Кристаллическая система - Crystal system

В кристаллическая структура алмаза принадлежит к центру лица кубическая решетка, с повторяющимся двухатомным узором.

В кристаллография, условия кристаллическая система, кристальная семья, и решетчатая система каждый относится к одному из нескольких классов космические группы, решетки, точечные группы, или же кристаллы. Неформально, два кристалла находятся в одной и той же кристаллической системе, если они имеют одинаковую симметрию, хотя из этого есть много исключений.

Кристаллические системы, семейства кристаллов и системы решеток похожи, но немного отличаются друг от друга, и между ними существует широко распространенная путаница: в частности, тригональная кристаллическая система часто путают с ромбоэдрическая решетчатая система, а термин «кристаллическая система» иногда используется для обозначения «решетчатой системы» или «кристаллического семейства».

Пространственные группы и кристаллы делятся на семь кристаллических систем в соответствии с их точечными группами и на семь систем решеток в соответствии с их Решетки Браве. Пять из кристаллических систем по существу такие же, как пять из систем решеток, но гексагональные и тригональные кристаллические системы отличаются от гексагональных и ромбоэдрических систем решетки. Шесть семейств кристаллов образуются путем объединения гексагональной и тригональной кристаллических систем в одну. шестиугольная семья, чтобы устранить эту путаницу.

Обзор

Шестиугольный ханкит кристалл, с тройным c-осевая симметрия

А решетчатая система является классом решеток с тем же набором решеток точечные группы, которые являются подгруппами группы арифметические классы кристаллов. 14 Решетки Браве сгруппированы в семь систем решеток: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, ромбоэдрическую, гексагональную и кубическую.

В кристаллическая система, набор точечных групп и соответствующие им пространственные группы назначаются решеточной системе. Из 32 точечных групп, которые существуют в трех измерениях, большинство относятся только к одной системе решетки, и в этом случае и кристаллическая, и решеточная системы имеют одно и то же имя. Однако пять точечных групп приписываются двум системам решеток, ромбоэдрической и гексагональной, поскольку обе обладают тройной вращательной симметрией. Эти точечные группы относятся к тригональной кристаллической системе. Всего существует семь кристаллических систем: триклинная, моноклинная, орторомбическая, тетрагональная, тригональная, гексагональная и кубическая.

А кристальная семья определяется решетками и точечными группами. Он образуется путем объединения кристаллических систем, пространственные группы которых приписаны к общей решеточной системе. В трех измерениях кристаллические семейства и системы идентичны, за исключением гексагональной и тригональной кристаллических систем, которые объединены в одно гексагональное кристаллическое семейство. Всего существует шесть семейств кристаллов: триклинные, моноклинные, орторомбические, тетрагональные, гексагональные и кубические.

Пространства с менее чем тремя измерениями имеют одинаковое количество кристаллических систем, семейств кристаллов и систем решеток. В одномерном пространстве есть одна кристаллическая система. В 2D-пространстве существует четыре кристаллических системы: наклонная, прямоугольная, квадратная и шестиугольная.

Связь между трехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и системами решеток показана в следующей таблице:

Хрустальная семья (6)	Кристаллическая система (7)	Требуемые симметрии точечной группы	Группы точек	Космические группы	Решетки Браве	Решетчатая система
Триклиник		Никто	2	2	1	Триклиник
Моноклиника		1 двойная ось вращения или 1 зеркальная плоскость	3	13	2	моноклинический
Орторомбический		3 двойные оси вращения или 1 двойная ось вращения и 2 зеркальные плоскости	3	59	4	Орторомбический
Тетрагональный		1 четырехкратная ось вращения	7	68	2	Тетрагональный
Шестиугольный	Тригональный	1 тройная ось вращения	5	7	1	Ромбоэдрический
	Тригональный	1 тройная ось вращения	5	18	1	Шестиугольный
	Шестиугольный	1 шестикратная ось вращения	7	27	1	Шестиугольный
Кубический		3 четырехступенчатые оси вращения	5	36	3	Кубический
6	7	Общий	32	230	14	7

Примечание: не существует «тригональной» решеточной системы. Чтобы избежать путаницы в терминологии, термин «тригональная решетка» не используется.

Кристалл классы

7 кристаллических систем состоят из 32 кристаллических классов (соответствующих 32 кристаллографическим точечным группам), как показано в следующей таблице:

Кристальная семья	Кристаллическая система	Группа точек / Класс кристалла	Schönflies	Герман-Моген	Орбифолд	Coxeter	Точечная симметрия	Заказ	Абстрактная группа
триклинический		педальный	C₁	1	11	[ ]⁺	энантиоморфный полярный	1	банальный ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$
триклинический		пинакоидальный	C_я (S₂)	1	1x	[2,1⁺]	центросимметричный	2	циклический ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$
моноклинический		клиновидный	C₂	2	22	[2,2]⁺	энантиоморфный полярный	2	циклический ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$
		домический	C_s (C_{1 час})	м	*11	[ ]	полярный	2	циклический ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$
		призматический	C_2ч	2 / м	2*	[2,2⁺]	центросимметричный	4	Кляйн четыре ${ Displaystyle mathbb {V} = mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2}}$
ромбический		ромбико-дисфеноидальный	D₂ (V)	222	222	[2,2]⁺	энантиоморфный	4	Кляйн четыре ${ Displaystyle mathbb {V} = mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2}}$
		ромбическийпирамидальный	C_2v	мм2	*22	[2]	полярный	4	Кляйн четыре ${ Displaystyle mathbb {V} = mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2}}$
		ромбическийдипирамидальный	D_2ч (V_час)	М-м-м	*222	[2,2]	центросимметричный	8	${ Displaystyle mathbb {V} times mathbb {Z} _ {2}}$
четырехугольный		тетрагонально-пирамидальный	C₄	4	44	[4]⁺	энантиоморфный полярный	4	циклический ${ displaystyle mathbb {Z} _ {4}}$
		тетрагонально-дисфеноидальный	S₄	4	2x	[2⁺,2]	нецентросимметричный	4	циклический ${ displaystyle mathbb {Z} _ {4}}$
		тетрагонально-дипирамидальный	C_4ч	4 / м	4*	[2,4⁺]	центросимметричный	8	${ Displaystyle mathbb {Z} _ {4} times mathbb {Z} _ {2}}$
		тетрагонально-трапециевидный	D₄	422	422	[2,4]⁺	энантиоморфный	8	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {8} = mathbb {Z} _ {4} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
		дитетрагонально-пирамидальный	C_4в	4мм	*44	[4]	полярный	8	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {8} = mathbb {Z} _ {4} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
		тетрагонально-чешуйчатый	D_2d (V_d)	42 м или 4m2	2*2	[2⁺,4]	нецентросимметричный	8	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {8} = mathbb {Z} _ {4} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
		дитетрагонально-дипирамидальный	D_4ч	4 / ммм	*422	[2,4]	центросимметричный	16	${ Displaystyle mathbb {D} _ {8} times mathbb {Z} _ {2}}$
шестиугольник	тригональный	тригонально-пирамидальный	C₃	3	33	[3]⁺	энантиоморфный полярный	3	циклический ${ displaystyle mathbb {Z} _ {3}}$
		ромбоэдрический	C_3i (S₆)	3	3x	[2⁺,3⁺]	центросимметричный	6	циклический ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {6} = mathbb {Z} _ {3} times mathbb {Z} _ {2}}$
		треугольно-трапециевидный	D₃	32 или 321 или 312	322	[3,2]⁺	энантиоморфный	6	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {6} = mathbb {Z} _ {3} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
		дитригонально-пирамидальный	C_3в	3м или 3м1 или 31м	*33	[3]	полярный	6	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {6} = mathbb {Z} _ {3} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
		дитригонально-чешуйчатый	D_3D	3м или 3m1 или 31 мес.	2*3	[2⁺,6]	центросимметричный	12	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {12} = mathbb {Z} _ {6} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
	шестиугольник	гексагонально-пирамидальный	C₆	6	66	[6]⁺	энантиоморфный полярный	6	циклический ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {6} = mathbb {Z} _ {3} times mathbb {Z} _ {2}}$
		тригонально-дипирамидальный	C_3ч	6	3*	[2,3⁺]	нецентросимметричный	6	циклический ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {6} = mathbb {Z} _ {3} times mathbb {Z} _ {2}}$
		гексагонально-дипирамидальный	C_6ч	6 / м	6*	[2,6⁺]	центросимметричный	12	${ Displaystyle mathbb {Z} _ {6} times mathbb {Z} _ {2}}$
		гексагонально-трапециевидный	D₆	622	622	[2,6]⁺	энантиоморфный	12	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {12} = mathbb {Z} _ {6} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
		дигексагонально-пирамидальный	C_6v	6мм	*66	[6]	полярный	12	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {12} = mathbb {Z} _ {6} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
		дитригонально-дипирамидальный	D_3ч	6m2 или 62м	*322	[2,3]	нецентросимметричный	12	двугранный ${ Displaystyle mathbb {D} _ {12} = mathbb {Z} _ {6} rtimes mathbb {Z} _ {2}}$
		дигексагонально-дипирамидальный	D_6ч	6 / ммм	*622	[2,6]	центросимметричный	24	${ Displaystyle mathbb {D} _ {12} times mathbb {Z} _ {2}}$
кубический		тетартоидный	Т	23	332	[3,3]⁺	энантиоморфный	12	чередование ${ displaystyle mathbb {A} _ {4}}$
		диплоидный	Т_час	м3	3*2	[3⁺,4]	центросимметричный	24	${ Displaystyle mathbb {A} _ {4} times mathbb {Z} _ {2}}$
		гироидный	О	432	432	[4,3]⁺	энантиоморфный	24	симметричный ${ displaystyle mathbb {S} _ {4}}$
		шестигранник	Т_d	43м	*332	[3,3]	нецентросимметричный	24	симметричный ${ displaystyle mathbb {S} _ {4}}$
		гексоктаэдрический	О_час	м3м	*432	[4,3]	центросимметричный	48	${ Displaystyle mathbb {S} _ {4} times mathbb {Z} _ {2}}$

Точечную симметрию конструкции можно далее описать следующим образом. Рассмотрим точки, составляющие структуру, и отразим их все через одну точку, чтобы (Икс,у,z) становится (-Икс,−у,−z). Это «перевернутая структура». Если исходная структура и перевернутая структура идентичны, то структура центросимметричный. В противном случае это нецентросимметричный. Тем не менее, даже в нецентросимметричном случае перевернутая структура в некоторых случаях может быть повернута для выравнивания с исходной структурой. Это нецентросимметричный ахиральный структура. Если перевернутая структура не может быть повернута, чтобы выровняться с исходной структурой, тогда структура хиральный или же энантиоморфный и его группа симметрии энантиоморфный.^[1]

Направление (имеется в виду линия без стрелки) называется полярный если два его направления чувств геометрически или физически различны. Направление симметрии кристалла, которое является полярным, называется полярная ось.^[2] Группы, содержащие полярную ось, называются полярный. Полярный кристалл обладает уникальной полярной осью (точнее, все полярные оси параллельны). Некоторые геометрические или физические свойства различаются на двух концах этой оси: например, может развиться диэлектрическая поляризация как в пироэлектрические кристаллы. Полярная ось может встречаться только в нецентросимметричных структурах. Не может быть зеркальной плоскости или двойной оси, перпендикулярной полярной оси, потому что они сделали бы два направления оси эквивалентными.

В кристаллические структуры хиральных биологических молекул (таких как белок структур) может встречаться только в 65 энантиоморфный пространственные группы (биологические молекулы обычно хиральный ).

Решетки Браве

Существует семь различных типов кристаллических систем, и каждый вид кристаллической системы имеет четыре различных типа центрирования (примитивный, центрированный по основанию, центрированный по телу, центрированный по лицу). Однако не все комбинации уникальны; некоторые комбинации эквивалентны, в то время как другие комбинации невозможны по причинам симметрии. Это сокращает количество уникальных решеток до 14 решеток Браве.

Распределение 14 решеток Браве по системам решеток и семействам кристаллов представлено в следующей таблице.

Кристальная семья	Решетчатая система	Schönflies	14 решеток Браве
Кристальная семья	Решетчатая система	Schönflies	Примитивный	По центру основания	По центру тела	По центру лица
триклинический		C_я
моноклинический		C_2ч
ромбический		D_2ч
четырехугольный		D_4ч
шестиугольник	ромбоэдрический	D_3D
шестиугольник	шестиугольник	D_6ч
кубический		О_час

В геометрия и кристаллография, а Решетка Браве это категория переводчик группы симметрии (также известный как решетки ) в трех направлениях.

Такие группы симметрии состоят из трансляций на векторы вида

р = п₁а₁ + п₂а₂ + п₃а₃,

куда п₁, п₂, и п₃ находятся целые числа и а₁, а₂, и а₃ - три некопланарных вектора, называемые примитивные векторы.

Эти решетки классифицируются по космическая группа самой решетки, рассматриваемой как набор точек; 14 решеток Браве в трех измерениях; каждый принадлежит только одной решетчатой системе. Они^{[требуется разъяснение ]} представляют максимальную симметрию, которую может иметь структура с данной трансляционной симметрией.

Все кристаллические материалы (не включая квазикристаллы ) должен по определению вписываться в одну из этих схем.

Для удобства решетка Браве изображается элементарной ячейкой, которая в 1, 2, 3 или 4 раза больше, чем примитивная клетка. В зависимости от симметрии кристалла или другого рисунка фундаментальная область снова меньше, вплоть до 48 раз.

Решетки Браве изучались Мориц Людвиг Франкенхайм в 1842 году, который обнаружил, что существует 15 решеток Браве. Это было исправлено до 14 А. Браве в 1848 г.

В четырехмерном пространстве

‌ Четырехмерная элементарная ячейка определяется четырьмя длинами ребер (а, б, c, d) и шести межосевых углов (α, β, γ, δ, ε, ζ). Следующие условия на параметры решетки определяют 23 семейства кристаллов

Кристаллические семьи в 4D пространстве
Нет.	Семья	Длина кромки	Межосевые углы
1	Гексаклиника	а ≠ б ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°
2	Триклиник	а ≠ б ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ 90° δ = ε = ζ = 90°
3	Диклиника	а ≠ б ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ ≠ 90°
4	Моноклиника	а ≠ б ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5	Ортогональный	а ≠ б ≠ c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6	Тетрагональная моноклиника	а ≠ б = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7	Шестиугольная моноклиника	а ≠ б = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
8	Дитетрагональная диклиника	а = d ≠ б = c	α = ζ = 90° β = ε ≠ 90° γ ≠ 90° δ = 180° − γ
9	Дитригональная (дигексагональная) диклиника	а = d ≠ б = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ ≠ δ ≠ 90° потому что δ = cos β - cos γ
10	Тетрагональный ортогональный	а ≠ б = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11	Гексагональный ортогональный	а ≠ б = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°
12	Дитетрагональная моноклиника	а = d ≠ б = c	α = γ = δ = ζ = 90° β = ε ≠ 90°
13	Дитригональная (бигексагональная) моноклиническая	а = d ≠ б = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ = δ ≠ 90° потому что γ = −1/2потому что β
14	Дитетрагональный ортогональный	а = d ≠ б = c	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15	Гексагональный четырехугольный	а = d ≠ б = c	α = β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
16	Бигексагональный ортогональный	а = d ≠ б = c	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
17	Кубический ортогональный	а = б = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18	Восьмиугольный	а = б = c = d	α = γ = ζ ≠ 90° β = ε = 90° δ = 180° − α
19	Десятиугольный	а = б = c = d	α = γ = ζ ≠ β = δ = ε потому что β = −1/2 - cos α
20	Додекагональный	а = б = c = d	α = ζ = 90° β = ε = 120° γ = δ ≠ 90°
21	Диизогексагональные ортогональные	а = б = c = d	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
22	Икосагональ (икосаэдр)	а = б = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ потому что α = −1/4
23	Гиперкубический	а = б = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

Имена здесь даны по Уиттекеру.^[3] Они почти такие же, как у Брауна и другие,^[4] за исключением названий семейств кристаллов 9, 13 и 22. Названия этих трех семейств по Брауну и другие даны в скобках.

Связь между четырехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и системами решеток показана в следующей таблице.^[3]^[4] Энантиоморфные системы отмечены звездочкой. В скобках указано количество энантиоморфных пар. Здесь термин «энантиоморфный» имеет другое значение, чем в таблице для классов трехмерных кристаллов. Последнее означает, что энантиоморфные точечные группы описывают киральные (энантиоморфные) структуры. В текущей таблице «энантиоморфная» означает, что сама группа (рассматриваемая как геометрический объект) является энантиоморфной, как энантиоморфные пары трехмерных пространственных групп P3.₁ и P3₂, P4₁22 и P4₃22. Исходя из четырехмерного пространства, точечные группы также могут быть энантиоморфными в этом смысле.

Кристаллические системы в 4D пространстве
№ кристальная семья	Кристальная семья	Кристаллическая система	№ кристаллическая система	Группы точек	Космические группы	Решетки Браве	Решетчатая система
я	Гексаклиника		1	2	2	1	Гексаклиника П
II	Триклиник		2	3	13	2	Триклиник P, S
III	Диклиника		3	2	12	3	Диклиника P, S, D
IV	Моноклиника		4	4	207	6	Моноклиника P, S, S, I, D, F
V	Ортогональный	Неосевой ортогональный	5	2	2	1	Ортогональные КУ
		Неосевой ортогональный	5	2	112	8	Ортогональные P, S, I, Z, D, F, G, U
		Осевой ортогональный	6	3	887	8	Ортогональные P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	Тетрагональная моноклиника		7	7	88	2	Тетрагональная моноклинная P, I
VII	Шестиугольная моноклиника	Тригональная моноклиника	8	5	9	1	Гексагональная моноклинная R
		Тригональная моноклиника	8	5	15	1	Гексагональная моноклинная P
		Шестиугольная моноклиника	9	7	25	1	Гексагональная моноклинная P
VIII	Дитетрагональная диклиника *		10	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Дитетрагональная диклиника P *
IX	Дитригональная диклиника *		11	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Дитригональная диклиника P *
Икс	Тетрагональный ортогональный	Обратный тетрагональный ортогональный	12	5	7	1	Тетрагональный ортогональный КГ
		Обратный тетрагональный ортогональный	12	5	351	5	Тетрагональные ортогональные P, S, I, Z, G
		Правильный тетрагональный ортогональный	13	10	1312	5	Тетрагональные ортогональные P, S, I, Z, G
XI	Гексагональный ортогональный	Тригональный ортогональный	14	10	81	2	Гексагональный ортогональный R, RS
		Тригональный ортогональный	14	10	150	2	Гексагональный ортогональный P, S
		Гексагональный ортогональный	15	12	240	2	Гексагональный ортогональный P, S
XII	Дитетрагональная моноклиника *		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Дитетрагональная моноклинная P , S , D *
XIII	Дитригональная моноклиника *		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Дитригональный моноклинический P , RR
XIV	Дитетрагональный ортогональный	Крипто-дитетрагональный ортогональный	18	5	10	1	Дитетрагональный ортогональный D
		Крипто-дитетрагональный ортогональный	18	5	165 (+2)	2	Дитетрагональные ортогональные P, Z
		Дитетрагональный ортогональный	19	6	127	2	Дитетрагональные ортогональные P, Z
XV	Гексагональный четырехугольный		20	22	108	1	Гексагональный тетрагональный P
XVI	Бигексагональный ортогональный	Крипто-дитригональный ортогональный *	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Бигексагональный ортогональный G *
		Крипто-дитригональный ортогональный *	21	4 (+4)	5 (+5)	1	Бигексагональный ортогональный P
		Дигексагональный ортогональный	23	11	20
		Дитригональный ортогональный	22	11	41
		Дитригональный ортогональный	22	11	16	1	Дигексагональный ортогональный RR
XVII	Кубический ортогональный	Простая кубическая ортогональная	24	5	9	1	Кубический ортогональный KU
		Простая кубическая ортогональная	24	5	96	5	Кубические ортогональные P, I, Z, F, U
		Комплексная кубическая ортогональная	25	11	366	5	Кубические ортогональные P, I, Z, F, U
XVIII	Восьмиугольный *		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Восьмиугольная P *
XIX	Десятиугольный		27	4	5	1	Десятиугольная P
XX	Додекагональный *		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Додекагональная P *
XXI	Диизогексагональные ортогональные	Простые диизогексагональные ортогональные	29	9 (+2)	19 (+5)	1	Диизогексагональный ортогональный RR
		Простые диизогексагональные ортогональные	29	9 (+2)	19 (+3)	1	Диизогексагональный ортогональный P
		Комплексные диизогексагональные ортогональные	30	13 (+8)	15 (+9)	1	Диизогексагональный ортогональный P
XXII	Икосагональный		31	7	20	2	Икосагональ P, SN
XXIII	Гиперкубический	Восьмиугольный гиперкубический	32	21 (+8)	73 (+15)	1	Гиперкубический P
		Восьмиугольный гиперкубический	32	21 (+8)	107 (+28)	1	Гиперкубическая Z
		Додекагональная гиперкубическая	33	16 (+12)	25 (+20)	1	Гиперкубическая Z
Общий	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

Смотрите также

Кристаллический кластер - Группа кристаллов, образованных в открытом пространстве, форма которых определяется их внутренней кристаллической структурой.
Кристальная структура - Упорядоченное расположение атомов, ионов или молекул в кристаллическом материале
Список космических групп
Группа полярных точек

внешняя ссылка

[1] Флэк, Ховард Д. (2003). «Хиральные и ахиральные кристаллические структуры». Helvetica Chimica Acta. 86 (4): 905–921. CiteSeerX 10.1.1.537.266. Дои:10.1002 / hlca.200390109.

[2] Хан (2002), п. 804

[Whittaker-3] а ^б Уиттакер, Э. Дж. У. (1985). Атлас гиперстереограмм четырехмерных классов кристаллов. Оксфорд и Нью-Йорк: Clarendon Press.

[Brown-4] а ^б Brown, H .; Bülow, R .; Neubüser, J .; Wondratschek, H .; Цассенхаус, Х. (1978). Кристаллографические группы четырехмерного пространства.. Нью-Йорк: Вили.

[1]

[2]

[3]

[4]