Вращательная симметрия - Rotational symmetry

В трискелион появляясь на Флаг острова Мэн обладает осевой симметрией, потому что выглядит так же, когда вращается на одну треть полного оборота вокруг своего центра. Поскольку его внешний вид идентичен в трех различных ориентациях, его вращательная симметрия тройная.

Вращательная симметрия, также известен как радиальная симметрия в биологии - это свойство формы, когда она выглядит так же после некоторого поворота на частичный поворот. Степень вращательной симметрии объекта - это количество различных ориентаций, при которых он выглядит одинаково при каждом повороте.

Формальное лечение

Формально вращательная симметрия симметрия в отношении некоторых или всех вращения в м-размерный Евклидово пространство. Вращения прямые изометрии, т.е. изометрии сохранение ориентация. Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой E⁺(м) (увидеть Евклидова группа ).

Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает поступательная симметрия относительно всех переносов, поэтому пространство однородно, а группа симметрии - это все E(м). С модифицированное понятие симметрии векторных полей группа симметрии также может быть E⁺(м).

Для симметрии относительно вращений вокруг точки мы можем принять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют особую ортогональная группа ТАК(м), группа м×м ортогональные матрицы с определителем 1. Для $м = 3$ это группа вращения SO (3).

В другом определении слова группа вращения объекта группа симметрии внутри E⁺(п), группа прямых изометрий ; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для хиральный объекты это то же самое, что и полная группа симметрии.

Законы физики SO (3) -инвариантны если они не различают разные направления в пространстве. Потому что Теорема Нётер, вращательная симметрия физической системы эквивалентна угловой момент закон сохранения.

Дискретная вращательная симметрия

Вращательная симметрия порядкап, также называется п-кратная вращательная симметрия, или дискретная вращательная симметрия пй заказ, относительно конкретной точки (в 2D) или оси (в 3D) означает, что поворот на угол 360 ° / n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51³⁄₇° и др.) Не меняет объект. «Односторонняя» симметрия - это не симметрия (все объекты выглядят одинаково после поворота на 360 °).

В обозначение для п-кратная симметрия C_п или просто "п". Настоящий группа симметрии указывается точкой или осью симметрии вместе с п. Для каждой точки или оси симметрии тип абстрактной группы циклическая группа порядкап, Z_п. Хотя для последнего также обозначение C_п используются геометрические и абстрактные C_п Следует различать: существуют другие группы симметрии того же абстрактного типа группы, которые геометрически различны, см. циклические группы симметрии в 3D.

В фундаментальная область это сектор 360 ° / п.

Примеры без дополнительных симметрия отражения:

п = 2, 180 °: диада; буквы Z, N, S; очертания, хотя и не цвета, Инь и Янь символ; то Союз Флаг (разделенные по диагонали флага и повернутые вокруг центральной точки флага)
п = 3, 120°: триада, трискелион, Кольца Борромео; иногда термин трехсторонняя симметрия используется;
п = 4, 90°: тетрада, свастика
п = 6, 60°: гексад, Звезда Давида
п = 8, 45°: октада, Восьмиугольная Мукарнас, компьютерная (CG), потолочная

C_п группа вращения регулярного п-сторонний многоугольник в 2D и обычном п-сторонний пирамида в 3D.

Если есть, например, вращательная симметрия относительно угла 100 °, затем также относительно угла 20 °, наибольший общий делитель 100 ° и 360 °.

Типичный трехмерный объект с вращательной симметрией (возможно, также с перпендикулярными осями), но без зеркальной симметрии, является пропеллер.

Примеры

C2 (Больше )	C3 (Больше )	C4 (Больше )	C5 (Больше )	C6 (Больше )
Двойной маятник фрактал	Карусель дорожный знак		Двухсотлетие США Звезда	Круги на полях в перспективе
Исходное положение в сёги	Снолделев камень заблокирован рога для питья дизайн

Несколько осей симметрии через одну и ту же точку

Для дискретная симметрия с несколькими осями симметрии, проходящими через одну точку, возможны следующие варианты:

В дополнение к пось складывания, п перпендикулярные оси 2-го порядка: диэдральные группы D_п порядка 2п ( $п \geq 2$ ). Это группа вращения регулярного призма, или обычный бипирамида. Хотя используются те же обозначения, геометрические и абстрактные D_п Следует различать: существуют другие группы симметрии того же абстрактного типа группы, которые геометрически различны, см. группы диэдральной симметрии в 3D.
4 × 3-кратные и 3 × 2-кратные оси: группа вращения Т порядка 12 регулярного тетраэдр. Группа изоморфный к переменная группа А₄.
3 × 4-кратные, 4 × 3-кратные и 6 × 2-кратные оси: группа вращенияО порядка 24 куб и регулярный октаэдр. Группа изоморфна симметричная группа S₄.
6 × 5-кратные, 10 × 3-кратные и 15 × 2-кратные оси: группа вращенияя порядка 60 г. додекаэдр и икосаэдр. Группа изоморфна знакопеременной группеА₅. В группе 10 версий D₃ и 6 версий D₅ (вращательные симметрии, такие как призмы и антипризмы).

В случае Платоновы тела, 2-кратные оси проходят через середины противоположных краев, и их количество составляет половину числа ребер. Другие оси проходят через противоположные вершины и центры противоположных граней, за исключением случая тетраэдра, где каждая из трех осей проходит через одну вершину и центр одной грани.

Вращательная симметрия относительно любого угла

Вращательная симметрия относительно любого угла в двух измерениях круговая симметрия. Основная область - это полупрямая линия.

В трех измерениях мы можем различить цилиндрическая симметрия и сферическая симметрия (без изменений при вращении вокруг одной оси или при любом вращении). То есть нет зависимости от угла при использовании цилиндрические координаты и никакой зависимости ни от одного угла, используя сферические координаты. Основная область - это полуплоскость через ось и радиальную полупрямую соответственно. Осесимметричный или осесимметричный находятся прилагательные которые относятся к объекту, имеющему цилиндрическую симметрию, или осесимметрия (т.е. вращательная симметрия относительно центральной оси) как пончик (тор ). Примером приблизительной сферической симметрии является Земля (по плотности и другим физическим и химическим свойствам).

В 4D непрерывная или дискретная симметрия вращения относительно плоскости соответствует соответствующей двумерной симметрии вращения в каждой перпендикулярной плоскости относительно точки пересечения. Объект также может иметь симметрию вращения относительно двух перпендикулярных плоскостей, например если это Декартово произведение двух осесимметричных 2D-фигур, как, например, в случае то дуоцилиндр и различные регулярные дуопризма.

Вращательная симметрия с трансляционной симметрией

Расположение в примитивная клетка 2- и 4-х кратных ротоцентров. А фундаментальная область обозначается желтым цветом.	Расположение в примитивной ячейке 2-, 3- и 6-кратных ротоцентров, по отдельности или в комбинации (рассматривайте 6-кратный символ как комбинацию 2- и 3-кратного символа); только в случае 2-кратной симметрии форма параллелограмм может быть разным. В случае p6 основная область обозначена желтым цветом.

2-кратная вращательная симметрия вместе с одинарной поступательная симметрия один из Фриз-группы. Есть два ротоцентра на каждый примитивная клетка.

Наряду с двойной трансляционной симметрией группы вращений следующие: группы обоев, с осями на примитивную ячейку:

p2 (2222): 4 × 2 раза; группа вращения параллелограммный, прямоугольный, и ромбический решетка.
p3 (333): 3 × 3 раза; не группа вращения любой решетки (каждая решетка в перевернутом виде одинакова, но это не относится к этой симметрии); это например группа вращения правильная треугольная черепица с попеременно окрашенными равносторонними треугольниками.
p4 (442): 2х4 раза, 2х2 раза; группа вращения квадрат решетка.
p6 (632): 1 × 6, 2 × 3, 3 × 2; группа вращения шестиугольник решетка.
2-кратные ротоцентры (включая возможные 4-кратные и 6-кратные), если они вообще присутствуют, образуют транслят решетки, равный трансляционной решетке, масштабированной в 1/2 раза. В случае трансляционной симметрии в одном измерении применяется аналогичное свойство, хотя термин «решетка» не применяется.
3-кратные ротоцентры (включая возможные 6-кратные), если они вообще есть, образуют правильную гексагональную решетку, равную поступательной решетке, повернутую на 30 ° (или эквивалентно 90 °) и масштабируемую с коэффициентом ${ displaystyle { frac {1} {3}} { sqrt {3}}}$
4-кратные ротоцентры, если они вообще есть, образуют правильную квадратную решетку, равную трансляционной решетке, повернутую на 45 ° и масштабируемую в раз. ${ displaystyle { frac {1} {2}} { sqrt {2}}}$
6-кратные ротоцентры, если они вообще присутствуют, образуют правильную гексагональную решетку, которая является трансляцией поступательной решетки.

При масштабировании решетки количество точек на единицу площади делится на квадрат масштабного коэффициента. Следовательно, количество 2-, 3-, 4- и 6-кратных ротоцентров на одну примитивную ячейку равно 4, 3, 2 и 1, соответственно, снова включая 4-кратный как частный случай 2-кратного и т. Д.

Трехкратная симметрия вращения в одной точке и двукратная в другой (или то же самое в 3D по отношению к параллельным осям) подразумевает группу вращения p6, то есть двойную трансляционную симметрию и шестикратную поворотную симметрию в некоторой точке (или, в 3D, параллельная ось). Расстояние перевода для симметрии, создаваемой одной такой парой ротоцентров, равно ${ displaystyle 2 { sqrt {3}}}$ раз их расстояние.

Евклидова плоскость	Гиперболическая плоскость
Треугольная черепица Hexakis, пример p6, [6,3]⁺, (632) (с цветами) и p6m, [6,3], (* 632) (без цветов); линии являются осями отражения, если цвета игнорируются, и осью симметрии особого вида, если цвета не игнорируются: отражение меняет цвета. Можно выделить прямоугольные линейные сетки в трех ориентациях.	Заказать 3-7 кисромбиль, пример [7,3]⁺ (732) симметрия и [7,3], (* 732) (без цветов)

Смотрите также

использованная литература

Вейль, Германн (1982) [1952]. Симметрия. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.

внешние ссылки

СМИ, связанные с Вращательная симметрия по порядку в Wikimedia Commons
Примеры вращательной симметрии от Математика - это весело