Правый змей - Right kite

Правый змей с описанными и вписанными окружностями. Крайняя левая и самая правая вершины имеют прямые углы.

В Евклидова геометрия, а правый змей это летающий змей (а четырехугольник четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары смежных друг с другом сторон равной длины), которые можно вписать в круг.^[1] То есть это воздушный змей с описанный круг (т.е. циклический летающий змей). Таким образом, правый змей - это выпуклый четырехугольник и имеет два противоположных прямые углы.^[2] Если прямых углов ровно два, каждый должен быть между сторонами разной длины. Все в порядке кайты двухцентровые четырехугольники (четырехугольники с описанной и вписанной окружностями), поскольку все воздушные змеи имеют окружать. Одна из диагоналей (та, которая представляет собой линию симметрия ) делит правый змей на два прямоугольные треугольники а также диаметр описанной окружности.

В тангенциальный четырехугольник (один с вписанной окружностью), четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками, где она касается четырехугольника, делят четырехугольник на четыре правых змея.

Особый случай

Частным случаем правых воздушных змеев являются квадраты, где диагонали имеют равную длину, а вписанная и описанная окружности равны концентрический.

Характеристики

Воздушный змей - это правильный змей если и только если он имеет описанную окружность (по определению). Это эквивалентно тому, что это воздушный змей с двумя противоположными прямыми углами.

Метрические формулы

Поскольку правый змей можно разделить на два прямоугольных треугольника, следующие метрические формулы легко вытекают из хорошо известных свойств прямоугольных треугольников. В правильном кайте ABCD где противоположные углы B и D являются прямыми углами, два других угла можно вычислить из

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b}}}$

куда а = AB = ОБЪЯВЛЕНИЕ и б = до н.э = CD. В площадь правого кайта

${\displaystyle \displaystyle K=ab.}$

В диагональ AC то есть линия симметрии имеет длину

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

и, поскольку диагонали равны перпендикуляр (так что правый змей - это ортодиагональный четырехугольник с площадью ${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}}$), другая диагональ BD имеет длину

${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

В радиус описанной окружности составляет (согласно теорема Пифагора )

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

и, поскольку все воздушные змеи касательные четырехугольники, радиус вписанной окружности равен

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}}$

куда s - полупериметр.

Площадь указана в радиусе окружности р и радиус р в качестве^[3]

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).}$

Если мы возьмем отрезки, идущие от пересечения диагоналей до вершин по часовой стрелке, как ${\displaystyle d_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}}$,${\displaystyle d_{3}}$, и ${\displaystyle d_{4}}$, тогда,

${\displaystyle d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4}}$

Это прямой результат теорема о среднем геометрическом.

Двойственность

В двойной многоугольник к правому кайту равнобедренная тангенциальная трапеция.^[1]

Альтернативное определение

Иногда прямой змей определяется как змей с хотя бы одним прямым углом.^[4] Если есть только один прямой угол, он должен быть между двумя сторонами равной длины; в этом случае приведенные выше формулы не применяются.

Рекомендации

1. Майкл де Вильерс, Некоторые приключения в евклидовой геометрии, ISBN  978-0-557-10295-2, 2009, с. 154, 206.
2. Де Вильерс, Майкл (1994), "Роль и функция иерархической классификации четырехугольников", Для изучения математики, 14 (1): 11–18, JSTOR  40248098
3. Йозефссон, Мартин (2012), "Максимальная площадь двухцентрового четырехугольника" (PDF), Форум Geometricorum, 12: 237–241.
4. 1728 Программные системы, Калькулятор воздушных змеев, по состоянию на 8 октября 2012 г.