Тангенциальный многоугольник - Tangential polygon

Тангенциальная трапеция

В Евклидова геометрия, а касательный многоугольник, также известный как описанный многоугольник, это выпуклый многоугольник который содержит вписанный круг (также называемый окружать). Это круг, который касательная к каждой из сторон многоугольника. В двойной многоугольник касательного многоугольника является циклический многоугольник, который имеет описанный круг проходя через каждый из своих вершины.

Все треугольники касательные, как и все правильные многоугольники с любым количеством сторон. Хорошо изученной группой касательных многоугольников являются касательные четырехугольники, которые включают ромбовидные и воздушные змеи.

Характеристики

В выпуклом многоугольнике вписана окружность если и только если все его внутренние биссектриса угла находятся одновременный. Эта общая точка - стимулятор (центр вписанной окружности).^[1]

Существует касательный многоугольник п последовательные стороны а₁, ..., а_п если и только если система уравнений

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

есть решение (Икс₁, ..., Икс_п) в положительном реалы.^[2] Если такое решение существует, то Икс₁, ..., Икс_п являются касательные длины многоугольника (длины от вершины к точкам вписанной окружности касательная в стороны).

Уникальность и неединственность

Если количество сторон п нечетно, то для любого заданного набора сторон ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ удовлетворяющий указанному выше критерию существования, существует только один касательный многоугольник. Но если п есть даже их бесконечное количество.^{[3]:п. 389} Например, в случае четырехугольника, когда все стороны равны, мы можем иметь ромб с любым значением острых углов, и все ромбы касаются вписанной окружности.

Inradius

Если п стороны касательного многоугольника равны а₁, ..., а_п, внутренний радиус (радиус вписанной окружности)^[4]

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$

куда K это площадь многоугольника и s это полупериметр. (Поскольку все треугольники касательные, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другие свойства

• Для тангенциального многоугольника с нечетным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда все углы равны (так что многоугольник правильный). У тангенциального многоугольника с четным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда альтернативные углы равны (то есть углы А, C, E, ... равны, а углы B, D, F, ... равны).^[5]
• В касательном многоугольнике с четным числом сторон сумма длин сторон с нечетными номерами равна сумме длин сторон с четными номерами.^[2]
• Тангенциальный многоугольник имеет большую площадь, чем любой другой многоугольник с таким же периметром и такими же внутренними углами в той же последовательности.^{[6]:п. 862[7]}
• В центроид любого касательного многоугольника, центр тяжести его граничных точек и центр вписанной окружности равны коллинеарен, с центром тяжести многоугольника между остальными и вдвое дальше от центра тяжести, чем от центроида границы.^{[6]:стр. 858–9}

Тангенциальный треугольник

Хотя все треугольники касаются некоторой окружности, треугольник называется тангенциальный треугольник контрольного треугольника, если касания касательного треугольника с окружностью также являются вершинами контрольного треугольника.

Тангенциальный четырехугольник

Основная статья: Тангенциальный четырехугольник

Тангенциальный шестиугольник

Параллельные главные диагонали

• По касательной шестиугольник ABCDEF, главный диагонали ОБЪЯВЛЕНИЕ, БЫТЬ, и CF находятся одновременный в соответствии с Теорема Брианшона.

Смотрите также

• Circumgon

Рекомендации

1. Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдре Смелцер, Методы евклидовой геометрии, Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 77.
2. Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Матич, Никола Петрович, Компендиум ИМО, Springer, 2006, стр. 561.
3. Гесс, Альбрехт (2014), «На окружности, содержащей центры касательных четырехугольников» (PDF), Форум Геометрикорум, 14: 389–396.
4. Альсина, Клауди и Нельсен, Роджер, Иконы математики. Исследование двадцати ключевых образов, Математическая ассоциация Америки, 2011, стр. 125.
5. Де Вильерс, Майкл. «Равносторонние циклические и равносторонние описанные многоугольники», Математический вестник 95, март 2011 г., стр. 102–107.
6. Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Фигуры, описывающие круги» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 111: 853–863. Дои:10.2307/4145094. Получено 6 апреля 2016.
7. Апостол, Том (декабрь 2005). "опечатка". Американский математический ежемесячный журнал. 112 (10): 946. Дои:10.1080/00029890.2005.11920274.