Обозначение Кокстера - Coxeter notation

Фундаментальные области отражающих трехмерных точечных групп

, [ ]=[1] C1v	, [2] C2v	, [3] C3в	, [4] C4в	, [5] C5в	, [6] C6v
Заказ 2	Заказ 4	Заказ 6	Заказ 8	Заказ 10	Заказ 12
[2]=[2,1] D1 час	[2,2] D2ч	[2,3] D3ч	[2,4] D4ч	[2,5] D5ч	[2,6] D6ч
Заказ 4	Заказ 8	Заказ 12	Заказ 16	Заказ 20	Заказ 24
, [3,3], Тd		, [4,3], Очас		, [5,3], ячас
Заказ 24		Заказ 48		Заказ 120
Обозначение Кокстера выражает Группы Кокстера как список отраслевых заказов Диаграмма Кокстера, словно многогранные группы, = [p, q]. диэдральные группы, , может быть выражено как произведение [] × [n] или в виде одного символа с явной ветвью порядка 2, [2, n].

В геометрия, Обозначение Кокстера (также Символ Кокстера) представляет собой систему классификации группы симметрии, описывающий углы между фундаментальными отражениями Группа Коксетера в скобках, выражающих структуру Диаграмма Кокстера-Дынкина, с модификаторами для обозначения определенных подгрупп. Обозначение названо в честь Х. С. М. Коксетер, и был более подробно определен Норман Джонсон.

Рефлексивные группы

Дальнейшая информация: Группа точек

За Группы Кокстера, определяемый чистыми отражениями, существует прямое соответствие между скобками и Диаграмма Кокстера-Дынкина. Цифры в скобках обозначают порядки зеркального отражения в ветвях диаграммы Кокстера. Он использует то же упрощение, подавляя 2 с между ортогональными зеркалами.

Обозначение Кокстера упрощено с помощью экспонентов, чтобы представить количество ветвей в строке для линейной диаграммы. Итак А_п группа представлена ​​[3^п-1], подразумевает п узлы соединены п-1 заказ-3 филиала. Пример А₂ = [3,3] = [3²] или [3^1,1] представляет диаграммы или же .

Первоначально Кокстер представлял бифуркационные диаграммы с вертикальным расположением чисел, но позже был сокращен обозначением степени, например [..., 3^{р, д}] или [3^{р, д, г}], начиная с [3^1,1,1] или [3,3^1,1] = или же как D₄. Кокстер разрешил нули как особые случаи, чтобы соответствовать А_п семья, как А₃ = [3,3,3,3] = [3^4,0,0] = [3^4,0] = [3^3,1] = [3^2,2], подобно = = .

Группы Кокстера, образованные циклическими диаграммами, представлены скобками внутри скобок, например [(p, q, r)] = для группа треугольников (p q r). Если порядки ветвлений равны, они могут быть сгруппированы как показатель степени как длина цикла в скобках, например [(3,3,3,3)] = [3^[4]], представляющую диаграмму Кокстера или же . может быть представлен как [3, (3,3,3)] или [3,3^[3]].

Более сложные схемы циклов также можно выразить осторожно. В паракомпакт Coxeter group может быть представлен нотацией Кокстера [(3,3, (3), 3,3)], с вложенными / перекрывающимися круглыми скобками, показывающими два соседних цикла [(3,3,3)], а также более компактно представлен как [3^[ ]×[ ]], представляющий ромбическая симметрия диаграммы Кокстера. Полная диаграмма паракомпакта или же , представляется как [3^[3,3]] с верхним индексом [3,3] как симметрией его правильный тетраэдр диаграмма Кокстера.

Диаграмма Кокстера обычно оставляет невычерченными ветви порядка 2, но скобки включают явное 2 соединить подграфы. Итак, диаграмма Кокстера = А₂×А₂ = 2А₂ можно представить как [3] × [3] = [3]² = [3,2,3]. Иногда явные 2-ветки могут быть включены либо с меткой 2, либо со строкой с пробелом: или же , как представление, идентичное [3,2,3].

Конечные группы Классифицировать Группа символ скобка обозначение Coxeter диаграмма 2 А2 [3] 2 B2 [4] 2 ЧАС2 [5] 2 грамм2 [6] 2 я2(п) [п] 3 ячас, ЧАС3 [5,3] 3 Тd, А3 [3,3] 3 Очас, B3 [4,3] 4 А4 [3,3,3] 4 B4 [4,3,3] 4 D4 [3^1,1,1] 4 F4 [3,4,3] 4 ЧАС4 [5,3,3] п Ап [3п-1] .. п Bп [4,3п-2] ... п Dп [3^п-3,1,1] ... 6 E6 [3^2,2,1] 7 E7 [3^3,2,1] 8 E8 [3^4,2,1]

Аффинные группы Группа символ скобка обозначение Диаграмма Кокстера ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1},{\tilde {A}}_{1}}$ [∞] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ [3^[3]] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$ [4,4] ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ [6,3] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ [3^[4]] ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ [4,3^1,1] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ [4,3,4] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$ [3^[5]] ${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$ [4,3,3^1,1] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$ [4,3,3,4] ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$ [ 3^1,1,1,1] ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ [3,4,3,3] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$ [3^[n + 1]] ... или же ... ${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$ [4,3^п-3,3^1,1] ... ${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$ [4,3^п-2,4] ... ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$ [ 3^1,1,3^п-4,3^1,1] ... ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ [3^2,2,2] ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ [3^3,3,1] ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}=E_{9}}$ [3^5,2,1]

Гиперболические группы Группа символ скобка обозначение Coxeter диаграмма [p, q] с 2 (p + q) [(p, q, r)] с ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1}$ ${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$ [4,3,5] ${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$ [5,3,5] ${\displaystyle {\overline {J}}_{3},{\tilde {H}}_{3}}$ [3,5,3] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$ [5,3^1,1] ${\displaystyle {\widehat {AB}}_{3}}$ [(3,3,3,4)]   ${\displaystyle {\widehat {AH}}_{3}}$ [(3,3,3,5)]   ${\displaystyle {\widehat {BB}}_{3}}$ [(3,4,3,4)] ${\displaystyle {\widehat {BH}}_{3}}$ [(3,4,3,5)] ${\displaystyle {\widehat {HH}}_{3}}$ [(3,5,3,5)] ${\displaystyle {\overline {H}}_{4},{\tilde {H}}_{4},H_{5}}$ [3,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {BH}}_{4}}$ [4,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {K}}_{4}}$ [5,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{4}}$ [5,3,3^1,1] ${\displaystyle {\widehat {AF}}_{4}}$ [(3,3,3,3,4)]

Для аффинных и гиперболических групп индекс на единицу меньше количества узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена путем добавления узла к диаграмме конечной группы.

Подгруппы

Обозначения Кокстера представляют вращательную / поступательную симметрию путем добавления ⁺ оператор надстрочного индекса вне скобок, [X]⁺ который сокращает порядок группы [X] пополам, таким образом, это подгруппа индекса 2. Этот оператор подразумевает, что должно применяться четное количество операторов, заменяя отражения поворотами (или перемещениями). Применительно к группе Кокстера это называется прямая подгруппа потому что остались только прямые изометрии без отражательной симметрии.

В ⁺ операторы также могут применяться внутри скобок, например [X, Y⁺] или [X, (Y, Z)⁺] и создает «полупрямые» подгруппы которые могут включать как отражающие, так и неотражающие генераторы. Полупрямые подгруппы могут применяться только к подгруппам группы Кокстера, которые имеют смежные ветви четного порядка. Элементам в скобках внутри группы Кокстера можно присвоить ⁺ Оператор надстрочного индекса, делающий соседние упорядоченные ветви на половину порядка, обычно применяется только с четными числами. Например, [4,3⁺] и [4, (3,3)⁺] ().

Если применяется со смежной нечетной ветвью, он не создает подгруппу индекса 2, а вместо этого создает перекрывающиеся фундаментальные домены, например [5,1⁺] = [5/2], который может определять двояко завернутые многоугольники как пентаграмма, {5/2} и [5,3⁺] имеет отношение к Треугольник Шварца [5/2,3], плотность 2.

Примеры в группах ранга 2

Группа		Заказ	Генераторы	Подгруппа		Заказ	Генераторы	Примечания
[п]		2п	{0,1}	[п]^+		п	{01}	Прямая подгруппа
[2п^+] = [2п]^+		2п	{01}	[2п^+]^+ = [2п]^+2 = [п]^+		п	{0101}
[2п]		4п	{0,1}	[1^+,2п] = [п]	= =	2п	{101,1}	Половина подгруппы
				[2п,1^+] = [п]	= =		{0,010}
				[1^+,2п,1^+] = [2п]^+2 = [п]^+	= =	п	{0101}	Квартальная группа

Группы без соседних ⁺ элементы можно увидеть в окольцованных узлах диаграмме Кокстера-Дынкина для однородные многогранники и соты относятся к дыра узлы вокруг ⁺ элементы, пустые кружки с удаленными чередующимися узлами. Итак курносый куб, имеет симметрию [4,3]⁺ (), а курносый тетраэдр, имеет симметрию [4,3⁺] (), а полукуб, h {4,3} = {3,3} ( или же = ) имеет симметрию [1⁺,4,3] = [3,3] ( или же = = ).

Примечание: Пиритоэдрическая симметрия можно записать как , разделив граф с пробелами для наглядности, с генераторами {0,1,2} из группы Кокстера , производящие пиритоэдрические генераторы {0,12}, отражение и 3-х кратное вращение. А киральная тетраэдрическая симметрия может быть записана как или же , [1⁺,4,3⁺] = [3,3]⁺, с генераторами {12,0120}.

Деление пополам подгрупп и расширенных групп

Дальнейшая информация: § Расширенная_симметрия

Пример деления вдвое

[1,4,1] = [4]	= = [1^+,4,1]=[2]=[ ]×[ ]
= = [1,4,1^+]=[2]=[ ]×[ ]	= = = [1^+,4,1^+] = [2]^+

Джонсон расширяет ⁺ оператор для работы с заполнителем 1⁺ node, который удаляет зеркала, удваивает размер основной области и сокращает групповой порядок вдвое.^[1] Как правило, эта операция применяется только к отдельным зеркалам, ограниченным ветвями четного порядка. В 1 представляет собой зеркало, поэтому [2p] можно рассматривать как [2p,1], [1, 2p] или [1, 2п,1], как диаграмма или же , с двумя зеркалами, соединенными двугранным углом порядка 2p. Эффект удаления зеркала заключается в дублировании соединительных узлов, что можно увидеть на диаграммах Кокстера: = , или в скобках: [1⁺, 2п, 1] = [1,п,1] = [p].

Каждое из этих зеркал можно снять, поэтому h [2p] = [1⁺, 2p, 1] = [1,2p, 1⁺] = [p], индекс рефлексивной подгруппы 2. Это можно показать на диаграмме Кокстера, добавив ⁺ символ над узлом: = = .

Если оба зеркала удалены, создается четверть подгруппы, причем порядок ветвления становится точкой вращения в два раза меньше:

q [2p] = [1⁺, 2п, 1⁺] = [p]⁺, вращательная подгруппа индекса 4. = = = = .

Например, (при p = 2): [4,1⁺] = [1⁺, 4] = [2] = [] × [], порядок 4. [1⁺,4,1⁺] = [2]⁺, заказ 2.

Противоположность уменьшению вдвое - это удвоение^[2] который добавляет зеркало, делит пополам фундаментальную область и удваивает групповой порядок.

[[p]] = [2p]

Операции по уменьшению вдвое применяются для групп более высокого ранга, например тетраэдрическая симметрия половина группы октаэдрическая группа: h [4,3] = [1⁺, 4,3] = [3,3], убрав половину зеркал в 4-ответвлении. Эффект удаления зеркала заключается в дублировании всех соединительных узлов, что можно увидеть на диаграммах Кокстера: = , h [2p, 3] = [1⁺, 2p, 3] = [(p, 3,3)].

Если узлы проиндексированы, половинные подгруппы могут быть помечены новыми зеркалами как композиты. Нравиться , генераторы {0,1} имеют подгруппу = , генераторы {1,010}, где зеркало 0 удалено и заменено копией зеркала 1, отраженным от зеркала 0. Также дано , образующие {0,1,2}, имеет половину группы = , генераторы {1,2,010}.

Удвоение путем добавления зеркала также применяется при обращении операции уменьшения вдвое: [[3,3]] = [4,3] или, в более общем смысле, [[(q, q, p)]] = [2p, q].

Тетраэдрическая симметрия	Октаэдрическая симметрия
Тd, [3,3] = [1^+,4,3] = = (Заказ 24)	Очас, [4,3] = [[3,3]] (Заказ 48)

Радикальные подгруппы

Радикальная подгруппа похожа на чередование, но удаляет вращательные образующие.

Джонсон также добавил звездочка или звезда * оператор для "радикальных" подгрупп,^[3] действует аналогично ⁺ оператор, но убирает вращательную симметрию. Индекс радикальной подгруппы - это порядок удаляемого элемента. Например, [4,3 *] ≅ [2,2]. Удаленная подгруппа [3] имеет порядок 6, поэтому [2,2] является подгруппой индекса 6 в [4,3].

Радикальные подгруппы представляют собой операцию, обратную к расширенная симметрия операция. Например, [4,3 *] ≅ [2,2] и наоборот [2,2] могут быть расширены как [3 [2,2]] ≅ [4,3]. Подгруппы можно представить в виде диаграммы Кокстера: или же ≅ . Удаленный узел (зеркало) заставляет соседние зеркальные виртуальные зеркала становиться настоящими зеркалами.

Если [4,3] имеет генераторы {0,1,2}, [4,3⁺], индекс 2, имеет генераторы {0,12}; [1⁺, 4,3] ≅ [3,3], индекс 2 имеет образующие {010,1,2}; в то время как радикальная подгруппа [4,3 *] ≅ [2,2], индекс 6, имеет образующие {01210, 2, (012)³}; и наконец [1⁺, 4,3 *], индекс 12 имеет образующие {0 (12)²0, (012)²01}.

Трионные подгруппы

Пример ранга 2, [6] трионные подгруппы с 3-мя цветами зеркальных линий.

Пример октаэдрической симметрии: [4,3^⅄] = [2,4].

Пример трионной подгруппы гексагональной симметрии [6,3] отображается на большую [6,3] симметрию.

3 место

Пример трионных подгрупп на восьмиугольной симметрии [8,3] отображается на более крупные [4,8] симметрии.

4 место

А трионная подгруппа является индексом 3 подгруппы. Джонсон определяет множество трионная подгруппа с оператором ⅄, индекс 3. Для групп Кокстера ранга 2, [3], трионная подгруппа, [3^⅄] есть [], единственное зеркало. И для [3п], трионная подгруппа [3п]^⅄ ≅ [п]. Данный , с образующими {0,1}, имеет 3 трионные подгруппы. Их можно отличить, поставив символ ⅄ рядом с зеркальным генератором, который нужно удалить, или на ветке для обоих: [3п,1^⅄] = = , = , и [3п^⅄] = = с генераторами {0,10101}, {01010,1} или {101,010}.

Трионные подгруппы тетраэдрической симметрии: [3,3]^⅄ ≅ [2⁺, 4], связывая симметрию правильный тетраэдр и тетрагональный дисфеноид.

Для групп Кокстера ранга 3 [п, 3] существует трионная подгруппа [п,3^⅄] ≅ [п/2,п], или же = . Например, конечная группа [4,3^⅄] ≅ [2,4] и евклидова группа [6,3^⅄] ≅ [3,6] и гиперболическая группа [8,3^⅄] ≅ [4,8].

Смежная ветвь нечетного порядка, п, не снизит групповой порядок, но создаст перекрывающиеся фундаментальные домены. Порядок групп остается прежним, а плотность увеличивается. Например, икосаэдрическая симметрия, [5,3], правильных многогранников икосаэдр становится [5 / 2,5], симметрия двух правильных звездных многогранников. Он также связывает гиперболические мозаики {p, 3} и звездные гиперболические мозаики {p / 2, p}

Для ранга 4 [q,2п,3^⅄] = [2п, ((p, q, q))], = .

Например, [3,4,3^⅄] = [4,3,3] или = , образующие {0,1,2,3} в [3,4,3] с трионной подгруппой [4,3,3] образующие {0,1,2,32123}. Для гиперболических групп [3,6,3^⅄] = [6,3^[3]] и [4,4,3^⅄] = [4,4,4].

Трионные подгруппы тетраэдрической симметрии

[3,3]^⅄ ≅ [2⁺, 4] как один из 3-х наборов по 2 ортогональных зеркала в стереографическая проекция. Красный, зеленый и синий представляют 3 набора зеркал, а серые линии - это удаленные зеркала, оставляющие 2-кратные вращения (фиолетовые ромбы).

Трионные отношения [3,3]

Джонсон выделил два конкретных трионные подгруппы^[4] из [3,3], сначала подгруппа индекса 3 [3,3]^⅄ ≅ [2⁺, 4], причем [3,3] ( = = ) генераторы {0,1,2}. Его также можно записать как [(3,3,2^⅄)] () как напоминание о его генераторах {02,1}. Это снижение симметрии - это отношение между регулярными тетраэдр и тетрагональный дисфеноид, представляют собой растяжение тетраэдра перпендикулярно двум противоположным краям.

Во-вторых, он определяет связанную подгруппу индекса 6 [3,3]^Δ или [(3,3,2^⅄)]⁺ (), индекс 3 из [3,3]⁺ ≅ [2,2]⁺, с генераторами {02,1021} из [3,3] и его генераторами {0,1,2}.

Эти подгруппы также применяются в более крупных группах Кокстера с [3,3] подгруппой с соседними ветвями четного порядка.

Отношения трионных подгрупп группы [3,3,4]

Например, [(3,3)⁺,4], [(3,3)^⅄, 4] и [(3,3)^Δ, 4] являются подгруппами в [3,3,4], индекса 2, 3 и 6 соответственно. Генераторы [(3,3)^⅄,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2⁺, 8], порядок 128, {02,1,3} из [3,3,4] генераторов {0,1,2,3}. И [(3,3)^Δ,4] ≅ [[4,2⁺, 4]], порядок 64, имеет генераторы {02,1021,3}. Также [3^⅄,4,3^⅄] ≅ [(3,3)^⅄,4].

Также по теме [3^1,1,1] = [3,3,4,1⁺] имеет трионные подгруппы: [3^1,1,1]^⅄ = [(3,3)^⅄,4,1⁺], порядок 64 и 1 = [3^1,1,1]^Δ = [(3,3)^Δ,4,1⁺] ≅ [[4,2⁺,4]]⁺, заказ 32.

Центральная инверсия

Двухмерная центральная инверсия - это поворот на 180 градусов, [2]⁺

А центральная инверсия, порядок 2, работает иначе по размерности. Группа [ ]^п = [2^п-1] представляет п ортогональные зеркала в n-мерном пространстве, или н-квартира подпространство пространства более высокой размерности. Зеркала группы [2^п-1] пронумерованы ${\displaystyle 0\dots n-1}$. В случае инверсии порядок зеркал не имеет значения. Матрица центральной инверсии есть ${\displaystyle -I}$, Матрица идентичности с отрицательной по диагонали.

Исходя из этого, центральная инверсия имеет генератор как продукт всех ортогональных зеркал. В нотации Кокстера эта группа инверсии выражается добавлением чередования ⁺ в каждую 2 ветку. Симметрия чередования отмечена на узлах диаграммы Кокстера как открытые узлы.

А Диаграмма Кокстера-Дынкина может быть размечен двумя явными ветвями, определяющими линейную последовательность зеркал, открытых узлов и общих дважды открытых узлов, чтобы показать цепочку генераторов отражения.

Например, [2⁺, 2] и [2,2⁺] - подгруппы, индекс 2 из [2,2], , и представлены как (или же ) и (или же ) с генераторами {01,2} и {0,12} соответственно. Их общий индекс 4 подгруппы равен [2⁺,2⁺], и представлен (или же ), с двойным открытием отмечая общий узел в двух чередованиях, и один вращательное отражение генератор {012}.

Измерение	Обозначение Кокстера	Заказ	Диаграмма Кокстера	Операция	Генератор
2	[2]^+	2		180° вращение, С2	{01}
3	[2^+,2^+]	2		вращательное отражение, Ся или S2	{012}
4	[2^+,2^+,2^+]	2		двойное вращение	{0123}
5	[2^+,2^+,2^+,2^+]	2		двойное вращательное отражение	{01234}
6	[2^+,2^+,2^+,2^+,2^+]	2		тройное вращение	{012345}
7	[2^+,2^+,2^+,2^+,2^+,2^+]	2		тройное вращательное отражение	{0123456}

Вращения и вращательные отражения

Вращения и вращательные отражения построены путем единственного образующего произведения всех отражений призматической группы, [2п]×[2q] × ... где gcd (п,q, ...) = 1, они изоморфны абстрактному циклическая группа Z_п, порядка п=2pq.

4-мерные двойные вращения, [2п⁺,2⁺,2q⁺] (с gcd (п,q) = 1), которые включают центральную группу, и выражаются Конвеем как ± [C_п× С_q],^[5] заказ 2pq. Из диаграммы Кокстера , генераторы {0,1,2,3}, единственный генератор [2п⁺,2⁺,2q⁺], это {0123}. Полугруппа, [2п⁺,2⁺,2q⁺]⁺, или циклический граф, [(2п⁺,2⁺,2q⁺,2⁺)], Конвей выражает [C_п× С_q], порядок pq, с генератором {01230123}.

Если есть общий фактор ж, двойное вращение можно записать как¹⁄_ж[2ПФ⁺,2⁺,2qf⁺] (с gcd (п,q) = 1), генератор {0123}, порядок 2pqf. Например, п=q=1, ж=2, ​¹⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺] - это порядок 4. И¹⁄_ж[2ПФ⁺,2⁺,2qf⁺]⁺, генератор {01230123}, это заказ pqf. Например,¹⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺]⁺ это порядок 2, а центральная инверсия.

Примеры

Измерение	Обозначение Кокстера	Заказ	Диаграмма Кокстера	Операция	Генератор	Прямая подгруппа
2	[2п]^+	2п		Вращение	{01}	[2п]^+2	Простое вращение: [2п]^+2 = [п]^+ порядок п
3	[2п^+,2^+]			вращательное отражение	{012}	[2п^+,2^+]^+
4	[2п^+,2^+,2^+]			двойное вращение	{0123}	[2п^+,2^+,2^+]^+
5	[2п^+,2^+,2^+,2^+]			двойное вращательное отражение	{01234}	[2п^+,2^+,2^+,2^+]^+
6	[2п^+,2^+,2^+,2^+,2^+]			тройное вращение	{012345}	[2п^+,2^+,2^+,2^+,2^+]^+
7	[2п^+,2^+,2^+,2^+,2^+,2^+]			тройное вращательное отражение	{0123456}	[2п^+,2^+,2^+,2^+,2^+,2^+]^+
4	[2п^+,2^+,2q^+]	2pq		двойное вращение	{0123}	[2п^+,2^+,2q^+]^+	Двойное вращение: [2п^+,2^+,2q^+]^+ порядок pq gcd (п,q)=1
5	[2п^+,2^+,2q^+,2^+]			двойное вращательное отражение	{01234}	[2п^+,2^+,2q^+,2^+]^+
6	[2п^+,2^+,2q^+,2^+,2^+]			тройное вращение	{012345}	[2п^+,2^+,2q^+,2^+,2^+]
7	[2п^+,2^+,2q^+,2^+,2^+,2^+]			тройное вращательное отражение	{0123456}	[2п^+,2^+,2q^+,2^+,2^+,2^+]^+
6	[2п^+,2^+,2q^+,2^+,2р^+]	2pqr		тройное вращение	{012345}	[2п^+,2^+,2q^+,2^+,2р^+]^+	Тройное вращение: [2п^+,2^+,2q^+,2^+,2р^+]^+ порядок pqr gcd (п,q,р)=1
7	[2п^+,2^+,2q^+,2^+,2р^+,2^+]			тройное вращательное отражение	{0123456}	[2п^+,2^+,2q^+,2^+,2р^+,2^+]^+

Подгруппы коммутаторов

Простые группы только с элементами ветвления нечетного порядка имеют только одну вращательную / трансляционную подгруппу порядка 2, которая также является коммутаторная подгруппа, примеры [3,3]⁺, [3,5]⁺, [3,3,3]⁺, [3,3,5]⁺. Для других групп Кокстера с ветвями четного порядка коммутаторная подгруппа имеет индекс 2^c, где c - количество отключенных подграфов при удалении всех ветвей четного порядка.^[6] Например, [4,4] имеет три независимых узла на диаграмме Кокстера, когда 4s удалены, поэтому его коммутаторная подгруппа имеет индекс 2³, и могут иметь разные представления, все с тремя ⁺ операторы: [4⁺,4⁺]⁺, [1⁺,4,1⁺,4,1⁺], [1⁺,4,4,1⁺]⁺, или [(4⁺,4⁺,2⁺)]. Общие обозначения могут использоваться с +c как групповой показатель, например [4,4]⁺³.

Примеры подгрупп

Примерные подгруппы ранга 2

Двугранная симметрия группы с четными порядками имеют ряд подгрупп. В этом примере показаны два образующих зеркала [4] красным и зеленым цветом, все подгруппы рассматриваются с разбиением на половину, понижение ранга и их прямые подгруппы. Группа [4], имеет два зеркальных генератора 0 и 1. Каждый из них генерирует два виртуальных зеркала 101 и 010 путем отражения друг от друга.

Подгруппы [4]
Индекс	1	2 (половина)		4 (Понижение ранга)
Диаграмма
Coxeter	[1,4,1] = [4]	= = [1^+,4,1] = [1^+,4] = [2]	= = [1,4,1^+] = [4,1^+] = [2]	[1] = [ ]	[1] = [ ]
Генераторы	{0,1}	{101,1}	{0,010}	{0}	{1}
Прямые подгруппы
Индекс	2	4		8
Диаграмма
Coxeter	[4]^+	= = = [4]^+2 = [1^+,4,1^+] = [2]^+		[ ]^+
Генераторы	{01}	{(01)^2}		{0^2} = {1^2} = {(01)^4} = { }

Примерные евклидовы подгруппы ранга 3

Группа [4,4] имеет 15 малых индексных подгрупп. В этой таблице показаны все они, с желтым основным доменом для чисто отражающих групп и чередующимися белыми и синими доменами, которые объединены в пары, образуя вращательные домены. Голубые, красные и зеленые зеркальные линии соответствуют узлам одного цвета на диаграмме Кокстера. Генераторы подгрупп могут быть выражены как продукты исходных 3 зеркал фундаментальной области {0,1,2}, соответствующих 3 узлам диаграммы Кокстера, . Произведение двух пересекающихся линий отражения совершает поворот, например {012}, {12} или {02}. При удалении зеркала на удаленном зеркале появляются две копии соседних зеркал, например {010} и {212}. Два последовательных поворота сокращают порядок вращения вдвое, например {0101} или {(01)²}, {1212} или {(02)²}. Продукт всех трех зеркал создает трансотражение, например {012} или {120}.

Подгруппы малых индексов в [4,4]
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Coxeter	[1,4,1,4,1] = [4,4]	[1^+,4,4] =	[4,4,1^+] =	[4,1^+,4] =	[1^+,4,4,1^+] =	[4^+,4^+]
Генераторы	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)^2,(12)^2,012,120}
Орбифолд	*442			*2222		22×
Полупрямые подгруппы
Индекс		2			4
Диаграмма
Coxeter		[4,4^+]	[4^+,4]	[(4,4,2^+)] =	[4,1^+,4,1^+] = =	[1^+,4,1^+,4] = =
Генераторы		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)^2}	{(01)^2,121,2}
Орбифолд		4*2		2*22
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Coxeter	[4,4]^+ =	[4,4^+]^+ =	[4^+,4]^+ =	[(4,4,2^+)]^+ =	[4,4]^+3 = [(4^+,4^+,2^+)] = [1^+,4,1^+,4,1^+] = [4^+,4^+]^+ = = = =
Генераторы	{01,12}	{(01)^2,12}	{01,(12)^2}	{02,(01)^2,(12)^2}	{(01)^2,(12)^2,2(01)^22}
Орбифолд	442			2222
Радикальные подгруппы
Индекс		8		16
Диаграмма
Coxeter		[4,4*] =	[4*,4] =	[4,4*]^+ =	[4*,4]^+ =
Орбифолд		*2222		2222

Гиперболические примеры подгрупп

Такой же набор из 15 малых подгрупп существует во всех треугольных группах с элементами четного порядка, как [6,4] в гиперболической плоскости:

Подгруппы малых индексов в [6,4]
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Coxeter	[1,6,1,4,1] = [6,4]	[1^+,6,4] =	[6,4,1^+] =	[6,1^+,4] =	[1^+,6,4,1^+] =	[6^+,4^+]
Генераторы	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)^2,(12)^2,012}
Орбифолд	*642	*443	*662	*3222	*3232	32×
Полупрямые подгруппы
Диаграмма
Coxeter		[6,4^+]	[6^+,4]	[(6,4,2^+)]	[6,1^+,4,1^+] = = = =	[1^+,6,1^+,4] = = = =
Генераторы		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)^2}	{(01)^2,121,2}
Орбифолд		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Coxeter	[6,4]^+ =	[6,4^+]^+ =	[6^+,4]^+ =	[(6,4,2^+)]^+ =	[6^+,4^+]^+ = [1^+,6,1^+,4,1^+] = = =
Генераторы	{01,12}	{(01)^2,12}	{01,(12)^2}	{02,(01)^2,(12)^2}	{(01)^2,(12)^2,201012}
Орбифолд	642	443	662	3222	3232
Радикальные подгруппы
Индекс		8	12	16	24
Диаграмма
Coxeter (орбифолд)		[6,4*] = (*3333)	[6*,4] (*222222)	[6,4*]^+ = (3333)	[6*,4]^+ (222222)

Расширенная симметрия

Обои на стену группа Треугольник симметрия Расширенный симметрия Расширенный диаграмма Расширенный группа Соты p3m1 (* 333) а1 [3^[3]] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ (никто) p6m (* 632) i2 [[3^[3]]] ↔ [6,3] ↔ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 2\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}}$ 1, 2 p31m (3 * 3) g3 [3^+[3^[3]]] ↔ [6,3^+] ↔ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 3\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}}$ (никто) p6 (632) r6 [3[3^[3]]]^+ ↔ [6,3]^+ ↔ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}}$ (1) p6m (* 632) [3[3^[3]]] ↔ [6,3] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}}$ 3

На евклидовой плоскости ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$, [3^[3]] Группа Кокстера может быть расширена двумя способами на ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$, [6,3] группа Кокстера и связывает равномерные мозаики как окольцованные диаграммы.

Смотрите также: Тетраэдр Гурса § Расширенная симметрия

Обозначение Кокстера включает обозначение двойных квадратных скобок, [[X]] для выражения автоморфный симметрия в диаграмме Кокстера. Джонсон добавил альтернативу угловой скобке <[X]> или ⟨[X]⟩ как эквивалент квадратных скобок для удвоения, чтобы различать симметрию диаграммы через узлы и через ветви. Джонсон также добавил префиксный модификатор симметрии [Y [X]], где Y может либо представлять симметрию диаграммы Кокстера [X], либо симметрию фундаментальной области [X].

Например, в 3D эти эквиваленты прямоугольник и ромбический геометрические диаграммы ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$: и , первый удвоен квадратными скобками, [[3^[4]]] или дважды как [2 [3^[4]]], с [2], симметрией более высокого порядка 4. Чтобы отличить второй, используются угловые скобки для удвоения [3^[4]]⟩ И удвоено как ⟨2 [3^[4]]⟩, Также с другой [2], симметрией 4-го порядка. Наконец, полная симметрия, в которой все 4 узла эквивалентны, может быть представлена ​​как [4 [3^[4]]], с симметрией порядка 8, [4] квадрат. Но, учитывая тетрагональный дисфеноид фундаментальная область [4] расширенная симметрия квадратного графа может быть обозначена более явно как [(2⁺,4)[3^[4]]] или [2⁺,4[3^[4]]].

Дальнейшая симметрия существует в циклическом ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$ и разветвление ${\displaystyle D_{3}}$, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$, и ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$ диаграммы. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$ имеет порядок 2п симметрия регулярного п-gon, {п} и представлен как [п[3^[п]]]. ${\displaystyle D_{3}}$ и ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ представлены [3 [3^1,1,1]] = [3,4,3] и [3 [3^2,2,2]] соответственно, а ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$ по [(3,3) [3^1,1,1,1]] = [3,3,4,3], с диаграммой, содержащей симметрию порядка 24 регулярного тетраэдр, {3,3}. Паракомпактная гиперболическая группа ${\displaystyle {\bar {L}}_{5}}$ = [3^1,1,1,1,1], , содержит симметрию 5-элементный, {3,3,3} и, таким образом, представляется как [(3,3,3) [3^1,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3].

An звездочка * надстрочный индекс фактически является обратной операцией, создающей радикальные подгруппы удаление подключенных нечетных зеркал.^[7]

Примеры:

Пример Расширенные группы и радикальные подгруппы

Расширенные группы Радикальные подгруппы Диаграммы Кокстера Индекс [3[2,2]] = [4,3] [4,3*] = [2,2] = 6 [(3,3)[2,2,2]] = [4,3,3] [4,(3,3)*] = [2,2,2] = 24 [1[3^1,1]] = [[3,3]] = [3,4] [3,4,1^+] = [3,3] = 2 [3[3^1,1,1]] = [3,4,3] [3*,4,3] = [3^1,1,1] = 6 [2[3^1,1,1,1]] = [4,3,3,4] [1^+,4,3,3,4,1^+] = [3^1,1,1,1] = 4 [3[3,3^1,1,1]] = [3,3,4,3] [3*,4,3,3] = [3^1,1,1,1] = 6 [(3,3)[3^1,1,1,1]] = [3,4,3,3] [3,4,(3,3)*] = [3^1,1,1,1] = 24 [2[3,3^1,1,1,1]] = [3,(3,4)^1,1] [3,(3,4,1^+)^1,1] = [3,3^1,1,1,1] = 4 [(2,3)[^1,13^1,1,1]] = [4,3,3,4,3] [3*,4,3,3,4,1^+] = [3^1,1,1,1,1] = 12 [(3,3)[3,3^1,1,1,1]] = [3,3,4,3,3] [3,3,4,(3,3)*] = [3^1,1,1,1,1] = 24 [(3,3,3)[3^1,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3] [3,4,(3,3,3)*] = [3^1,1,1,1,1] = 120

Расширенные группы Радикальные подгруппы Диаграммы Кокстера Индекс [1[3^[3]]] = [3,6] [3,6,1^+] = [3^[3]] = 2 [3[3^[3]]] = [6,3] [6,3*] = [3^[3]] = 6 [1[3,3^[3]]] = [3,3,6] [3,3,6,1^+] = [3,3^[3]] = 2 [(3,3)[3^[3,3]]] = [6,3,3] [6,(3,3)*] = [3^[3,3]] = 24 [1[∞]^2] = [4,4] [4,1^+,4] = [∞]^2 = [∞]×[∞] = [∞,2,∞] = 2 [2[∞]^2] = [4,4] [1^+,4,4,1^+] = [(4,4,2*)] = [∞]^2 = 4 [4[∞]^2] = [4,4] [4,4*] = [∞]^2 = 8 [2[3^[4]]] = [4,3,4] [1^+,4,3,4,1^+] = [(4,3,4,2*)] = [3^[4]] = = 4 [3[∞]^3] = [4,3,4] [4,3*,4] = [∞]^3 = [∞,2,∞,2,∞] = 6 [(3,3)[∞]^3] = [4,3^1,1] [4,(3^1,1)*] = [∞]^3 = 24 [(4,3)[∞]^3] = [4,3,4] [4,(3,4)*] = [∞]^3 = 48 [(3,3)[∞]^4] = [4,3,3,4] [4,(3,3)*,4] = [∞]^4 = 24 [(4,3,3)[∞]^4] = [4,3,3,4] [4,(3,3,4)*] = [∞]^4 = 384

Глядя на генераторы, двойная симметрия рассматривается как добавление нового оператора, который отображает симметричные позиции на диаграмме Кокстера, делая некоторые оригинальные генераторы избыточными. Для 3D космические группы, и точечные группы 4D, Кокстер определяет подгруппу индекса два в [[X]], [[X]⁺], которую он определяет как произведение исходных образующих [X] на генератор удвоения. Это похоже на [[X]]⁺, которая является киральной подгруппой в [[X]]. Так, например, трехмерные космические группы [[4,3,4]]⁺ (I432, 211) и [[4,3,4]⁺] (Вечера3n, 223) - различные подгруппы в [[4,3,4]] (Im3м, 229).

Вычисление с использованием матриц отражения в качестве генераторов симметрии

Группа Кокстера, представленная Диаграмма Кокстера , дается обозначение Кокстера [p, q] для порядков ветвления. Каждый узел на диаграмме Кокстера представляет собой зеркало, условно называемое ρ_я (и матрица R_я). В генераторы этой группы [p, q] являются отражениями: ρ₀, ρ₁, а ρ₂. Вращательная подсимметрия задается как произведение отражений: По соглашению σ_0,1 (и матрица S_0,1) = ρ₀ρ₁ представляет поворот на угол π / p, а σ_1,2 = ρ₁ρ₂ поворот на угол π / q, а σ_0,2 = ρ₀ρ₂ представляет поворот на угол π / 2.

[p, q]⁺, , является подгруппой индекса 2, представленной двумя генераторами вращения, каждый из которых является произведением двух отражений: σ_0,1, σ_1,2, и представляющий повороты π /п, и π /q углы соответственно.

С одной четной веткой [п⁺,2q], или же , - еще одна подгруппа индекса 2, представленная генератором вращения σ_0,1, а отражательная ρ₂.

С четными ветвями, [2п⁺,2q⁺], , представляет собой подгруппу индекса 4 с двумя образующими, построенную как произведение всех трех матриц отражения: По соглашению: ψ_0,1,2 и ψ_1,2,0, которые вращательные отражения, представляющий отражение и вращение или отражение.

В случае аффинных групп Кокстера типа , или же , одно зеркало, обычно последнее, переводится от начала координат. А перевод генератор τ_0,1 (и матрица T_0,1) строится как произведение двух (или четного числа) отражений, включая аффинное отражение. А трансотражение (отражение плюс перенос) может быть произведением нечетного числа отражений φ_0,1,2 (и матрица V_0,1,2), как и подгруппа индекса 4 : [4⁺,4⁺] = .

Другой составной генератор, условно обозначаемый как ζ (и матрица Z), представляет собой инверсия, отображая точку на обратную. Для [4,3] и [5,3] ζ = (ρ₀ρ₁ρ₂)^{ч / 2}, куда час равно 6 и 10 соответственно, Число Кокстера для каждой семьи. Для трехмерной группы Кокстера [p, q] () эта подгруппа является вращательным отражением [2⁺,час⁺].

Группы Кокстера классифицируются по их рангу, который является количеством узлов в их Диаграмма Кокстера-Дынкина. Также дана структура групп с их абстрактными типами групп: В этой статье абстрактные диэдральные группы представлены как Dih_п, и циклические группы представлены Z_п, с Dih₁=Z₂.

2 место

Например, в 2D группа Кокстера [p] () представлена ​​двумя матрицами отражения R₀ и R₁, Циклическая симметрия [p]⁺ () представлена ​​генератором вращения матрицы S_0,1.

[п], Размышления Вращение Имя р0 р1 S0,1= R0× R1 Заказ 2 2 п Матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]}$	[2], Размышления Вращение Имя р0 р1 S0,1= R0× R1 Заказ 2 2 2 Матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$
[3], Размышления Вращение Имя р0 р1 S0,1= R0× R1 Заказ 2 2 3 Матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	[4], Размышления Вращение Имя р0 р1 S0,1= R0× R1 Заказ 2 2 4 Матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

3 место

Группы Кокстера конечного ранга 3 - это [1,п], [2,п], [3,3], [3,4] и [3,5].

Чтобы отразить точку через плоскость ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ (который проходит через начало координат), можно использовать ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}}$, куда ${\displaystyle \mathbf {I} }$ - единичная матрица 3x3 и ${\displaystyle \mathbf {N} }$ это трехмерный единичный вектор для вектора нормали к плоскости. Если L2 норма из ${\displaystyle a,b,}$ и ${\displaystyle c}$ равна единице, матрица преобразования может быть выражена как:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]}$

Двугранная симметрия

Приводимая трехмерная конечная рефлексивная группа есть двугранная симметрия, [п, 2], порядок 4п, . Генераторами отражения являются матрицы R₀, Р₁, Р₂. р₀²= R₁²= R₂²= (R₀× R₁)³= (R₁× R₂)³= (R₀× R₂)²= Личность. [п,2]⁺ () порождается 2 из 3 поворотов: S_0,1, S_1,2, а S_0,2. Заказ п вращательное отражение порождается V_0,1,2, произведение всех трех отражений.

[п, 2],

	Размышления			Вращение			Rotoreflection
Имя	р0	р1	р2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	п	2		2п
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&-\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Тетраэдрическая симметрия

линии отражения для [3,3] =

Простейшая неприводимая трехмерная конечная рефлексивная группа - это тетраэдрическая симметрия, [3,3], порядок 24, . Генераторы отражения от D₃= А₃ конструкции, - матрицы R₀, Р₁, Р₂. р₀²= R₁²= R₂²= (R₀× R₁)³= (R₁× R₂)³= (R₀× R₂)²= Личность. [3,3]⁺ () порождается 2 из 3 поворотов: S_0,1, S_1,2, а S_0,2. А трионная подгруппа, изоморфная [2⁺, 4], порядок 8, порождается S_0,2 и R₁. Порядок 4 вращательное отражение порождается V_0,1,2, произведение всех трех отражений.

[3,3],

	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Имя	р0	р1	р2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Имя
Заказ	2	2	2	3		2	4
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(0,1,-1)п	(1,-1,0)п	(0,1,1)п	(1,1,1)ось	(1,1,-1)ось	(1,0,0)ось

Октаэдрическая симметрия

Линии отражения для [4,3] =

Другой неприводимой трехмерной конечной рефлексивной группой является октаэдрическая симметрия, [4,3], порядок 48, . Матрицы генераторов отражения R₀, Р₁, Р₂. р₀²= R₁²= R₂²= (R₀× R₁)⁴= (R₁× R₂)³= (R₀× R₂)²= Личность. Хиральная октаэдрическая симметрия, [4,3]⁺, () порождается 2 из 3 поворотов: S_0,1, S_1,2, а S_0,2. Пиритоэдрическая симметрия [4,3⁺], () порождается отражением R₀ и вращение S_1,2. 6-кратный вращательное отражение порождается V_0,1,2, произведение всех трех отражений.

[4,3],

	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Имя	р0	р1	р2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	4	3	2	6
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(0,0,1)п	(0,1,-1)п	(1,-1,0)п	(1,0,0)ось	(1,1,1)ось	(1,-1,0)ось

Икосаэдрическая симметрия

Линии отражения для [5,3] =

Конечная неприводимая 3-мерная конечная рефлексивная группа - это икосаэдрическая симметрия, [5,3], порядок 120, . Матрицы генераторов отражения R₀, Р₁, Р₂. р₀²= R₁²= R₂²= (R₀× R₁)⁵= (R₁× R₂)³= (R₀× R₂)²= Личность. [5,3]⁺ () порождается 2 из 3 поворотов: S_0,1, S_1,2, а S_0,2. 10-кратное вращательное отражение порождается V_0,1,2, произведение всех трех отражений.

[5,3],

	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Имя	р0	р1	р2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	5	3	2	10
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0)п	(φ, 1, φ-1)п	(0,1,0)п	(φ, 1,0)ось	(1,1,1)ось	(1,0,0)ось

Аффинный ранг 3

Простым примером аффинной группы является [4,4] () (p4m), может быть задан тремя матрицами отражения, построенными как отражение поперек оси x (y = 0), диагональ (x = y) и аффинное отражение поперек линии (x = 1). [4,4]⁺ () (p4) порождается S_0,1 S_1,2, а S_0,2. [4⁺,4⁺] () (pgg) порождается двукратным вращением S_0,2 и трансотражение V_0,1,2. [4⁺,4] () (p4g) порождается S_0,1 и R₃. Группа [(4,4,2⁺)] () (cmm), порождается двукратным вращением S_1,3 и отражение R₂.

[4,4],

	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Имя	р0	р1	р2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	4		2	∞
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&-2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

4 место

Гипероктаэдрическая или гексадекахорическая симметрия

Неприводимая 4-мерная конечная рефлексивная группа - это гипероктаэдрическая группа (или гексадекахорическая группа (для 16 ячеек ), B₄= [4,3,3], порядок 384, . Матрицы генераторов отражения R₀, Р₁, Р₂, Р₃. р₀²= R₁²= R₂²= R₃²= (R₀× R₁)⁴= (R₁× R₂)³= (R₂× R₃)³= (R₀× R₂)²= (R₁× R₃)²= (R₀× R₃)²= Личность.

Киральная гипероктаэдрическая симметрия, [4,3,3]⁺, () порождается 3 из 6 поворотов: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, а S_0,3. Гиперпиритоэдрическая симметрия [4,(3,3)⁺], () порождается отражением R₀ и вращения S_1,2 и S_2,3. 8-кратный двойное вращение порождается W_0,1,2,3, произведение всех 4-х отражений.

[4,3,3],

	Размышления				Вращения						Rotoreflection				Двойное вращение
Имя	р0	р1	р2	р3	S0,1	S1,2	S2,3	S0,2	S1,3	S0,3	V1,2,3	V0,1,3	V0,1,2	V0,2,3	W0,1,2,3
Группа
Заказ	2	2	2	2	4	3		2			4		6		8
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(0,0,0,1)п	(0,0,1,-1)п	(0,1,-1,0)п	(1,-1,0,0)п

Симметрия гипероктаэдрической подгруппы D4

Полугруппой гипероктаэдральной группы является D4, [3,3^1,1], , порядок 192. Он разделяет 3 генератора с группой гипероктаэдра, но имеет две копии соседнего генератора, один отраженный поперек удаленного зеркала.

[3,3^1,1],

	Размышления
Имя	р0	р1	р2	р3
Группа
Заказ	2	2	2	2
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,-1,0,0)п	(0,1,-1,0)п	(0,0,1,-1)п	(0,0,1,1)п

Icositetrachoric symmetry

A irreducible 4-dimensional finite reflective group is Icositetrachoric group (за 24-элементный ), F₄=[3,4,3], order 1152, . The reflection generators matrices are R₀, Р₁, Р₂, Р₃. р₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)⁴=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identity.

Chiral icositetrachoric symmetry, [3,4,3]⁺, () is generated by 3 of 6 rotations: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, and S_0,3. Ionic diminished [3,4,3⁺] group, () is generated by reflection R₀ and rotations S_1,2 и S_2,3. A 12-fold double rotation is generated by W_0,1,2,3, the product of all 4 reflections.

[3,4,3],

	Размышления				Вращения						Rotoreflection				Double rotation
Имя	р0	р1	р2	р3	S0,1	S1,2	S2,3	S0,2	S1,3	S0,3	V1,2,3	V0,1,3	V0,1,2	V0,2,3	W0,1,2,3
Группа
Заказ	2	2	2	2	3	4	3	2			6				12
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(-1,-1,-1,-1)п	(0,0,1,0)п	(0,1,-1,0)п	(1,-1,0,0)п

Hypericosahedral symmetry

The hyper-icosahedral symmetry, [5,3,3], order 14400, . The reflection generators matrices are R₀, Р₁, Р₂, Р₃. р₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₀×R₃)²=(R₁×R₃)²=Identity. [5,3,3]⁺ () is generated by 3 rotations: S_0,1 = R₀×R₁, S_1,2 = R₁×R₂, S_2,3 = R₂×R₃, так далее.

[5,3,3],

	Размышления
Имя	р0	р1	р2	р3
Группа
Заказ	2	2	2	2
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&0\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&0\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\0&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0,0)п	(φ,1,φ-1,0)п	(0,1,0,0)п	(0,-1,φ,1-φ)п

Rank one groups

Дальнейшая информация: One-dimensional symmetry group

В одном измерении bilateral group [ ] represents a single mirror symmetry, abstract Dih₁ или же Z₂, symmetry порядок 2. It is represented as a Диаграмма Кокстера – Дынкина with a single node, . В identity group is the direct subgroup [ ]⁺, Z₁, symmetry order 1. The + superscript simply implies that alternate mirror reflections are ignored, leaving the identity group in this simplest case. Coxeter used a single open node to represent an alternation, .

Группа	Обозначение Кокстера	Диаграмма Кокстера	Заказ	Описание
C1	[ ]^+		1	Личность
D1	[ ]		2	Группа отражения

Rank two groups

Дальнейшая информация: Группы точек в двух измерениях

A regular шестиугольник, with markings on edges and vertices has 8 symmetries: [6], [3], [2], [1], [6]⁺, [3]⁺, [2]⁺, [1]⁺, with [3] and [1] existing in two forms, depending whether the mirrors are on the edges or vertices.

В двух измерениях прямоугольный группа [2], abstract D₁² или же D₂, also can be represented as a прямой продукт [ ]×[ ], being the product of two bilateral groups, represents two orthogonal mirrors, with Coxeter diagram, , с порядок 4. 2 in [2] comes from linearization of the orthogonal subgraphs in the Coxeter diagram, as with explicit branch order 2. The rhombic group, [2]⁺ ( или же ), half of the rectangular group, the point reflection symmetry, Z₂, order 2.

Coxeter notation to allow a 1 place-holder for lower rank groups, so [1] is the same as [ ], and [1⁺] or [1]⁺ is the same as [ ]⁺ and Coxeter diagram .

В full p-gonal group [p], abstract группа диэдра D_п, (неабелевский for p>2), of порядок 2п, is generated by two mirrors at angle π/п, represented by Coxeter diagram . В p-gonal subgroup [p]⁺, циклическая группа Z_п, порядка п, generated by a rotation angle of π/п.

Coxeter notation uses double-bracking to represent an автоморфный удвоение of symmetry by adding a bisecting mirror to the fundamental domain. For example, [[p]] adds a bisecting mirror to [p], and is isomorphic to [2p].

In the limit, going down to one dimensions, the полный apeirogonal группа is obtained when the angle goes to zero, so [∞], abstractly the бесконечная диэдральная группа D_∞, represents two parallel mirrors and has a Coxeter diagram . В apeirogonal group [∞]⁺, , abstractly the infinite циклическая группа Z_∞, изоморфный к аддитивная группа из целые числа, is generated by a single nonzero translation.

In the hyperbolic plane, there is a полный pseudogonal группа [iπ / λ], and pseudogonal subgroup [iπ / λ]⁺, . These groups exist in regular infinite-sided polygons, with edge length λ. The mirrors are all orthogonal to a single line.

Example rank 2 finite and hyperbolic symmetries
Тип	Конечный					Affine	Гиперболический
Геометрия					...
Coxeter	[ ]	= [2]=[ ]×[ ]	[3]	[4]	[п]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Заказ	2	4	6	8	2п	∞
Mirror lines are colored to correspond to Coxeter diagram nodes. Fundamental domains are alternately colored.
Четное изображений (непосредственный)					...
Странный изображений (перевернутый)
Coxeter	[ ]^+	[2]^+	[3]^+	[4]^+	[п]^+	[∞]^+	[∞]^+	[iπ/λ]^+
Заказ	1	2	3	4	п	∞
Cyclic subgroups represent alternate reflections, all even (direct) images.

Группа	Intl	Орбифолд	Coxeter	Диаграмма Кокстера	Заказ	Описание
Конечный
Zп	п	п •	[n]^+		п	Циклический: п-кратные вращения. Абстрактная группа Zп, группа целых чисел при сложении по модулю п.
Dп	пм	* п •	[n]		2п	Двугранный: циклический с отражениями. Абстрактная группа Dihп, то группа диэдра.
Affine
Z∞	∞	∞•	[∞]^+		∞	Циклический: apeirogonal group. Абстрактная группа Z∞, the group of integers under addition.
Dih∞	∞m	*∞•	[∞]		∞	Dihedral: parallel reflections. Абстрактный бесконечная диэдральная группа Dih∞.
Гиперболический
Z∞			[πi/λ]^+		∞	pseudogonal group
Dih∞			[πi/λ]		∞	full pseudogonal group

Rank three groups

Дальнейшая информация: Группы точек в трех измерениях и Список групп сферической симметрии

Point groups in 3 dimensions can be expressed in bracket notation related to the rank 3 Coxeter groups:

Finite groups of isometries in 3-space[2]
Rotation groups						Extended groups
Имя	скобка	Сфера	Sch	Абстрактный	Заказ	Имя	скобка	Сфера	Sch	Абстрактный	Заказ
Личность	[ ]^+	11	C1	Z1	1	Двусторонний	[1,1] = [ ]	*	D1	D1	2
						Центральная	[2^+,2^+]	×	Cя	2×Z1	2
Acrorhombic	[1,2]^+ = [2]^+	22	C2	Z2	2	Acrorectangular	[1,2] = [2]	*22	C2v	D2	4
						Gyrorhombic	[2^+,4^+]	2×	S4	Z4	4
						Орторомбический	[2,2^+]	2*	D1д	D1×Z2	4
Pararhombic	[2,2]^+	222	D2	D2	4	Gyrorectangular	[2^+,4]	2*2	D2d	D4	8
						Orthorectangular	[2,2]	*222	D2ч	D1× D2	8
Acro-п-гональный	[1,п]^+ = [п]^+	pp	Cп	Zп	п	Full acro-п-гональный	[1,п] = [п]	*pp	Cпv	Dп	2п
						Гиро-п-гональный	[2^+,2п^+]	п×	S2п	Z2п	2п
						Орто-п-гональный	[2,п^+]	п*	Cпчас	D1×Zп	2п
Пара-п-гональный	[2,p]^+	п22	Dп	Dп	2п	Full gyro-п-гональный	[2^+,2п]	2*п	Dпd	D2п	4п
						Full ortho-п-гональный	[2,п]	*п22	Dпчас	D1× Dп	4п
Тетраэдр	[3,3]+	332	Т	А4	12	Full tetrahedral	[3,3]	*332	Тd	S4	24
						Pyritohedral	[3^+,4]	3*2	Тчас	2×A4	24
Восьмигранный	[3,4]^+	432	О	S4	24	Full octahedral	[3,4]	*432	Очас	2×S4	48
Икосаэдр	[3,5]^+	532	я	А5	60	Full icosahedral	[3,5]	*532	ячас	2×A5	120

В трех измерениях full orthorhombic group или же orthorectangular [2,2], abstractly D₂×D₂, порядок 8, represents three orthogonal mirrors, (also represented by Coxeter diagram as three separate dots ). It can also can be represented as a прямой продукт [ ]×[ ]×[ ], but the [2,2] expression allows subgroups to be defined:

First there is a "semidirect" subgroup, the orthorhombic group, [2,2⁺] ( или же ), abstractly D₁×Z₂=Z₂×Z₂, of order 4. When the + superscript is given inside of the brackets, it means reflections generated only from the adjacent mirrors (as defined by the Coxeter diagram, ) are alternated. In general, the branch orders neighboring the + node must be even. In this case [2,2⁺] and [2⁺,2] represent two isomorphic subgroups that are geometrically distinct. The other subgroups are the pararhombic group [2,2]⁺ ( или же ), also order 4, and finally the central group [2⁺,2⁺] ( или же ) of order 2.

Далее идет full ortho-п-gonal group, [2,p] (), abstractly D₁×D_п=Z₂×D_п, of order 4p, representing two mirrors at a двугранный угол π /п, and both are orthogonal to a third mirror. It is also represented by Coxeter diagram as .

The direct subgroup is called the para-п-gonal group, [2,p]⁺ ( или же ), abstractly D_п, of order 2p, and another subgroup is [2,p⁺] () abstractly D₁×Z_п, also of order 2p.

В full gyro-p-gonal group, [2⁺,2п] ( или же ), abstractly D_2п, of order 4п. The gyro-п-gonal group, [2⁺,2p⁺] ( или же ), abstractly Z_2п, of order 2п is a subgroup of both [2⁺,2п] and [2,2п⁺].

В многогранные группы are based on the symmetry of платоновые тела: the тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, и додекаэдр, с Символы Шлефли {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}, and {5,3} respectively. The Coxeter groups for these are: [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () called full тетраэдрическая симметрия, октаэдрическая симметрия, и икосаэдрическая симметрия, with orders of 24, 48, and 120.

Пиритоэдрическая симметрия, [3+,4] is an index 5 subgroup of икосаэдрическая симметрия, [5,3].

In all these symmetries, alternate reflections can be removed producing the rotational tetrahedral [3,3]⁺(), octahedral [3,4]⁺ (), and icosahedral [3,5]⁺ () groups of order 12, 24, and 60. The octahedral group also has a unique index 2 subgroup called the пиритоэдрическая симметрия group, [3⁺,4] ( или же ), of order 12, with a mixture of rotational and reflectional symmetry. Pyritohedral symmetry is also an index 5 subgroup of icosahedral symmetry: --> , with virtual mirror 1 через 0, {010}, and 3-fold rotation {12}.

The tetrahedral group, [3,3] (), has a doubling [[3,3]] (which can be represented by colored nodes ), mapping the first and last mirrors onto each other, and this produces the [3,4] ( или же ) группа. The subgroup [3,4,1⁺] ( или же ) is the same as [3,3], and [3⁺,4,1⁺] ( или же ) is the same as [3,3]⁺.

Example rank 3 finite Coxeter groups subgroup trees
Тетраэдрическая симметрия	Октаэдрическая симметрия
Икосаэдрическая симметрия

Finite (группы точек в трех измерениях )

Intl * Гео [8] Сфера. Schön. Struct. Coxeter Ord. 1 1 1 C1 Z1 ][ = [ ]^+ = 1 2 = м 1 * Cs [ ] 2 2 3 4 5 6 п 2 3 4 5 6 п 22 33 44 55 66 nn C2 C3 C4 C5 C6 Cп Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Zп [1,2]^+ [1,3]^+ [1,4]^+ [1,5]^+ [1,6]^+ [1,n]^+ 2 3 4 5 6 п 2mm 3м 4мм 5м 6мм пмм пм 2 3 4 5 6 п *22 *33 *44 *55 *66 *nn C2v C3в C4в C5в C6v CNV D2 D3 D4 D5 D6 Dп [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6] [1,п] 4 6 8 10 12 2n 2 / м 3/m 4 / м 5 / м 6 / м п/ м 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 п 2 2* 3* 4* 5* 6* п * C2ч C3ч C4ч C5ч C6ч Cнэ D1×Z2 D1×Z3 D1×Z4 D1×Z5 D1×Z6 D1×Zп [2,2^+] [2,3^+] [2,4^+] [2,5^+] [2,6^+] [2, n^+] 4 6 8 10 12 2n 4 3 8 5 12 2n п 2 2 1 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2н 2 1× 2× 3× 4× 5× 6× п × Cя = S2 S4 S6 S8 S10 S12 S2n Z2 Z4 Z6= Z2×Z3 Z8 Z10= Z2×Z5 Z12 Z2n [2^+,2^+] [2^+,4^+] [2^+,6^+] [2^+,8^+] [2^+,10^+] [2^+,12^+] [2^+, 2н^+] 2 4 6 8 10 12 2n

Intl Гео Сфера. Schön. Struct. Coxeter Ord. 222 32 422 52 622 n22 n2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 п 2 222 223 224 225 226 22n D2 D3 D4 D5 D6 Dп D2 D3 D4 D5 D6 Dп [2,2]^+ [2,3]^+ [2,4]^+ [2,5]^+ [2,6]^+ [2, n]^+ 4 6 8 10 12 2n М-м-м 6m2 4/mmm 10m2 6 / ммм н / ммм 2nm2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 п 2 *222 *223 *224 *225 *226 * 22n D2ч D3ч D4ч D5ч D6ч Dнэ D1× D2 D1× D3 D1× D4 D1× D5 D1× D6 D1× Dп [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2, n] 8 12 16 20 24 4n 42м 3м 82м 5м 122м 2n2м пм 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 п 2 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 2 * п D2d D3D D4d D5d D6d Dnd D2 D3 D4 D5 D6 Dп [2^+,4] [2^+,6] [2^+,8] [2^+,10] [2^+,12] [2^+, 2н] 8 12 16 20 24 4n 23 3 3 332 Т А4 [3,3]^+ 12 м3 4 3 3*2 Тчас А4× S2 [3^+,4] 24 43м 3 3 *332 Тd S4 [3,3] 24 432 4 3 432 О S4 [3,4]^+ 24 м3м 4 3 *432 Очас S4× S2 [3,4] 48 532 5 3 532 я А5 [3,5]^+ 60 53м 5 3 *532 ячас А4× S2 [3,5] 120

Affine

Дальнейшая информация: List of planar symmetry groups

In the Euclidean plane there's 3 fundamental reflective groups generated by 3 mirrors, represented by Coxeter diagrams , , и , and are given Coxeter notation as [4,4], [6,3], and [(3,3,3)]. The parentheses of the last group imply the diagram cycle, and also has a shorthand notation [3^[3]].

[[4,4]] as a doubling of the [4,4] group produced the same symmetry rotated π/4 from the original set of mirrors.

Direct subgroups of rotational symmetry are: [4,4]⁺, [6,3]⁺, and [(3,3,3)]⁺. [4⁺,4] and [6,3⁺] are semidirect subgroups.

Semiaffine (frieze groups ) IUC Сфера. Гео Sch. Coxeter p1 ∞∞ п1 C∞ [∞] = [∞,1]^+ = [∞^+,2,1^+] = p1m1 *∞∞ p1 C∞v [∞] = [∞,1] = [∞,2,1^+] = p11g ∞× п.грамм1 S2∞ [∞^+,2^+] p11m ∞* п. 1 C∞h [∞^+,2] p2 22∞ п2 D∞ [∞,2]^+ p2mg 2*∞ p2грамм D∞d [∞,2^+] p2mm *22∞ p2 D∞h [∞,2]

Affine (Группы обоев ) IUC Сфера. Гео. Coxeter p2 2222 п2 [4,1^+,4]^+ p2gg 22× пграмм2грамм [4^+,4^+] p2mm *2222 p2 [4,1^+,4] c2mm 2*22 c2 [[4^+,4^+]] p4 442 п4 [4,4]^+ p4gm 4*2 пграмм4 [4^+,4] p4mm *442 p4 [4,4] p3 333 п3 [1^+,6,3^+] = [3^[3]]^+ = p3m1 *333 p3 [1^+,6,3] = [3^[3]] = p31m 3*3 h3 [6,3^+] = [3[3^[3]]^+] p6 632 п6 [6,3]^+ = [3[3^[3]]]^+ p6mm *632 p6 [6,3] = [3[3^[3]]]

Given in Coxeter notation (орбифолдная запись ), some low index affine subgroups are:

Reflective группа	Reflective подгруппа	Смешанный подгруппа	Вращение подгруппа	Неправильное вращение / перевод	Коммутатор подгруппа
[4,4], (*442)	[1^+,4,4], (*442) [4,1^+,4], (*2222) [1^+,4,4,1^+], (*2222)	[4^+,4], (4*2) [(4,4,2^+)], (2*22) [1^+,4,1^+,4], (2*22)	[4,4]^+, (442) [1^+,4,4^+], (442) [1^+,4,1^+4,1^+], (2222)	[4^+,4^+], (22×)	[4^+,4^+]^+, (2222)
[6,3], (*632)	[1^+,6,3] = [3^[3]], (*333)	[3^+,6], (3*3)	[6,3]^+, (632) [1^+,6,3^+], (333)		[1^+,6,3^+], (333)

Rank four groups

Отношения подгруппы

Point groups

Дальнейшая информация: Группы точек в четырех измерениях

Rank four groups defined the 4-dimensional точечные группы:

Конечные группы
[ ]: Символ Заказ [1]^+ 1.1 [1] = [ ] 2.1 [2]: Символ Заказ [1^+,2]^+ 1.1 [2]^+ 2.1 [2] 4.1 [2,2]: Символ Заказ [2^+,2^+]^+ = [(2^+,2^+,2^+)] 1.1 [2^+,2^+] 2.1 [2,2]^+ 4.1 [2^+,2] 4.1 [2,2] 8.1 [2,2,2]: Символ Заказ [(2^+,2^+,2^+,2^+)] = [2^+,2^+,2^+]^+ 1.1 [2^+,2^+,2^+] 2.1 [2^+,2,2^+] 4.1 [(2,2)^+,2^+] 4 [[2^+,2^+,2^+]] 4 [2,2,2]^+ 8 [2^+,2,2] 8.1 [(2,2)^+,2] 8 [[2^+,2,2^+]] 8.1 [2,2,2] 16.1 [[2,2,2]]^+ 16 [[2,2^+,2]] 16 [[2,2,2]] 32	[п]: Символ Заказ [п]^+ п [п] 2p [p,2]: Символ Заказ [п,2]^+ 2п [п,2] 4п [2p,2^+]: Символ Заказ [2п,2^+] 4п [2п^+,2^+] 2п [п,2,2]: Символ Заказ [п^+,2,2^+] 2п [(п,2)^+,2^+] 2п [п,2,2]^+ 4п [п,2,2^+] 4п [п^+,2,2] 4п [(p,2)^+,2] 4п [п, 2,2] 8п [2п,2^+,2]: Символ Заказ [2п^+,2^+,2^+]^+ п [2п^+,2^+,2^+] 2п [2п^+,2^+,2] 4п [2п^+,(2,2)^+] 4п [2п,(2,2)^+] 8п [2п,2^+,2] 8п	[п,2,q]: Символ Заказ [п^+,2,q^+] pq [п,2,q]^+ 2pq [п^+,2,q] 2pq [п,2,q] 4pq [(п,2)^+,2q]: Символ Заказ [(п,2)^+,2q^+] 2pq [(п,2)^+,2q] 4pq [2п,2,2q]: Символ Заказ [2п^+,2^+,2q^+]^+= [(2п^+,2^+,2q^+,2^+)] pq [2п^+,2^+,2q^+] 2pq [2п,2^+,2q^+] 4pq [((2п,2)^+,(2q,2)^+)] 4pq [2п,2^+,2q] 8pq [[п,2,п]]: Символ Заказ [[п^+,2,п^+]] 2п^2 [[п,2,п]]^+ 4п^2 [[п,2,п]^+] 4п^2 [[п,2,п]] 8п^2 [[2п,2,2п]]: Символ Заказ [[(2п^+,2^+,2п^+,2^+)]] 2п^2 [[2п^+,2^+,2п^+]] 4п^2 [[((2п,2)^+,(2п,2)^+)]] 8п^2 [[2п,2^+,2п]] 16п^2	[3,3,2]: Символ Заказ [(3,3)^Δ,2,1^+] ≅ [2,2]^+ 4 [(3,3)^Δ,2] ≅ [2,(2,2)^+] 8 [(3,3)^⅄,2,1^+] ≅ [4,2^+] 8 [(3,3)^+,2,1^+] = [3,3]^+ 12.5 [(3,3)^⅄,2] ≅ [2,4,2^+] 16 [3,3,2,1^+] = [3,3] 24 [(3,3)^+,2] 24.10 [3,3,2]^+ 24.10 [3,3,2] 48.36 [4,3,2]: Символ Заказ [1^+,4,3^+,2,1^+] = [3,3]^+ 12 [3^+,4,2^+] 24 [(3,4)^+,2^+] 24 [1^+,4,3^+,2] = [(3,3)^+,2] 24.10 [3^+,4,2,1^+] = [3^+,4] 24.10 [(4,3)^+,2,1^+] = [4,3]^+ 24.15 [1^+,4,3,2,1^+] = [3,3] 24 [1^+,4,(3,2)^+] = [3,3,2]^+ 24 [3,4,2^+] 48 [4,3^+,2] 48.22 [4,(3,2)^+] 48 [(4,3)^+,2] 48.36 [1^+,4,3,2] = [3,3,2] 48.36 [4,3,2,1^+] = [4,3] 48.36 [4,3,2]^+ 48.36 [4,3,2] 96.5 [5,3,2]: Символ Заказ [(5,3)^+,2,1^+] = [5,3]^+ 60.13 [5,3,2,1^+] = [5,3] 120.2 [(5,3)^+,2] 120.2 [5,3,2]^+ 120.2 [5,3,2] 240 (nc)	[3^1,1,1]: Символ Заказ [3^1,1,1]^Δ ≅[[4,2^+,4]]^+ 32 [3^1,1,1]^⅄ 64 [3^1,1,1]^+ 96.1 [3^1,1,1] 192.2 <[3,3^1,1]> = [4,3,3] 384.1 [3[3^1,1,1]] = [3,4,3] 1152.1 [3,3,3]: Символ Заказ [3,3,3]^+ 60.13 [3,3,3] 120.1 [[3,3,3]]^+ 120.2 [[3,3,3]^+] 120.1 [[3,3,3]] 240.1 [4,3,3]: Символ Заказ [1^+,4,(3,3)^Δ] = [3^1,1,1]^Δ ≅[[4,2^+,4]]^+ 32 [4,(3,3)^Δ] = [2^+,4[2,2,2]^+] ≅[[4,2^+,4]] 64 [1^+,4,(3,3)^⅄] = [3^1,1,1]^⅄ 64 [1^+,4,(3,3)^+] = [3^1,1,1]^+ 96.1 [4,(3,3)^⅄] ≅ [[4,2,4]] 128 [1^+,4,3,3] = [3^1,1,1] 192.2 [4,(3,3)^+] 192.1 [4,3,3]^+ 192.3 [4,3,3] 384.1 [3,4,3]: Символ Заказ [3^+,4,3^+] 288.1 [3,4,3^⅄] = [4,3,3] 384.1 [3,4,3]^+ 576.2 [3^+,4,3] 576.1 [[3^+,4,3^+]] 576 (nc) [3,4,3] 1152.1 [[3,4,3]]^+ 1152 (nc) [[3,4,3]^+] 1152 (nc) [[3,4,3]] 2304 (nc) [5,3,3]: Символ Заказ [5,3,3]^+ 7200 (nc) [5,3,3] 14400 (nc)

Подгруппы

1D-4D reflective point groups and subgroups
Заказ	Отражение		Semidirect подгруппы				Прямой подгруппы		Коммутатор подгруппа
2	[ ]						[ ]^+		[ ]^+1	[ ]^+
4	[2]						[2]^+		[2]^+2
8	[2,2]		[2^+,2]		[2^+,2^+]		[2,2]^+		[2,2]^+3
16	[2,2,2]		[2^+,2,2] [(2,2)^+,2]		[2^+,2^+,2] [(2,2)^+,2^+] [2^+,2^+,2^+]		[2,2,2]^+ [2^+,2,2^+]		[2,2,2]^+4
	[2^1,1,1]				[(2^+)^1,1,1]
2n	[n]						[n]^+		[n]^+1	[n]^+
4n	[2n]						[2n]^+		[2n]^+2
4n	[2, n]		[2, n^+]				[2, n]^+		[2, n]^+2
8n	[2,2n]		[2^+, 2н]		[2^+, 2н^+]		[2,2n]^+		[2,2n]^+3
8n	[2,2,n]		[2^+,2,n] [2,2,n^+]		[2^+,(2,n)^+]		[2,2,n]^+ [2^+,2,n^+]		[2,2,n]^+3
16n	[2,2,2n]		[2,2^+, 2н]		[2^+,2^+, 2н] [2,2^+, 2н^+] [(2,2)^+, 2н^+] [2^+,2^+, 2н^+]		[2,2,2n]^+ [2^+,2n,2^+]		[2,2,2n]^+4
	[2,2n,2]				[2^+, 2н^+,2^+]
	[2n,2^1,1]				[2n^+,(2^+)^1,1]
24	[3,3]						[3,3]^+		[3,3]^+1	[3,3]^+
48	[3,3,2]		[(3,3)^+,2]				[3,3,2]^+		[3,3,2]^+2
48	[4,3]		[4,3^+]				[4,3]^+		[4,3]^+2
96	[4,3,2]		[(4,3)^+,2] [4,(3,2)^+]				[4,3,2]^+		[4,3,2]^+3
	[3,4,2]		[3,4,2^+] [3^+,4,2]		[(3,4)^+,2^+]		[3^+,4,2^+]
120	[5,3]						[5,3]^+		[5,3]^+1	[5,3]^+
240	[5,3,2]		[(5,3)^+,2]				[5,3,2]^+		[5,3,2]^+2
4pq	[p, 2, q]		[п^+,2,q]				[p, 2, q]^+ [п^+,2,q^+]		[p, 2, q]^+2	[п^+,2,q^+]
8пк	[2p,2,q]		[2p,(2,q)^+]		[2p^+,(2,q)^+]		[2p,2,q]^+		[2p,2,q]^+3
16пк	[2p,2,2q]		[2p,2^+,2q]		[2p^+,2^+,2q] [2p^+,2^+,2q^+] [(2p,(2,2q)^+,2^+)]	-	[2p,2,2q]^+		[2p,2,2q]^+4
120	[3,3,3]						[3,3,3]^+		[3,3,3]^+1	[3,3,3]^+
192	[3^1,1,1]						[3^1,1,1]^+		[3^1,1,1]^+1	[3^1,1,1]^+
384	[4,3,3]		[4,(3,3)^+]				[4,3,3]^+		[4,3,3]^+2
1152	[3,4,3]		[3^+,4,3]				[3,4,3]^+ [3^+,4,3^+]		[3,4,3]^+2	[3^+,4,3^+]
14400	[5,3,3]						[5,3,3]^+		[5,3,3]^+1	[5,3,3]^+

Космические группы

Космические группы
Affine isomorphism and correspondences	8 cubic space groups as extended symmetry from [3^[4]], with square Coxeter diagrams and reflective fundamental domains	35 cubic space groups in International, Fibrifold notation, and Coxeter notation

Rank four groups as 3-dimensional космические группы
Триклиник (1-2) Coxeter Космическая группа [∞^+,2,∞^+,2,∞^+] (1) P1 Моноклиника (3-15) Coxeter Космическая группа [(∞,2,∞)^+,2,∞^+] (3) P2 [∞^+,2,∞^+,2,∞] (6) Pm [(∞,2,∞)^+,2,∞] (10) P2/m Орторомбический (16-74) Coxeter Космическая группа [∞,2,∞,2,∞]^+ (16) P222 [[∞,2,∞,2,∞]]^+ (23) I222 [∞^+,2,∞,2,∞] (25) Pmm2 [∞,2,∞,2,∞] (47) Pmmm [[∞,2,∞,2,∞]] (71) Immm [∞^+,2,∞^+,2,∞^+] [∞,2,∞,2^+,∞] [∞,2^+,∞,2^+,∞]	Тетрагональный (75-142) Coxeter Космическая группа [(4,4)^+,2,∞^+] (75) P4 [2^+[(4,4)^+,2,∞^+]] (79) I4 [(4,4)^+,2,∞] (83) P4/m [2^+[(4,4)^+,2,∞]] (87) I4/m [4,4,2,∞]^+ (89) P422 [2^+[4,4,2,∞]]^+ (97) I422 [4,4,2,∞^+] (99) P4mm [4,4,2,∞] (123) P4/mmm [2^+[4,4,2,∞]] (139) I4/mmm [4,(4,2)^+,∞] (140) I4/mcm [4,4,2^+,∞] [(4,4)^+,2^+,∞] [4,4,2^+,∞^+] [(4,4)^+,2^+,∞^+] [4^+,4^+,2^+,∞] [4,4^+,2,∞] [4,4^+,2^+,∞] [((4,2^+,4)),2,∞] [4,4^+,2,∞^+] [4,4^+,2^+,∞^+] [((4,2^+,4)),2,∞^+]	Тригональный (143-167), rhombohedral Coxeter Космическая группа Шестиугольный (168-194) [(6,3)^+,2,∞^+] (168) P6 [(6,3)^+,2,∞] (175) P6/m [6,3,2,∞]^+ (177) P622 [6,3,2,∞^+] (183) P6mm [6,3,2,∞] (191) P6/mmm [(3^[3])^+,2,∞^+] [3^[3],2,∞] [6,3^+,2,∞] [6,3^+,2,∞^+] [3^[3],2,∞]^+ [3^[3],2,∞^+] [(3^[3])^+,2,∞]	Кубический (195-230) Группа Coxeter Космическая группа Индекс [[4,3,4]] [[4,3,4]] (229) Im3м 1 [[4,3,4]]^+ (211) I432 2 [[4,3,4]^+] (223) Pm3п 2 [[4,3^+,4]] (204) I3 2 [[(4,3,4,2^+)]] (217) I43м 2 [[4,3^+,4]]^+ (197) I23 4 [[4,3,4]^+]^+ (208) P4232 4 [[4,3^+,4)]^+] (201) Pn43 4 [[(4,3,4,2^+)]^+] (218) P43n 4 [4,3,4] [4,3,4] (221) Pm3м 2 [4,3,4]^+ (207) P432 4 [4,3^+,4] (200) Pm3 4 [4,(3,4)^+] (226) Fm3c 4 [(4,3,4,2^+)] (215) P43м 4 [[{4,(3}^+,4)^+]] (228) Fd3c 4 [4,3^+,4]^+ (195) P23 8 [{4,(3}^+,4)^+] (219) F43c 8 [4,3^1,1] [4,3^1,1] (225) Fm3м 4 [4,(3^1,1)^+] (202) Fm3 8 [4,3^1,1]^+ (209) F432 8 [[3^[4]]] [(4^+,2^+)[3^[4]]] (222) Pn3п 2 [[3^[4]]] (227) Fd3м 4 [[3^[4]]]^+ (203) Fd3 8 [[3^[4]]^+] (210) F4132 8 [3^[4]] [3^[4]] (216) F43м 8 [3^[4]]^+ (196) F23 16

Line groups

Rank four groups also defined the 3-dimensional line groups:

Semiaffine (3D) groups
Группа точек			Line group
Hermann-Mauguin		Schönflies	Hermann-Mauguin		Offset type	Обои на стену			Coxeter [∞час,2,pv]
Четное п	Странный п		Четное п	Странный п		IUC	Орбифолд	Диаграмма
п		Cп	ппq		Helical: q	p1	о		[∞^+,2,n^+]
2п	п	S2п	п2п	пп	Никто	p11g, pg(h)	××		[(∞,2)^+, 2н^+]
п/ м	2п	Cпчас	пп/ м	п2п	Никто	p11m, pm(h)	**		[∞^+,2,n]
2п/ м		C2пчас	P2пп/ м		Зигзаг	c11m, cm(h)	*×		[∞^+,2^+, 2н]
пмм	пм	Cпv	ппмм	ппм	Никто	p1m1, pm(v)	**		[∞,2,n^+]
			ппcc	ппc	Planar reflection	p1g1, pg(v)	××		[∞^+,(2,n)^+]
2пмм		C2пv	P2ппMC		Зигзаг	c1m1, cm(v)	*×		[∞,2^+, 2н^+]
п22	п2	Dп	ппq22	ппq2	Helical: q	p2	2222		[∞,2,n]^+
2п2м	пм	Dпd	п2п2м	ппм	Никто	p2mg, pmg(h)	22*		[(∞,2)^+, 2н]
			п2п2c	ппc	Planar reflection	p2gg, pgg	22×		[^+(∞,(2),2n)^+]
п/mmm	2п2м	Dпчас	пп/mmm	п2п2м	Никто	p2mm, pmm	*2222		[∞,2,n]
			пп/ mcc	п2п2c	Planar reflection	p2mg, pmg(v)	22*		[∞,(2,n)^+]
2п/mmm		D2пчас	P2пп/mcm		Зигзаг	c2mm, cmm	2*22		[∞,2^+, 2н]

Duoprismatic group

Extended duoprismatic symmetry
Extended duoprismatic groups, [p]×[p] or [p,2,p] or , expressed in relation to its тетрагональный дисфеноид fundamental domain symmetry.

Rank four groups defined the 4-dimensional duoprismatic groups. In the limit as p and q go to infinity, they degenerate into 2 dimensions and the wallpaper groups.

Duoprismatic groups (4D)
Обои на стену			Coxeter [p, 2, q]	Coxeter [[p, 2, p]]	Обои на стену
IUC	Орбифолд	Диаграмма			IUC	Орбифолд	Диаграмма
p1	о		[п^+,2,q^+]	[[p^+,2,p^+]]	p1	о
pg	××		[(p,2)^+,2q^+]	-
вечера	**		[п^+,2,q]	-
см	*×		[2p^+,2^+,2q]	-
p2	2222		[p, 2, q]^+	[[p, 2, p]]^+	p4	442
pmg	22*		[(p,2)^+,2q]	-
pgg	22×		[^+(2p,(2),2q)^+]	[[^+(2p,(2),2p)^+]]	cmm	2*22
pmm	*2222		[p, 2, q]	[[p, 2, p]]	p4m	*442
cmm	2*22		[2p,2^+,2q]	[[2p,2^+,2p]]	p4g	4*2

Группы обоев

Rank four groups also defined some of the 2-dimensional группы обоев, as limiting cases of the four-dimensional duoprism groups:

Affine (2D plane)
IUC Сфера. Гео Coxeter Диаграмма p1 о п1 [∞^+,2,∞^+] [∞^+,2^+,∞^+] [(∞^+,2^+,∞^+,2^+)] p2 2222 п2 [∞,2,∞]^+ [(∞,2^+,∞,2^+)] p11g ×× пграмм1 h: [∞^+,(2,∞)^+] p1g1 v: [(∞,2)^+,∞^+] p2gm 22* пграмм2 h: [(∞,2)^+,∞] p2mg v: [∞,(2,∞)^+]	IUC Сфера. Гео Coxeter Диаграмма p11m ** p1 h: [∞^+,2,∞] p1m1 v: [∞,2,∞^+] p2mm *2222 p2 [∞,2,∞] c11m *× c1 h: [∞^+,2^+,∞] c1m1 v: [∞,2^+,∞^+] p2gg 22× пграмм2грамм [^+(∞,(2),∞)^+] [((∞,2)^+)^[2]] c2mm 2*22 c2 [∞,2^+,∞]

Subgroups of [∞,2,∞], (*2222) can be expressed down to its index 16 commutator subgroup:

Subgroups of [∞,2,∞]
Reflective группа	Reflective подгруппа	Смешанный подгруппа	Вращение подгруппа	Неправильное вращение / перевод	Коммутатор подгруппа
[∞,2,∞], (*2222)	[1^+,∞,2,∞], (*2222)	[∞^+,2,∞], (**)	[∞,2,∞]^+, (2222)	[∞,2^+,∞]^+, (°) [∞^+,2^+,∞^+], (°) [∞^+,2,∞^+], (°) [∞^+,2^+,∞], (*×) [(∞,2)^+,∞^+], (××) [^+(∞,(2),∞)^+], (22×)	[(∞^+,2^+,∞^+,2^+)], (°)
		[∞,2^+,∞], (2*22) [(∞,2)^+,∞], (22*)

Complex reflections

All subgroup relations on rank 2 Shephard groups.

Coxeter notation has been extended to Complex space, С^п where nodes are unitary reflections of period greater than 2. Узлы помечаются индексом, который считается равным 2 для обычного реального отражения, если оно подавлено. Сложные группы отражений называются Группы шепардов скорее, чем Группы Кокстера, и может использоваться для построения сложные многогранники.

В ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, группа пастухов 1 ранга , порядок п, представлен как _п[], []_п или же ]_п[. Он имеет один генератор, представляющий 2π/п радиан вращения в Комплексная плоскость: ${\displaystyle e^{2\pi i/p}}$.

Кокстер пишет сложную группу ранга 2, _п[q]_р представляет Диаграмма Кокстера . В п и р следует подавлять, только если оба равны 2, что является реальным случаем [q]. Порядок группы 2 ранга _п[q]_р является ${\displaystyle g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$.^[9]

Решения ранга 2, которые генерируют сложные многоугольники: _п[4]₂ (п это 2,3,4, ...), ₃[3]₃, ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃[10]₂, ₅[6]₂, и ₅[4]₃ с диаграммами Кокстера , , , , , , , , , , , , .

Некоторые отношения подгрупп между бесконечными группами Шепарда

Бесконечные группы ₃[12]₂, ₄[8]₂, ₆[6]₂, ₃[6]₃, ₆[4]₃, ₄[4]₄, и ₆[3]₆ или же , , , , , , .

Подгруппы индекса 2 существуют за счет удаления реального отражения: _п[2q]₂ → _п[q]_п. Также индекс р подгруппы существуют для 4 филиалов: _п[4]_р → _п[р]_п.

Для бесконечной семьи _п[4]₂, для любого п = 2, 3, 4, ..., есть две подгруппы: _п[4]₂ → [п], индекс п, в то время как и _п[4]₂ → _п[]×_п[], индекс 2.

Примечания

1. Джонсон (2018), 11,6 Подгруппы и расширения, p 255, деление подгрупп пополам
2. Johnson (2018), стр. 231-236, и стр. 245 Таблица 11.4. Конечные группы изометрий в трехмерном пространстве
3. Джонсон (2018), 11,6 Подгруппы и расширения, p 259, радикальная подгруппа
4. Джонсон (2018), 11,6 Подгруппы и расширения, p 258, трионные подгруппы
5. Conway, 2003, стр.46, таблица 4.2. Хиральные группы II.
6. Кокстер и Мозер, 1980, раздел 9.5 Коммутаторная подгруппа, стр. 124–126
7. Джонсон, Норман У .; Вайс, Азия Ивич (1999). «Кватернионные модульные группы». Линейная алгебра и ее приложения. 295 (1–3): 159–189. Дои:10.1016 / S0024-3795 (99) 00107-X.
8. Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре, Д. Хестенес и Дж. Холт, Журнал математической физики. 48, 023514 (2007) (22 стр.) PDF [1]
9. Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, 9.7. Отражения подгрупп с двумя образующими. стр. 178–179

Рекомендации

• H.S.M. Coxeter:
  • Калейдоскопы: Избранные произведения Х.С.М. Coxeter, отредактированный Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [2]
    • (Документ 22) Кокстер, H.S.M. (1940), «Правильные и полурегулярные многогранники I», Математика. Z., 46: 380–407, Дои:10.1007 / bf01181449
    • (Документ 23) Кокстер, H.S.M. (1985), "Правильные и полурегулярные многогранники II", Математика. Z., 188 (4): 559–591, Дои:10.1007 / bf01161657
    • (Документ 24) Кокстер, H.S.M. (1988), "Правильные и полурегулярные многогранники III", Математика. Z., 200: 3–45, Дои:10.1007 / bf01161745
• Coxeter, H. S. M .; Мозер, В. О. Дж. (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9.
• Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись (1991)
  • N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. (1966)
  • Норман У. Джонсон и Азия Ивич Вайс Квадратичные целые числа и группы Кокстера PDF Может. J. Math. Vol. 51 (6), 1999, стр. 1307–1336
  • Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии [3]
• Конвей, Джон Хортон; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Huson, Daniel H .; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных космических группах», Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, ISSN  0138-4821, МИСТЕР  1865535
• Джон Х. Конвей и Дерек А. Смит, О кватернионах и октонионах, 2003, ISBN  978-1-56881-134-5
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5 Глава 22 35 основных космических групп, гл.25 184 составные космические группы, гл.26 Еще выше, 4D точечные группы