Теорема униформизации - Uniformization theorem

В математике теорема униформизации говорит, что каждый односвязный Риманова поверхность является конформно эквивалентный на одну из трех римановых поверхностей: открытую единичный диск, то комплексная плоскость, или Сфера Римана. В частности, отсюда следует, что каждая риманова поверхность допускает Риманова метрика из постоянная кривизна. Для компактных римановых поверхностей поверхности с универсальным покрытием единичным кругом - это в точности гиперболические поверхности рода больше 1, все с неабелевой фундаментальной группой; с универсальным покрытием комплексной плоскости являются римановы поверхности рода 1, а именно комплексные торы или эллиптические кривые с фундаментальной группой $Z 2$ ; а сферы Римана с универсальным покрытием - это сферы нулевого рода, а именно сама сфера Римана с тривиальной фундаментальной группой.

Теорема об униформизации является обобщением Теорема римана отображения от собственно односвязного открыто подмножества плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности. Теорема униформизации также имеет эквивалентное утверждение в терминах замкнутых римановых 2-многообразий: каждое такое многообразие имеет конформно эквивалентную риманову метрику постоянной кривизны.

Многие классические доказательства теоремы об униформизации основаны на построении вещественнозначного гармоническая функция на односвязной римановой поверхности, возможно, с особенностью в одной или двух точках и часто соответствующей форме Функция Грина. Широко используются четыре метода построения гармонической функции: Метод Перрона; в Альтернативный метод Шварца; Принцип Дирихле; и Weyl Метод ортогональной проекции. В контексте замкнутых римановых двумерных многообразий в нескольких современных доказательствах используются нелинейные дифференциальные уравнения на пространстве конформно эквивалентных метрик. К ним относятся Уравнение Бельтрами из Теория Тейхмюллера и эквивалентная формулировка в терминах гармонические карты; Уравнение Лиувилля, уже изученный Пуанкаре; и Риччи поток наряду с другими нелинейными потоками.

История

Феликс Кляйн (1883 ) и Анри Пуанкаре (1882 ) предположил теорему об униформизации для (римановых поверхностей) алгебраических кривых. Анри Пуанкаре (1883 ) распространил это на произвольные многозначные аналитические функции и привел неформальные аргументы в свою пользу. Первые строгие доказательства общей теоремы об униформизации были даны Пуанкаре (1907 ) и Пол Кобе (1907a, 1907b, 1907c ). Позже Пол Кобе дал еще несколько доказательств и обобщений. История описана в Серый (1994); полный отчет об униформизации вплоть до работ Кёбе и Пуанкаре 1907 г. с подробными доказательствами дается в де Сен-Жерве (2016) (в Бурбаки псевдоним группы из пятнадцати математиков, совместно подготовивших данное издание).

Классификация связных римановых поверхностей

Каждый Риманова поверхность является фактором свободного, собственного и голоморфного действия дискретная группа на своем универсальном покрытии, и это универсальное покрытие голоморфно изоморфно (можно также сказать: «конформно эквивалентно» или «биголоморфно») одному из следующих условий:

в Сфера Римана
комплексная плоскость
единичный диск в комплексной плоскости.

Теорема Радо показывает, что каждая риманова поверхность автоматически счетный. Хотя теорема Радо часто используется в доказательствах теоремы униформизации, некоторые доказательства были сформулированы так, что теорема Радо становится следствием. Вторая счетность автоматическая для компактных римановых поверхностей.

Классификация замкнутых ориентированных двумерных римановых многообразий

На ориентированном двумерном многообразии a Риманова метрика вызывает сложную структуру, используя переход к изотермические координаты. Если риманова метрика задана локально как

{ Displaystyle ds ^ {2} = E , dx ^ {2} + 2F , dx , dy + G , dy ^ {2},}

то в комплексной координате z = Икс + яу, он принимает вид

{ displaystyle ds ^ {2} = lambda | dz + mu , d { overline {z}} | ^ {2},}

куда

{ displaystyle lambda = {1 over 4} left (E + G + 2 { sqrt {EG-F ^ {2}}} right), , , , mu = (E-G + 2iF) / 4 lambda,}

так что λ и μ гладкие с λ > 0 и |μ| <1. В изотермических координатах (ты, v) метрика должна иметь вид

{ displaystyle ds ^ {2} = rho (du ^ {2} + dv ^ {2})}

с ρ > 0 гладко. Комплексная координата ш = ты + я v удовлетворяет

{ displaystyle rho , | dw | ^ {2} = rho | w_ {z} | ^ {2} left | dz + {w _ { overline {z}} over w_ {z}} , d { overline {z}} right | ^ {2},}

так что координаты (ты, v) будет изотермическим локально при условии Уравнение Бельтрами

{ displaystyle { partial w over partial { overline {z}}} = mu { partial w over partial z}}

имеет локально диффеоморфное решение, т.е. решение с отличным от нуля якобианом.

Эти условия можно эквивалентно сформулировать в терминах внешняя производная и Звездный оператор Ходжа $*$ .^[1] $ты$ и $v$ будут изотермическими координатами, если $* ду = dv$ , куда $*$ определяется на дифференциалах как $*(п dx + q dy) = - q dx + п dy$ .Позволять $∆ = * d * d$ быть Оператор Лапласа – Бельтрами. По стандартной эллиптической теории $ты$ может быть выбран гармонический вблизи заданной точки, т.е. $Δ ты = 0$ , с $ду$ не исчезают. Посредством Лемма Пуанкаре $dv = * ду$ имеет локальное решение $v$ именно когда $d (* ду) = 0$ . Это условие эквивалентно $Δ ты = 0$ , поэтому всегда можно решить локально. С $ду$ отличен от нуля и квадрат звездочного оператора Ходжа равен −1 на 1-формах, $ду$ и $dv$ должен быть линейно независимым, так что $ты$ и $v$ дать локальные изотермические координаты.

Существование изотермических координат можно доказать другими методами, например с помощью общая теория уравнения Бельтрами, как в Альфорс (2006), или прямыми элементарными методами, как в Черн (1955) и Йост (2006).

Из этого соответствия с компактными римановыми поверхностями следует классификация замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий. Каждое такое конформно эквивалентно единственному замкнутому двумерному многообразию постоянная кривизна, так что частное одного из следующих свободное действие из дискретная подгруппа из группа изометрии:

в сфера (кривизна +1)
в Евклидова плоскость (кривизна 0)
в гиперболическая плоскость (кривизна -1).

род 0
род 1
род 2
род 3

Первый случай дает 2-сферу, единственное 2-многообразие с постоянной положительной кривизной и, следовательно, положительной Эйлерова характеристика (равно 2). Второй дает все плоские двумерные многообразия, т.е. тори, которые имеют эйлерову характеристику 0. Третий случай охватывает все двумерные многообразия постоянной отрицательной кривизны, т.е. гиперболический 2-многообразия, все из которых имеют отрицательную эйлерову характеристику. Классификация соответствует Теорема Гаусса – Бонне, что означает, что для замкнутой поверхности с постоянной кривизной знак этой кривизны должен совпадать со знаком эйлеровой характеристики. Эйлерова характеристика равна 2 - 2грамм, куда грамм - род двумерного многообразия, т.е. количество «дырок».

Методы доказательства

Методы гильбертова пространства

В 1913 году Герман Вейль опубликовал свой классический учебник «Die Idee der Riemannschen Fläche», основанный на его лекциях в Геттингене с 1911 по 1912 год. Это была первая книга, которая представила теорию римановых поверхностей в современной обстановке, и благодаря своим трём изданиям сохранила свое влияние. Посвящается Феликс Кляйн, первое издание включило Гильберта лечение Задача Дирихле с помощью Гильбертово пространство техники; Брауэра вклады в топологию; и Кебе доказательство теоремы об униформизации и ее последующие улучшения. Много позже Вейль (1940) разработал свой метод ортогональной проекции, который дал упрощенный подход к проблеме Дирихле, также основанный на гильбертовом пространстве; та теория, которая включала Лемма Вейля на эллиптическая регулярность, был связан с Ходжа теория гармонических интегралов; и обе теории вошли в современную теорию эллиптические операторы и $L 2$ Соболевские пространства. В третьем издании его книги 1955 г., переведенной на английский язык Вейль (1964), Вейль принял современное определение дифференциального многообразия, а не триангуляции, но решил не использовать свой метод ортогональной проекции. Спрингер (1957) следовал изложению Вейля теоремы об униформизации, но использовал метод ортогональной проекции для решения проблемы Дирихле. Этот подход будет описан ниже. Кодаира (2007) описывает подход из книги Вейля, а также способы его сокращения с помощью метода ортогональной проекции. Связанный аккаунт можно найти в Дональдсон (2011).

Нелинейные потоки

Представляя Риччи поток, Ричард С. Гамильтон показал, что поток Риччи на замкнутой поверхности униформизирует метрику (т. е. поток сходится к метрике постоянной кривизны). Однако его доказательство опиралось на теорему униформизации. Пропущенный шаг связан с потоком Риччи на двумерной сфере: метод, позволяющий избежать обращения к теореме униформизации (для рода 0), был предоставлен Чен, Лу и Тиан (2006);^[2] краткое автономное описание потока Риччи на двумерной сфере было дано в Эндрюс и Брайан (2010).

Обобщения

Кёбе доказал общая теорема униформизации что если риманова поверхность гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что то же самое, если каждая жорданова кривая разделяет ее), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы.

В 3-х измерениях есть 8 геометрий, называемых восемь геометрий Терстона. Не всякое трехмерное многообразие допускает геометрию, но у Терстона гипотеза геометризации доказано Григорий Перельман утверждает, что каждое 3-многообразие можно разрезать на части, которые можно геометризировать.

В теорема одновременной униформизации из Липман Берс показывает, что можно одновременно униформизировать две компактные римановы поверхности одного рода> 1 с одинаковыми квазифуксова группа.

В измеримая теорема римана отображения показывает в более общем плане, что отображение в открытое подмножество комплексной сферы в теореме униформизации может быть выбрано как квазиконформное отображение с любым заданным ограниченным измеримым коэффициентом Бельтрами.

Смотрите также

п-адическая теорема униформизации.

Примечания

^ ДеТурк и Каздан 1981; Тейлор 1996, стр. 377–378
^ Брендл 2010

внешняя ссылка

Конформное преобразование: от круга к квадрату.

[1] ДеТурк и Каздан 1981; Тейлор 1996, стр. 377–378

[2] Брендл 2010

[1]

[2]

Теорема униформизации - Uniformization theorem

Содержание

История

Классификация связных римановых поверхностей

Классификация замкнутых ориентированных двумерных римановых многообразий

Методы доказательства

Методы гильбертова пространства

Нелинейные потоки

Обобщения

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Исторические ссылки

Исторические обзоры

Гармонические функции

Нелинейные дифференциальные уравнения

Общие ссылки

внешняя ссылка