Край (геометрия) - Edge (geometry)

Для края в теория графов, видеть Край (теория графов)

В геометрия, край это особый тип отрезок присоединение двух вершины в многоугольник, многогранник, или многомерный многогранник.[1] В многоугольнике ребро - это отрезок линии на границе,[2] и часто называют сторона. В многограннике или, в более общем смысле, многограннике ребро - это отрезок прямой, на котором два лица встретить.[3] Сегмент, соединяющий две вершины при прохождении через внутреннюю или внешнюю часть, не является ребром, а называется ребром. диагональ.

Связь с ребрами в графах

В теория графов, край это абстрактный объект, соединяющий два вершины графа, в отличие от многоугольника и ребер многогранника, которые имеют конкретное геометрическое представление в виде отрезка прямой. Однако любой многогранник может быть представлен своим скелет или ребро-скелет, граф, вершины которого являются геометрическими вершинами многогранника, а ребра соответствуют геометрическим ребрам.[4] И наоборот, графы, являющиеся каркасами трехмерных многогранников, можно охарактеризовать как Теорема Стейница как именно 3-вершинно-связанный планарные графы.[5]

Количество ребер в многограннике

Любой выпуклый многогранник поверхность имеет Эйлерова характеристика

куда V это количество вершины, E - количество ребер, а F это количество лица. Это уравнение известно как Формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество ребер на 2 меньше суммы количества вершин и граней. Например, куб имеет 8 вершин и 6 граней, а значит, 12 ребер.

Случаи с другими лицами

В многоугольнике два ребра пересекаются в каждой вершине; в более общем плане Теорема Балинского, по меньшей мере d ребра пересекаются в каждой вершине d-мерный выпуклый многогранник.[6]Точно так же в многограннике ровно две двумерные грани пересекаются на каждом ребре,[7] в то время как в многогранниках более высоких измерений три или более двумерных грани встречаются на каждом краю.

Альтернативная терминология

В теории многомерных выпуклые многогранники, а грань или же сторона из d-размерный многогранник один из его (d - 1) -размерные характеристики, а гребень это (d - 2) -размерный признак, а вершина горы это (d - 3) -мерная особенность. Таким образом, ребра многоугольника - это его грани, ребра трехмерного выпуклый многогранник его гребни, а края 4-мерный многогранник его вершины.[8]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам, Тексты для выпускников по математике, 152, Спрингер, определение 2.1, с. 51.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Край многоугольника». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Край многогранника». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html
  4. ^ Сенешаль, Марджори (2013), Формирование пространства: изучение многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении, Springer, стр. 81, ISBN  9780387927145.
  5. ^ Писанский, Томаж; Рандич, Милан (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Горини, Екатерина А. (ред.), Геометрия в действии, Примечания МАА, 53, Вашингтон, округ Колумбия: Математика. Доц. Америка, стр. 174–194, МИСТЕР  1782654. См., В частности, теорему 3, п. 176.
  6. ^ Балински, М.Л. (1961), «О графическом строении выпуклых многогранников в п-Космос", Тихоокеанский математический журнал, 11 (2): 431–434, Дои:10.2140 / pjm.1961.11.431, МИСТЕР  0126765.
  7. ^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 1, ISBN  9780521098595.
  8. ^ Зайдель, Раймунд (1986), "Построение выпуклых оболочек многомерных размеров при логарифмической стоимости каждой грани", Материалы восемнадцатого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '86), стр. 404–413, Дои:10.1145/12130.12172.

внешняя ссылка