−−

Каждая изометрия может быть охарактеризована целым числом, а именно плюс или минус расстояние перемещения. Следовательно группа симметрии является Z.

В другом случае среди изометрий р которые отображают узор на себя, также есть отражения; это применимо, например, к шаблону

− −−− −  − −−− −  − −−− −

Выбираем происхождение для Икс в одной из точек отражения. Теперь все отражения, которые отображают узор на себя, имеют форму а−Икс где постоянная "а"является целым числом (приращение а снова равны 1, потому что мы можем объединить отражение и перевод, чтобы получить другое отражение, и мы можем объединить два отражения, чтобы получить перевод). Следовательно, все изометрии можно охарактеризовать целым числом и кодом, скажем 0 или 1, для перевода или отражения.

Таким образом:

${ Displaystyle (а, 0): х mapsto х + а}$
${ Displaystyle (а, 1): х mapsto а-х}$

Последний является отражением относительно точки а/ 2 (целое число или целое число плюс 1/2).

Групповые операции (функциональная композиция, первый справа) для целых чисел а и б:

${ displaystyle (a, 0) circ (b, 0) = (a + b, 0)}$
${ displaystyle (a, 0) circ (b, 1) = (a + b, 1)}$
${ displaystyle (a, 1) circ (b, 0) = (a-b, 1)}$
${ displaystyle (a, 1) circ (b, 1) = (a-b, 0)}$

Например, в третьем случае: перевод на сумму б изменения Икс в Икс + ботражение относительно 0 дает -Икс − б, и перевод а дает а − б − Икс.

Эта группа называется обобщенная группа диэдра из Z, Dih (Z), а также D_∞. Это полупрямой продукт из Z и C₂. Оно имеет нормальная подгруппа из индекс 2 изоморфен Z: переводы. Также он содержит элемент ж порядка 2 такой, что для всех п в Z, п ж = ж п⁻¹: Отражение относительно опорной точки, (0,1).

Эти две группы называются группы решеток. В решетка является Z. В качестве трансляционной ячейки можно взять интервал 0 ≤ Икс <1. В первом случае фундаментальная область можно взять то же самое; топологически это круг (1-тор ); во втором случае можно взять 0 ≤ Икс ≤ 0.5.

Настоящий дискретная симметрия группа трансляционно-симметричного узора может быть:

типа группы 1 для любого положительного значения наименьшего расстояния перевода
типа группы 2, для любого положительного значения наименьшего трансляционного расстояния и любого расположения решетки точек отражения (которая вдвое плотнее, чем трансляционная решетка)

Таким образом, набор трансляционно-симметричных паттернов можно классифицировать по фактическим группам симметрии, в то время как фактические группы симметрии, в свою очередь, можно классифицировать как тип 1 или тип 2.

Эти типы пространственных групп представляют собой группы симметрии «с точностью до сопряженности относительно аффинных преобразований»: аффинное преобразование изменяет расстояние трансляции на стандартное (см. Выше: 1) и положение одной из точек отражения, если применимо, к происхождению. Таким образом, реальная группа симметрии содержит элементы вида кляп⁻¹= б, который является конъюгатом а.

Недискретные группы симметрии

Для однородного «паттерна» группа симметрии содержит все трансляции и отражение во всех точках. Группа симметрии изоморфна Dih (р).

Существуют также менее тривиальные шаблоны / функции с трансляционной симметрией для произвольно малых переводов, например группа переводов на рациональные расстояния. Даже помимо масштабирования и смещения случаев существует бесконечно много, например рассматривая рациональные числа, знаменатели которых являются степенями данного простого числа.

Переводы образуют группу изометрий. Однако нет никакой закономерности с этой группой как группой симметрии.

1D-симметрия функции и 2D-симметрия ее графика

Из симметрий функции (в смысле данной статьи) следует соответствующая симметрия ее графика. Однако двукратная вращательная симметрия графика не подразумевает какой-либо симметрии (в смысле данной статьи) функции: значения функции (в шаблоне, представляющем цвета, оттенки серого и т. Д.) номинальные данные, т.е. серый не находится между черным и белым, просто все три цвета разные.

Даже с номинальными цветами может быть особая симметрия, например:

−−−−−−− -- − −−−   − −  −

(отражение дает негативное изображение). Это тоже не входит в классификацию.

Групповое действие

Групповые действия группы симметрии, которые могут быть рассмотрены в этой связи:

на р
на множестве реальных функций реальной переменной (каждая из которых представляет собой шаблон)

В этом разделе показаны концепции групповых действий для этих случаев.

Действие грамм на Икс называется

переходный если для любых двух Икс, у в Икс существует грамм в грамм такой, что грамм · Икс = у; ни для одного из двух действий группы это не так для любой дискретной группы симметрии
верный (или же эффективный) если для любых двух разных грамм, час в грамм существует Икс в Икс такой, что грамм · Икс ≠ час · Икс; для обоих групповых действий это справедливо для любой дискретной группы симметрии (поскольку, за исключением тождества, группы симметрии не содержат элементов, которые «ничего не делают»)
свободный если для любых двух разных грамм, час в грамм и все Икс в Икс у нас есть грамм · Икс ≠ час · Икс; это тот случай, если нет отражений
обычный (или же просто переходный), если он одновременно транзитивен и свободен; это эквивалентно тому, что для любых двух Икс, у в Икс существует ровно один грамм в грамм такой, что грамм · Икс = у.

Орбиты и стабилизаторы

Рассмотрим группу грамм действующий на множестве Икс. В орбита точки Икс в Икс это набор элементов Икс которому Икс могут перемещаться элементами грамм. Орбита Икс обозначается Gx:

{ Displaystyle Gx = left {g cdot x mid g in G right }.}

Случай, когда групповое действие включено р:

Для тривиальной группы все орбиты содержат только один элемент; для группы переводов орбита равна, например, {.., - 9,1,11,21, ..}, для отражения, например {2,4}, а для группы симметрии со сдвигами и отражениями, например, {−8, −6,2,4,12,14,22,24, ..} (расстояние переноса равно 10, точки отражения .., - 7, −2,3,8,13,18,23, ..). Точки на орбите «эквивалентны». Если к узору применяется группа симметрии, то внутри каждой орбиты цвет будет одинаковым.

Дело в том, что групповое действие происходит по шаблонам:

Орбиты представляют собой наборы шаблонов, содержащие переведенные и / или отраженные версии, «эквивалентные шаблоны». Перевод шаблона эквивалентен только в том случае, если расстояние перевода является одним из тех, которые включены в рассматриваемую группу симметрии, и аналогично для зеркального отображения.

Множество всех орбит Икс под действием грамм записывается как Икс/грамм.

Если Y это подмножество из Икс, мы пишем GY для набора {грамм · у : у ${ displaystyle in}$ Y и грамм ${ displaystyle in}$ грамм}. Мы называем подмножество Y инвариантен относительно G если GY = Y (что эквивалентно GY ⊆ Y). В таком случае, грамм также работает на Y. Подмножество Y называется фиксируется под G если грамм · у = удля всех грамм в грамм и все у в Y. В примере с орбитой {−8, −6,2,4,12,14,22,24, ..}, {−9, −8, −6, −5,1,2,4,5, 11,12,14,15,21,22,24,25, ..} инвариантно относительно грамм, но не исправлено.

Для каждого Икс в Икс, мы определяем подгруппа стабилизатора из Икс (также называемый группа изотропии или же маленькая группа) как набор всех элементов в грамм это исправление Икс:

{ Displaystyle G_ {x} = {g in G mid g cdot x = x }.}

Если Икс - точка отражения, ее стабилизатор - группа второго порядка, содержащая тождество и отражение вИкс. В остальных случаях стабилизатор - тривиальная группа.

Для фиксированного Икс в Икс, рассмотрим карту из грамм к Икс данный ${ displaystyle g mid rightarrow g cdot x}$ . В изображение этой карты - орбита Икс и coimage это набор всего, что осталось смежные классы из грамм_Икс. Стандартная фактор-теорема теории множеств затем дает естественное биекция между ${ displaystyle G / G_ {x}}$ и ${ displaystyle Gx}$ . В частности, биекция дается формулой ${ displaystyle hG_ {x} mid rightarrow h cdot x}$ . Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты. Если в примере взять ${ displaystyle x = 3}$ , орбита {−7,3,13,23, ..}, и эти две группы изоморфны Z.

Если два элемента ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ принадлежат одной орбите, то их стабилизирующие подгруппы, ${ displaystyle G_ {x}}$ и ${ displaystyle G_ {y}}$ , находятся изоморфный. Точнее: если ${ Displaystyle у = г cdot х}$ , тогда ${ displaystyle G_ {y} = gG_ {x} g ^ {- 1}}$ . В примере это применимо, например, для 3 и 23 - обе точки отражения. Отражение около 23 соответствует переносу -20, отражение около 3 и переносу 20.