Группы точек в двух измерениях - Point groups in two dimensions

В Bauhinia blakeana цветок на Гонконг флаг имеет C₅ симметрия; у звезды на каждом лепестке есть буква D₅ симметрия.

В геометрия, а двумерный точечная группа или же розетка группа это группа геометрических симметрии (изометрии ), которые удерживают хотя бы одну точку на плоскости. Каждая такая группа является подгруппой группы ортогональная группа O (2), включая сам O (2). Его элементами являются вращения и отражения, и каждая такая группа, содержащая только вращения, является подгруппой специальной ортогональной группы SO (2), включая саму SO (2). Эта группа изоморфна R / Z, и первая группа унитарная группа, U (1), группа, также известная как круговая группа.

Двумерные точечные группы важны как основа для осевого трехмерные точечные группы, с добавлением отражений по осевой координате. Они также важны для симметрии организмов, например морская звезда и медуза, и части организма, например цветы.

Дискретные группы

Есть два семейства дискретных двумерных точечных групп, и они задаются параметром п, который является порядком группы вращений в группе.

Группа	Intl	Орбифолд	Coxeter		Заказ	Описание
Cп	п	п •	[n]^+		п	Циклический: п-кратные вращения. Абстрактная группа Zп, группа целых чисел при сложении по модулю п.
Dп	пм	* п •	[n]		2п	Двугранный: п-кратные вращения и п-складные размышления. Абстрактная группа Dihп, то группа диэдра.

Intl относится к Обозначения Германа – Могена или международное обозначение, часто используемое в кристаллография. В бесконечном пределе эти группы становятся одномерными группы линий.

Если группа является симметрией двумерного решетка или сетка, то кристаллографическая теорема ограничения ограничивает ценность п на 1, 2, 3, 4 и 6 для обеих семей. Таким образом, имеется 10 двумерных кристаллографические точечные группы:

• C₁, С₂, С₃, С₄, С₆,
• D₁, D₂, D₃, D₄, D₆

Группы могут быть построены следующим образом:

• C_п. Генерируется элементом, также называемым C_п, что соответствует повороту на угол 2π /п. Его элементами являются E (тождество), C_п, С_п², ..., C_п^п−1, соответствующие углам поворота 0, 2π /п, 4π /п, ..., 2(п - 1) π /п.
• D_п. Генерируется элементом C_п и отражение σ. Его элементами являются элементы группы C_п, с элементами σ, C_пσ, C_п²а, ..., С_п^п−1σ добавил. Эти дополнительные соответствуют отражениям от линий с углами ориентации 0, π /п, 2π /п, ..., (п - 1) π /п. D_п таким образом полупрямой продукт из C_п и группа (E, σ).

Все эти группы имеют различные абстрактные группы, за исключением C₂ и D₁, которые разделяют абстрактную группу Z₂. Все циклические группы абелевы или коммутативны, но только две диэдральные группы являются: D₁ ~ Z₂ и D₂ ~ Z₂× Z₂. Фактически, D₃ - наименьшая неабелева группа.

Даже для п, то Символ Германа – Могена пm - это сокращение от полного символа пмм, как описано ниже. В п в символе HM обозначает п-кратные повороты, а m обозначает плоскости отражения или зеркала.

Паритет п	Полный международный	Линии отражения для правильного многоугольника
Четное п	пмм	от вершины к вершине, от центра ребра до центра ребра (2 семейства, 2 м)
Странный п	пм	вершина к центру края (1 семейство, 1 м)

Более общие группы

Эти группы легко построить с помощью двумерных ортогональные матрицы.

Непрерывная циклическая группа SO (2) или C_∞ и его подгруппы имеют элементы, которые являются матрицами вращения:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

где SO (2) имеет любое возможное θ. Неудивительно, что все SO (2) и его подгруппы абелевы; сложение углов поворота коммутирует.

Для дискретных циклических групп C_п, элементы C_п^k = R (2πk/п)

Непрерывная группа диэдра O (2) или D_∞ и его подгруппы с отражениями имеют элементы, которые включают не только матрицы вращения, но и матрицы отражений:

${\displaystyle S(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

где O (2) имеет любые возможные θ. Однако единственные абелевы подгруппы в O (2) с отражениями - это D₁ и D₂.

Для дискретных групп диэдра D_п, элементы C_п^kσ = S (2πk/п)

При использовании полярных координат отношение этих групп к одномерные группы симметрии становится очевидным.

Типы подгрупп SO (2):

• конечный циклический подгруппы C_п (п ≥ 1); для каждого п есть одна группа изометрий абстрактной группы типа Z_п
• конечно порожденные группы, каждая изоморфна одной из форм Z^м ${\displaystyle \oplus }$Z _п создано C_п и м независимые вращения с иррациональным числом оборотов, и м, п ≥ 1; для каждой пары (м, п) существует бесчисленное множество групп изометрий, все равно, что абстрактная группа; для пары (1, 1) группа циклическая.
• Другой счетный подгруппы. Например, для целого числа п, группа, порожденная всеми вращениями числа витков, равного отрицательной целой степени п
• бесчисленные подгруппы, включая саму SO (2)

Для каждой подгруппы SO (2) существует соответствующий несчетный класс подгрупп O (2), которые взаимно изоморфны как абстрактная группа: каждая из подгрупп в одном классе порождается первой упомянутой подгруппой и единственным отражением в линия через начало координат. Это (обобщенные) диэдральные группы, в том числе конечные D_п (п ≥ 1) абстрактной группы типа Dih_п. За п = 1 общепринятое обозначение C_s, абстрактной группы типа Z₂.

В качестве топологические подгруппы из O (2) замкнуты только конечные группы изометрий и SO (2) и O (2).

Эти группы делятся на две отдельные группы в зависимости от того, состоят ли они из вращения только или включать размышления. В циклические группы, С_п (абстрактная группа типа Z_п), состоят из поворотов на 360 ° /п, и все целые кратные. Например, табурет на четырех ножках имеет группа симметрии C₄, состоящий из поворотов на 0 °, 90 °, 180 ° и 270 °. Группа симметрии квадрат принадлежит к семье диэдральные группы, D_п (абстрактная группа типа Dih_п), включая столько же отражений, сколько вращений. Бесконечная вращательная симметрия круга также подразумевает симметрию отражения, но формально круговая группа S₁ отличен от Dih (S₁), потому что последний явно включает отражения.

Бесконечная группа не обязательно должна быть непрерывной; например, у нас есть группа всех целых кратных вращения на 360 ° /√2, не считая поворота на 180 °. В зависимости от области применения однородность до произвольно высокого уровня детализации в поперечный направление можно считать эквивалентным полной однородности в этом направлении, и в этом случае эти группы симметрии можно игнорировать.

C_п и D_п за п = 1, 2, 3, 4 и 6 могут сочетаться с трансляционной симметрией, иногда более чем одним способом. Таким образом, эти 10 групп дают 17 группы обоев.

Группы симметрии

В 2D группы симметрии соответствуют группам изометрий, за исключением того, что симметрия согласно O (2) и SO (2) можно различить только в обобщенная концепция симметрии применимо для векторные поля.

Также, в зависимости от приложения, однородность вплоть до произвольно мелких деталей в поперечном направлении может считаться эквивалентным полной однородности в этом направлении. Это значительно упрощает категоризацию: мы можем ограничиться замкнутыми топологическими подгруппами в O (2): конечными и O (2) (круговая симметрия ), так и для векторных полей SO (2).

Эти группы также соответствуют одномерные группы симметрии, когда оборачивается по кругу.

Комбинации с трансляционной симметрией

E(2) является полупрямой продукт из О(2) и группа перевода Т. Другими словами, О(2) является подгруппа из E(2) изоморфен факторгруппа из E(2) автор Т:

О(2) ${\displaystyle \cong }$ E(2) / Т

Есть "естественный" сюръективный групповой гомоморфизм п : E(2) → E(2)/ Т, отправляя каждый элемент грамм из E(2) классу класса Т которому грамм принадлежит, то есть: п (грамм) = gT, иногда называемый каноническая проекция из E(2) на E(2) / Т или же О(2). Его ядро является Т.

Для каждой подгруппы E(2) можно рассматривать его образ при п: точечная группа, состоящая из смежных классов, которым принадлежат элементы подгруппы, другими словами, точечная группа, полученная игнорированием трансляционных частей изометрий. Для каждого дискретный подгруппа E(2), в связи с кристаллографическая теорема ограничения, эта точечная группа либо C_п или типа D_п за п = 1, 2, 3, 4 или 6.

C_п и D_п за п = 1, 2, 3, 4 и 6 могут сочетаться с трансляционной симметрией, иногда более чем одним способом. Таким образом, эти 10 групп дают 17 группы обоев, а четыре группы с п = 1 и 2, дают также 7 фризовые группы.

Для каждой из групп обоев p1, p2, p3, p4, p6 изображение под п всех групп изометрий (т.е. «проекций» на E(2) / Т или же О(2)) все равны соответствующим C_п; также две группы фризов соответствуют C₁ и C₂.

Каждая группа изометрий p6m отображается в одну из точечных групп типа D₆. Для остальных 11 групп обоев каждая группа изометрий сопоставляется с одной из групп точек типа D₁, D₂, D₃, или же D₄. Также пять групп фризов соответствуют D₁ и D₂.

Для данной гексагональной трансляционной решетки есть две разные группы D₃, давая начало P31m и p3m1. Для каждого из типов D₁, D₂, и D₄ различие между группами обоев 3, 4 и 2, соответственно, определяется вектором трансляции, связанным с каждым отражением в группе: поскольку изометрии находятся в одном смежном классе независимо от компонентов трансляции, отражение и скользящее отражение с одним и тем же зеркалом находятся в одном классе. Таким образом, группы изометрий, например типы p4m и p4g отображаются в точечные группы типа D₄.

Для данной группы изометрии конъюгаты перевода в группе элементами группы создают группу перевода (a решетка ) - это подгруппа группы изометрии, которая зависит только от перевода, с которого мы начали, и точечной группы, связанной с группой изометрии. Это связано с тем, что сопряжение сдвига с помощью скользящего отражения такое же, как и с соответствующим отражением: вектор смещения отражается.

Если группа изометрии содержит п-кратного вращения, то решетка имеет п-кратная симметрия для четных п и 2п-сложно для нечетных п. Если в случае дискретной группы изометрий, содержащей перевод, мы применим это для перевода минимальной длины, то, учитывая разность векторов переносов в двух смежных направлениях, следует, что п ≤ 6, а для нечетных п что 2п ≤ 6, поэтому п = 1, 2, 3, 4 или 6 ( кристаллографическая теорема ограничения ).

Смотрите также

• Группа точек
• Группы точек в трех измерениях
• Группы точек в четырех измерениях
• Одномерная группа симметрии

внешняя ссылка

• [1], Геометрические преобразования и группы обоев: симметрии геометрических узоров (дискретные группы изометрий), Лэнс Драгер.
• [2] Точечные группы и кристаллические системы, И-Шу Вэй, стр. 4–5.
• Центр геометрии: 2.1 Формулы симметрий в декартовых координатах (двухмерные)