Обозначения Германа – Могена - Hermann–Mauguin notation

В геометрия, Обозначения Германа – Могена используется для представления элементы симметрии в точечные группы, группы самолетов и космические группы. Назван в честь немецкого кристаллографа. Карл Германн (который ввел его в 1928 г.) и французский минералог Шарль-Виктор Моген (который модифицировал его в 1931 году). Это обозначение иногда называют международная нотация, потому что он был принят в качестве стандарта Международные таблицы для кристаллографии с момента их первого издания в 1935 году.

Обозначения Германа – Могена по сравнению с Обозначение Шенфлиса, предпочтительнее в кристаллография потому что его можно легко использовать для включения элементов трансляционной симметрии, и он определяет направления осей симметрии.^[1]

Группы точек

Оси вращения обозначены цифрой п - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... (угол поворота φ = 360°/п). За неправильные вращения, Символы Германа – Могена показывают оси вращения, в отличие от обозначений Шенфлиса и Шубникова, которые показывают оси вращения-отражения. Оси ротоинверсии обозначены соответствующим номером с макрон, п — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... . 2 эквивалентен зеркальной плоскости и обычно обозначается как м. Направление плоскости зеркала определяется как направление перпендикуляра к ней (направление 2 ось).

Символы Германа – Могена показывают неэквивалентные оси и плоскости симметричным образом. Направление элемента симметрии соответствует его положению в символе Германа – Могена. Если ось вращения п и зеркальная плоскость м имеют одинаковое направление (т.е. плоскость перпендикулярна осип), то они обозначаются дробью п/м или жеп /м.

Если две или более оси имеют одинаковое направление, отображается ось с более высокой симметрией. Более высокая симметрия означает, что ось образует узор с большим количеством точек. Например, оси вращения 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерируют 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-точечные шаблоны соответственно. Неправильное вращение топоры 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерировать 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8-точечные шаблоны соответственно. Если ось вращения и ось вращения создают одинаковое количество точек, следует выбрать ось вращения. Например, 3/м комбинация эквивалентна 6. С 6 дает 6 точек, а 3 дает только 3, 6 следует писать вместо 3/м (нет 6/м, потому что 6 уже содержит зеркальную плоскость м). Аналогично, если и 3, и 3 топоры присутствуют, 3 должно быть написано. Однако мы пишем 4/м, нет 4/м, потому что и 4, и 4 генерировать четыре точки. В случае 6/м комбинация, где 2, 3, 6, 3, и 6 оси присутствуют, топоры 3, 6, и 6 все генерируют 6-точечные шаблоны, но следует использовать последний, потому что это ось вращения - символ будет 6/м.

Наконец, символ Германа – Могена зависит от типа^{[требуется разъяснение ]} из группа.

Группы без осей высшего порядка (оси третьего порядка и более)

Эти группы могут содержать только оси двойного сечения, зеркальные плоскости и / или центр инверсии. Эти кристаллографические точечные группы 1 и 1 (триклинная кристаллическая система ), 2, м, и 2/м (моноклинический ), и 222, 2/м2/м2/м, и мм2 (ромбический ). (Краткая форма 2/м2/м2/м является М-м-м.) Если символ содержит три позиции, то они обозначают элементы симметрии в Икс, у, z направление соответственно.

Группы с одной осью высшего порядка

Первая позиция - начальный направление - z направление, присвоенное оси высшего порядка.
Вторая позиция - симметрично эквивалентная вторичный направления, перпендикулярные z-ось. Их может быть 2, м, или же 2/м.
Третья позиция - симметрично эквивалентная высшее направления, проходящие между вторичный направления^{[требуется разъяснение ]}. Их может быть 2, м, или же 2/м.

Это кристаллографические группы 3, 32, 3м, 3, и 32/м (тригональная кристаллическая система ), 4, 422, 4мм, 4, 42м, 4/м, и 4/м2/м2/м (четырехугольный ), и 6, 622, 6мм, 6, 6м2, 6/м, и 6/м2/м2/м (шестиугольник ). Аналогично могут быть построены символы некристаллографических групп (с осями порядка 5, 7, 8, 9 ...). Эти группы можно расположить в следующей таблице.

Schoenflies	Символ H – M	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
C_п	п	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
C_NV	нм	3м		5м		7м		9м		11м			∞м
C_NV	нмм		4мм		6мм		8мм		10мм		12мм		∞м
S_2п	п	3		5		7		9		11			∞/м
S_п			4				8				12
C_п/2час					6				10
C_нэ	п/м		4/м		6/м		8/м		10/м		12/м
D_п	п2	32		52		72		92		(11)2			∞2
D_п	п22		422		622		822		(10)22		(12)22		∞2
D_nd	п2/м	32/м		52/м		72/м		92/м		(11)2/м			∞/мм
D_п/2d	п2м = пм2		42м				82м				(12)2м
D_п/2час	п2м = пм2				6м2				(10)м2
D_нэ	п/м2/м2/м		4/м2/м2/м		6/м2/м2/м		8/м2/м2/м		10/м2/м2/м		12/м2/м2/м

Можно заметить, что в группах с осями нечетного порядка п и п третья позиция в символе всегда отсутствует, потому что все п направления, перпендикулярные оси высшего порядка, симметрично эквивалентны. Например, на изображении треугольника все три зеркальные плоскости (S₀, S₁, S₂) эквивалентны - все они проходят через одну вершину и центр противоположной стороны. Для осей четного порядка п и п Существуют п/2 второстепенные направления и п/2 третичные направления. Например, на изображении правильного шестиугольника можно выделить два набора зеркальных плоскостей: три плоскости проходят через две противоположные вершины, а три другие плоскости проходят через центры противоположных сторон. В этом случае любой из двух наборов можно выбрать как вторичный направления, остальной набор будет высшее направления. Следовательно, группы 42м, 62м, 82м, ... можно записать как 4м2, 6м2, 8м2, .... Для символов групп точек этот порядок обычно не имеет значения; однако это будет важно для символов Германа – Могена соответствующих пространственных групп, где второстепенными направлениями являются направления элементов симметрии вдоль трансляций элементарной ячейки. б и c, а третичные направления соответствуют направлению между трансляциями элементарной ячейки б и c. Например, символы P6м2 и P62м обозначают две разные пространственные группы. Это также относится к символам пространственных групп с осями нечетного порядка 3 и 3. Перпендикулярные элементы симметрии могут идти по трансляциям элементарной ячейки б и c или между ними. Пространственные группы P321 и P312 являются примерами первого и второго случаев соответственно.

Символ точечной группы 32/м может сбивать с толку; соответствующий Символ Schoenflies является D_3d, что означает, что группа состоит из 3-кратной оси, трех перпендикулярных 2-кратных осей и 3 вертикальных диагональных плоскостей, проходящих между этими 2-кратными осями, поэтому кажется, что группа может быть обозначена как 32м или 3м2. Однако следует помнить, что, в отличие от обозначений Шенфлиса, направление плоскости в символе Германа – Могена определяется как направление, перпендикулярное плоскости, а в D_3d сгруппируйте все зеркальные плоскости перпендикулярны осям 2-го порядка, поэтому они должны быть записаны в том же положении, что и 2/м. Во-вторых, эти 2/м комплексы образуют центр инверсии, который в сочетании с осью 3-кратного вращения генерирует 3 ось ротоинверсии.

Группы с п = ∞ называются предельными группами или Группы Кюри.

Группы с несколькими осями более высокого порядка

Это кристаллографические группы кубическая кристаллическая система: 23, 432, 2/м3, 43м, и 4/м32/м. Все они содержат четыре диагональных оси 3-го порядка. Эти оси расположены как оси 3-го порядка в кубе, направленные по его четырем пространственным диагоналям (куб имеет 4/м32/м симметрия). Эти символы построены следующим образом:

Первая позиция - симметрично эквивалентные направления осей координат Икс, у, и z. Они эквивалентны за счет наличия диагональных осей 3-го порядка.
Вторая позиция - диагональ 3 или 3 топоры.
Третье положение - диагональные направления между любыми двумя из трех осей координат Икс, у, и z. Их может быть 2, м, или же 2/м.

Все представленные выше символы Германа – Могена называются полные символы. Для многих групп их можно упростить, опустив поси вращения в п/м позиции. Это можно сделать, если ось вращения может быть однозначно получена из комбинации элементов симметрии, представленных в символе. Например, короткий символ за 2/м2/м2/м является М-м-м, за 4/м2/м2/м является 4/ммм, и для 4/м32/м является м3м. В группах, содержащих одну ось более высокого порядка, эту ось более высокого порядка нельзя пропустить. Например, символы 4/м2/м2/м и 6/м2/м2/м можно упростить до 4 /М-м-м (или же 4/ммм) и 6 /М-м-м (или же 6/ммм), но не М-м-м; короткий символ для 32/м является 3м. Полный и короткий символы для всех 32 точечных кристаллографических групп приведены в кристаллографические точечные группы страница.

Помимо пяти кубических групп, есть еще две некристаллографические группы икосаэдров (я и я_час в Обозначение Шенфлиса ) и две группы пределов (K и K_час в Обозначение Шенфлиса ). Символы Германа – Могена не предназначались для некристаллографических групп, поэтому их символы довольно условны и основаны на сходстве с символами кристаллографических групп кубической кристаллической системы.^[2]^[3]^[4]^[5]^[6] Группа я может быть обозначен как 235, 25, 532, 53. Возможные короткие символы для я_час находятся м35, м5, м5м, 53м. Возможные символы для группы пределов K равны ∞∞ или 2∞, а для K_час находятся ∞/м∞ или м∞ или ∞∞м.

Группы самолетов

Группы самолетов можно изобразить с помощью системы Германа – Могена. Первая буква либо строчная п или же c представлять примитивный или центрированный элементарные ячейки. Следующее число - вращательная симметрия, как указано выше. Обозначается наличие зеркальных плоскостей. м, пока скользящие отражения обозначаются грамм.

Космические группы

Символ космическая группа определяется комбинацией заглавной буквы, описывающей решетчатый тип с символами, обозначающими элементы симметрии. Элементы симметрии упорядочены так же, как и в символе соответствующей точечной группы (группа, которая получается, если убрать все трансляционные компоненты из пространственной группы). Обозначения для элементов симметрии более разнообразны, поскольку, помимо осей вращения и зеркальных плоскостей, пространственная группа может содержать более сложные элементы симметрии - винтовые оси (сочетание вращения и перемещения) и плоскости скольжения (сочетание зеркального отражения и перемещения). В результате одной точечной группе может соответствовать множество различных пространственных групп. Например, выбирая различные типы решетки и плоскости скольжения, можно создать 28 различных пространственных групп из точечной группы. М-м-м, например Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd.

Типы решеток

Эти Решетка Браве типы в трех измерениях:

п - Примитивный
я - Тело центрировано (от немецкого "Innenzentriert")
F - По центру лица (от немецкого "Flächenzentriert")
А - База с центром только на гранях A
B - База по центру только грани B.
C - Основание только по центру C
р - ромбоэдрический


Примитивный, п	База по центру, C	По центру лица, F	По центру тела, я	Ромбоэдрический в шестиугольной оправе, р

Винтовые оси

В ось винта отмечается числом, п, где угол поворота 360°/п. Затем степень смещения добавляется в качестве индекса, показывающего, как далеко по оси находится смещение, как часть вектора параллельной решетки. Например, 2₁ это поворот на 180 ° (в два раза) с последующим переносом 1/2 вектора решетки. 3₁ представляет собой поворот на 120 ° (тройной) с последующим переносом 1/3 вектора решетки.

Возможные оси винта: 2₁, 3₁, 3₂, 4₁, 4₂, 4₃, 6₁, 6₂, 6₃, 6₄, и 6₅.Есть 4 энантиоморфные пары осей: (3₁ — 3₂), (4₁ — 4₃), (6₁ — 6₅) и (6₂ — 6₄). Этот энантиоморфизм приводит к 11 парам энантиоморфных пространственных групп, а именно

Кристаллическая система	Тетрагональный			Тригональный			Шестиугольный				Кубический
Первая группа Номер группы	P4₁ 76	P4₁22 91	P4₁2₁2 92	P3₁ 144	P3₁12 152	P3₁21 151	P6₁ 169	P6₂ 171	P6₁22 178	P6₂22 180	P4₁32 213
Вторая группа Номер группы	P4₃ 78	P4₃22 95	P4₃2₁2 96	P3₂ 145	P3₂12 154	P3₂21 153	P6₅ 170	P6₄ 172	P6₅22 179	P6₄22 181	P4₃32 212

Планирующие самолеты

Самолеты планирования отмечены а, б, или же c в зависимости от того, по какой оси идет скольжение. Также есть п скольжение - скольжение по половине диагонали лица, а d скольжение, которое проходит по четверти диагонали грани или пространства элементарной ячейки. В d скольжение часто называют алмазной плоскостью скольжения, так как это алмаз структура.

а, б, или же c скользящее перемещение вдоль половины вектора решетки этой грани.
п скользящий перевод вместе с диагональю половины лица.
d плоскости скольжения с перемещением по четверти диагонали лица.
е два скольжения с одинаковой плоскостью скольжения и трансляцией вдоль двух (разных) векторов полрешетки.

внешняя ссылка

Расшифровка нотации Германа-Магена - Введение в систему обозначений Германа-Магена для начинающих.

[1] Пески, Дональд Э. (1993). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр.165. ISBN 0-486-67839-3.

[2] [1]

[3] Зоркий, Петр. "Семейства точечных групп". www.chem.msu.su. В архиве из оригинала от 15.04.2012.

[4] Вайнштейн Борис К. Современная кристаллография 1. Основы кристаллов. Симметрия и методы структурной кристаллографии, Springer. 1994, стр.93.

[5] Группы точек в трех измерениях

[6] Шубников А.В., Белов Н.В. и др. Цветная симметрия. Оксфорд: Pergamon Press. 1964, стр.70.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]