Апейрогон - Apeirogon

Обычный апейрогон
Обычный apeirogon.png
Края и вершины∞
Символ Шлефли{∞}
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
Внутренний угол (градусы )180°
Двойной многоугольникСамодвойственный
Апейрогон можно определить как разделение евклидовой прямой на бесконечное количество отрезков равной длины.

В геометрия, апейрогон (от Греческий слова "ἄπειρος" апейрос: "бесконечный, безграничный" и "γωνία" гония: "угол") или бесконечный многоугольник является обобщенным многоугольник с счетно бесконечный количество сторон. Апейрогоны - это двумерный случай бесконечные многогранники.

В некоторой литературе термин «апейрогон» может относиться только к обычный апейрогон, с бесконечная диэдральная группа из симметрии.[1]

Определения

Классическое конструктивное определение

Учитывая точку А0 в Евклидово пространство и перевод S, определите точку Ая быть точкой, полученной из я заявки на перевод S к А0, так Ая = Sя(А0). Множество вершин Ая с я любое целое число вместе с ребрами, соединяющими соседние вершины, представляет собой последовательность отрезков одинаковой длины линии и называется обычный апейрогон как определено Х. С. М. Коксетер.[1]

А обычный апейрогон можно определить как разбиение евклидовой прямой E1 на бесконечное множество отрезков одинаковой длины, обобщая регулярный п-угольник, который можно определить как разбиение круга S1 на конечное число отрезков одинаковой длины.[2]

Современное абстрактное определение

An абстрактный многогранник это частично заказанный набор п (элементы которого называются лица) со свойствами, моделирующими свойства включений граней выпуклые многогранники. В классифицировать (или размерность) абстрактного многогранника определяется длиной максимальных упорядоченных цепочек его граней, а абстрактный многогранник ранга п называется абстрактным п-полигон.[3]:22–25

Для абстрактных многогранников ранга 2 это означает, что: A) элементы частично упорядоченного множества являются наборами вершин с любой нулевой вершиной ( пустой набор ), одна вершина, две вершины (an край ) или все множество вершин (двумерная грань), упорядоченное по включению множеств; Б) каждая вершина принадлежит ровно двум ребрам; В) неориентированный граф образованный вершинами и ребрами соединен.[3]:22–25[4]:224

Абстрактный многогранник называется абстрактным. апейотоп если в нем бесконечно много элементов; абстрактный 2-апейротоп называется абстрактный апейрогон.[3]:25

В абстрактном многограннике флаг представляет собой совокупность одной грани каждого измерения, инцидентных друг другу (то есть сравнимых в частичном порядке); абстрактный многогранник называется обычный если он имеет симметрии (сохраняющие структуру перестановки его элементов), которые переводят любой флаг в любой другой флаг. В случае двумерного абстрактного многогранника это автоматически; симметрии апейрогона образуют бесконечная диэдральная группа.[3]:31

Псевдогон

В правильный псевдогон является разделом гиперболическая линия ЧАС1 (вместо евклидовой прямой} на отрезки длиной 2λ, как аналог правильного апейрогона.[2]

Реализации

Определение

А реализация абстрактного апейрогона определяется как отображение его вершин в конечномерное геометрическое пространство (обычно Евклидово пространство ) такое, что каждой симметрии абстрактного апейрогона соответствует изометрия изображений отображения.[3]:121[4]:225 Две реализации называются конгруэнтными, если естественная биекция между их наборами вершин индуцируется изометрией их объемлющих евклидовых пространств.[3]:126[4]:229 Классическое определение апейрогона как равноудаленного подразделения евклидовой линии является реализацией в этом смысле, как и выпуклое подмножество в гиперболическая плоскость сформированный выпуклый корпус равноотстоящих точек на орицикл. Другие реализации возможны в многомерных пространствах.

Симметрии реализации

Бесконечная диэдральная группа грамм симметрий реализации V абстрактного апейрогона п порождается двумя отражениями, произведение которых переводит каждую вершину п к следующему.[3]:140–141[4]:231 Произведение двух отражений может быть разложено как произведение ненулевого переноса, конечного числа вращений и, возможно, тривиального отражения.[3]:141[4]:231

Пространство модулей реализаций

Как правило, пространство модулей реализаций абстрактного многогранника есть выпуклый конус бесконечного измерения.[3]:127[4]:229–230 Конус реализации абстрактного апейрогона имеет бесчисленное множество алгебраическая размерность и не может быть закрыто в Евклидова топология.[3]:141[4]:232

Классификация евклидовых апейрогонов

Реализации двумерных абстрактных многогранников (включая многоугольники и апейрогоны) в Евклидовы пространства максимум трех измерений, можно разделить на шесть типов:

Абстрактные апейрогоны могут быть реализованы всеми этими способами, в некоторых случаях отображая бесконечно много различных вершин абстрактного апейрогона на конечное количество точек реализации. Апейрогон также допускает реализации звездного многоугольника и антипризматические реализации с недискретный множество бесконечно многих точек.

Гиперболический апейрогон

Пример апейрогональная мозаика гиперболической плоскости, визуализированной с помощью Модель диска Пуанкаре.

Обобщения

Высшее измерение

Основные статьи: Апейротоп и Апейроэдр

Апейроэдра являются 3-мерными аналогами апейрогонов и бесконечными аналогами многогранники.[6] В более общем смысле, п-апейотопы или бесконечный п-политопы п-мерные аналоги апейрогонов, и являются бесконечными аналогами п-многогранники.[3]:22–25

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Кокстер, Х. С. М. (1948). Правильные многогранники. Лондон: Methuen & Co. Ltd., стр. 45.
  2. ^ а б Джонсон, Норман В. (2018). «11: Конечные группы симметрии». Геометрии и преобразования. Издательство Кембриджского университета. п. 226.
  3. ^ а б c d е ж грамм час я j k Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.). Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-81496-0.
  4. ^ а б c d е ж грамм Макмаллен, Питер (1994), "Реализации регулярных апейотопов", Aequationes Mathematicae, 47 (2–3): 223–239, Дои:10.1007 / BF01832961, МИСТЕР  1268033
  5. ^ Грюнбаум, Б. (1977). «Правильные многогранники - старые и новые». Aequationes Mathematicae. 16 (1–2): 119. Дои:10.1007 / BF01836414.
  6. ^ Кокстер, Х. С. М. (1937). "Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях". Proc. Лондонская математика. Soc. 43: 33–62.

внешняя ссылка