Гиперболическое пространство - Hyperbolic space

Перспективная проекция додекаэдрическая мозаика в ЧАС³.
Четыре додекаэдр встречаются на каждом ребре, и восемь пересекаются в каждой вершине, как кубы кубическая мозаика в E³

В математика, а гиперболическое пространство это однородное пространство который имеет постоянный отрицательный кривизна, где в данном случае кривизна - это кривизна сечения. это гиперболическая геометрия более чем в 2 размеры, и отличается от Евклидовы пространства с нуль кривизна, определяющая Евклидова геометрия, и эллиптическая геометрия имеющие постоянную положительную кривизну.

При вложении в евклидово пространство (более высокой размерности) каждая точка гиперболического пространства является точка перевала. Еще одно отличительное свойство - количество места покрыт п-мяч в гиперболическом п-пространство: увеличивается экспоненциально относительно радиуса шара для больших радиусов, а не полиномиально.

Формальное определение

Гиперболический п-Космос, обозначенный ЧАС^п, является максимально симметричным, односвязный, п-размерный Риманово многообразие с постоянным отрицательным секционная кривизна. Гиперболическое пространство - это пространство, демонстрирующее гиперболическая геометрия. Это аналог отрицательной кривизны п-сфера. Хотя гиперболическое пространство ЧАС^п является диффеоморфный к р^п, его метрика отрицательной кривизны придает ему очень разные геометрические свойства.

Гиперболическое 2-пространство, ЧАС², также называется гиперболическая плоскость.

Модели гиперболического пространства

Гиперболическое пространство, разработанное независимо Николай Лобачевский и Янош Бойяи, является геометрическим пространством, аналогичным Евклидово пространство, но такой, что Параллельный постулат Евклида больше не считается действительным. Вместо этого постулат параллельности заменяется следующей альтернативой (в двух измерениях):

Учитывая любую строку L и указать п не на L, есть не менее двух различных линий, проходящих через п которые не пересекаются L.

Тогда это теорема, что существует бесконечно много таких прямых, проходящих через п. Эта аксиома до сих пор не характеризует гиперболическую плоскость однозначно с точностью до изометрия; есть дополнительная константа, кривизна K < 0, который необходимо указать. Тем не менее, он однозначно характеризует его до гомотетия, то есть вплоть до взаимных отклонений, которые изменяют понятие расстояния только на общую константу. Таким образом, выбирая подходящий масштаб длины, можно без ограничения общности предположить, что K = −1.

Могут быть построены модели гиперболических пространств, которые могут быть вложены в плоские (например, евклидовы) пространства. В частности, существование модельных пространств означает, что постулат параллельности логически независимый других аксиом евклидовой геометрии.

Существует несколько важных моделей гиперболического пространства: Модель Кляйна, то модель гиперболоида, то Модель шара Пуанкаре и Модель полупространства Пуанкаре. Все они моделируют одну и ту же геометрию в том смысле, что любые два из них могут быть связаны преобразованием, которое сохраняет все геометрические свойства пространства, включая изометрия (правда, не относительно метрики евклидова вложения).

Модель гиперболоида

Модель гиперболоида реализует гиперболоидное пространство как гиперболоид в р^п+1 = {(Икс₀,...,Икс_п)|Икс_я∈р, я=0,1,...,п}. Гиперболоид - это локус ЧАС^п точек, координаты которых удовлетворяют

{ displaystyle x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} - cdots -x_ {n} ^ {2} = 1, quad x_ {0}> 0.}

В этой модели линия (или же геодезический ) - кривая, образованная пересечением ЧАС^п с плоскостью через начало координат в р^п+1.

Модель гиперболоида тесно связана с геометрией Пространство Минковского. В квадратичная форма

{ displaystyle Q (x) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} - cdots -x_ {n} ^ {2},}

который определяет гиперболоид, поляризует дать билинейная форма

{ displaystyle B (x, y) = (Q (x + y) -Q (x) -Q (y)) / 2 = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} - cdots -x_ {n} y_ {n}.}

Космос р^п+1, снабженный билинейной формой B, является (п+1) -мерное пространство Минковского р^п,1.

Можно связать расстояние на модели гиперболоида, задав^[1] расстояние между двумя точками Икс и у на ЧАС^п быть

{ displaystyle d (x, y) = operatorname {arcosh} B (x, y).}

Эта функция удовлетворяет аксиомам метрическое пространство. Сохраняется действием Группа Лоренца на р^п,1. Следовательно, группа Лоренца действует как группа трансформации сохранение изометрия на ЧАС^п.

Модель Кляйна

Альтернативная модель гиперболической геометрии находится на определенном домен в проективное пространство. Квадратичная форма Минковского Q определяет подмножество U^п ⊂ RP^п задано как геометрическое место точек, для которых Q(Икс) > 0 в однородные координаты Икс. Домен U^п это Модель Кляйна гиперболического пространства.

Линии этой модели - открытые отрезки окружающего проективного пространства, лежащие в U^п. Расстояние между двумя точками Икс и у в U^п определяется

{ displaystyle d (x, y) = operatorname {arcosh} left ({ frac {B (x, y)} { sqrt {Q (x) Q (y)}}} right).}

Это хорошо определено на проективном пространстве, поскольку отношение под обратным гиперболическим косинусом однородно степени 0.

Эта модель связана с моделью гиперболоида следующим образом. Каждая точка Икс ∈ U^п соответствует строке L_Икс через происхождение в р^п+1, по определению проективного пространства. Эта линия пересекает гиперболоид ЧАС^п в уникальной точке. И наоборот, через любую точку на ЧАС^п, через начало координат (точку в проективном пространстве) проходит единственная прямая. Это соответствие определяет биекция между U^п и ЧАС^п. Это изометрия, поскольку оценка d(Икс,у) вдоль Q(Икс) = Q(у) = 1 воспроизводит определение расстояния, данное для модели гиперболоида.

Модель шара Пуанкаре

Тесно связанной парой моделей гиперболической геометрии являются модели шара Пуанкаре и полупространства Пуанкаре.

Модель мяча происходит от стереографическая проекция гиперболоида в р^п+1 на гиперплоскость {Икс₀ = 0}. Подробно пусть S быть точкой в р^п+1 с координатами (−1,0,0, ..., 0): Южный полюс для стереографической проекции. Для каждой точки п на гиперболоиде ЧАС^п, позволять п^∗ быть единственной точкой пересечения линии SP с самолетом {Икс₀ = 0}.

Это устанавливает биективное отображение ЧАС^п в единичный шар

{ displaystyle B ^ {n} = {(x_ {1}, ldots, x_ {n}) | x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} <1 } }

в плоскости {Икс₀ = 0}.

Геодезические в этой модели полукруги которые перпендикулярны граничной сфере B^п. Изометрии шара порождаются сферическая инверсия в гиперсферах, перпендикулярных границе.

Модель полупространства Пуанкаре

Модель полупространства является результатом применения инверсия по кругу с центром граничная точка модели Пуанкаре шара B^п выше и радиус в два раза больше.

Это превращает круги в круги и линии, и, кроме того, конформное преобразование. Следовательно, геодезические модели полупространства - это прямые и окружности, перпендикулярные граничной гиперплоскости.

Гиперболические многообразия

Каждый полный, связаны, односвязный многообразие постоянной отрицательной кривизны −1 является изометрический в реальное гиперболическое пространство ЧАС^п. В результате универсальный чехол любой закрытый коллектор M постоянной отрицательной кривизны −1, то есть гиперболическое многообразие, является ЧАС^п. Таким образом, каждый такой M можно записать как ЧАС^п/ Γ, где Γ - без кручения дискретная группа из изометрии на ЧАС^п. То есть Γ является решетка в ТАК⁺(п,1).

Римановы поверхности

Двумерные гиперболические поверхности также можно понимать на языке Римановы поверхности. Согласно теорема униформизации, любая риманова поверхность может быть эллиптической, параболической или гиперболической. Большинство гиперболических поверхностей имеют нетривиальную фундаментальная группа π₁= Γ; возникающие таким образом группы известны как Фуксовы группы. В факторное пространство ЧАС² / Γ верхней полуплоскости по модулю фундаментальная группа известна как Фуксова модель гиперболической поверхности. В Полуплоскость Пуанкаре тоже гиперболический, но односвязный и некомпактный. Это универсальный чехол остальных гиперболических поверхностей.

Аналогичной конструкцией для трехмерных гиперболических поверхностей является Кляйнианская модель.