Хиральность (математика) - Chirality (mathematics)

След здесь демонстрирует хиральность. Отдельные левые и правые следы хиральны. энантиоморфы в плоскости, потому что они являются зеркальными отражениями, но не содержат зеркальной симметрии по отдельности.

В геометрия, фигура хиральный (и сказал, что хиральность), если он не идентичен своему зеркальное изображение, или, точнее, если он не может быть отображен в его зеркальное отображение с помощью вращения и переводы один. Объект, который не является хиральным, называется ахиральный.

Хиральный объект и его зеркальное отображение называются энантиоморфы. Слово хиральность происходит от греческого χείρ (cheir) рука, наиболее знакомый хиральный объект; слово энантиоморф происходит от греческого ἐναντίος (enantios) 'противоположный' + μορφή (морфе) 'форма'.

Примеры

Слева и правила правой руки в трех измерениях

В тетромино S и Z - энантиоморфы в 2-х измерениях.
S	Z

Некоторые хиральные трехмерные объекты, такие как спираль, может быть назначен правый или левый руки, согласно правило правой руки.

Многие другие знакомые объекты демонстрируют ту же хиральную симметрию человеческого тела, как перчатки и обувь. Правая обувь отличается от левой только тем, что является зеркальным отображением друг друга. Напротив, тонкие перчатки нельзя считать хиральными, если вы можете их носить. наизнанку.^{[нужна цитата ]}

J, L, S и Z-образные тетромино популярной видеоигры Тетрис также проявляют хиральность, но только в двумерном пространстве. По отдельности они не содержат зеркальной симметрии в плоскости.

Группа хиральности и симметрии

Фигура ахиральна тогда и только тогда, когда ее группа симметрии содержит по крайней мере один изменение ориентации изометрия. (В евклидовой геометрии любое изометрия можно записать как ${ displaystyle v mapsto Av + b}$ с ортогональная матрица ${ displaystyle A}$ и вектор ${ displaystyle b}$ . В детерминант из ${ displaystyle A}$ тогда либо 1, либо −1. Если это -1, изометрия ориентация -реверсивный, иначе он сохраняет ориентацию.)

Видеть ^[1] для полного математического определения хиральности.

Хиральность в трех измерениях

Пара хиральных игральная кость (энантиоморфы)

В трех измерениях каждая фигура, имеющая зеркальная плоскость симметрии S₁, центр инверсии симметрии S₂, или выше неправильное вращение (вращательное отражение) S_п ось симметрии^[2] ахиральный. (А плоскость симметрии фигуры ${ displaystyle F}$ это самолет ${ displaystyle P}$ , так что ${ displaystyle F}$ инвариантно относительно отображения ${ Displaystyle (х, у, z) mapsto (х, у, -z)}$ , когда ${ displaystyle P}$ выбран, чтобы быть ${ displaystyle x}$ - ${ displaystyle y}$ -плоскость системы координат. А центр симметрии фигуры ${ displaystyle F}$ это точка ${ displaystyle C}$ , так что ${ displaystyle F}$ инвариантно относительно отображения ${ Displaystyle (х, у, z) mapsto (-x, -y, -z)}$ , когда ${ displaystyle C}$ выбирается в качестве начала системы координат.) Обратите внимание, однако, что есть ахиральные фигуры, у которых отсутствует как плоскость, так и центр симметрии. Примером может служить фигура

{ displaystyle F_ {0} = left {(1,0,0), (0,1,0), (- 1,0,0), (0, -1,0), (2,1 , 1), (- 1,2, -1), (- 2, -1,1), (1, -2, -1) right }}

который инвариантен относительно изометрии с изменением ориентации ${ Displaystyle (х, у, z) mapsto (-y, х, -z)}$ и, следовательно, ахиральный, но у него нет ни плоскости, ни центра симметрии. Фигура

{ displaystyle F_ {1} = left {(1,0,0), (- 1,0,0), (0,2,0), (0, -2,0), (1,1 , 1), (- 1, -1, -1) right }}

также является ахиральным, поскольку начало координат является центром симметрии, но в нем отсутствует плоскость симметрии.

Ахиральные фигуры могут иметь центральная ось.

Хиральность в двух измерениях

Цветные ожерелье в середине хиральный в двух измерениях, два других ахиральный.
Это означает, что в качестве физических ожерелий на столе левое и правое ожерелья можно было повернуть в их зеркальное отображение, оставаясь на столе. А вот ту, что посередине, нужно было поднять и повернуть в трех измерениях.

В двух измерениях каждая фигура, имеющая ось симметрии ахиральна, и можно показать, что каждый ограниченный ахиральная фигура должна иметь ось симметрии. (An ось симметрии фигуры ${ displaystyle F}$ это линия ${ displaystyle L}$ , так что ${ displaystyle F}$ инвариантно относительно отображения ${ Displaystyle (х, у) mapsto (х, -y)}$ , когда ${ displaystyle L}$ выбран, чтобы быть ${ displaystyle x}$ оси системы координат.) По этой причине треугольник ахирально, если это равносторонний или же равнобедренный, и хиральна, если она разносторонняя.

Рассмотрим следующий шаблон:

Эта фигура хиральна, так как не идентична своему зеркальному отображению:

Но если растянуть узор в обоих направлениях до бесконечности, получится (неограниченная) ахиральная фигура, у которой нет оси симметрии. Его группа симметрии - это группа фризов генерируется одним скользящее отражение.

Теория узлов

А морской узел называется ахиральный если его можно непрерывно деформировать до зеркального отображения, в противном случае он называется хиральный узел. Например, развязанный и узел восьмерка ахиральны, тогда как трилистник хиральный.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Флапан, Эрика (2000). Когда топология встречается с химией. Outlook. Издательство Кембриджского университета и математическая ассоциация Америки. ISBN 0-521-66254-0.

внешняя ссылка

Математическая теория киральности Мишель Петижан
Симметрия, хиральность, меры симметрии и меры хиральности: Общие определения
Хиральные многогранники к Эрик В. Вайсштейн, Демонстрационный проект Wolfram.
Киральное многообразие в Manifold Atlas.

[1] Петижан, М. (2017). "Хиральность в метрических пространствах. Памяти Мишеля Дезы". Письма об оптимизации. Дои:10.1007 / s11590-017-1189-7.

[2] «2. Операции симметрии и элементы симметрии». Chemwiki.ucdavis.edu. Получено 25 марта 2016.

[1]

[2]