Ричард С. Гамильтон - Richard S. Hamilton

Эта статья об американском математике. Для других людей по имени Ричард Гамильтон см. Ричард Гамильтон.
Ричард Гамильтон
Ричард Гамильтон.jpg
Гамильтон в 1982 году
Родившийся1943 (76–77 лет)
Цинциннати, Огайо, Соединенные Штаты
НациональностьАмериканец
Альма-матерЙельский университет
Университет Принстона
ИзвестенПоток Риччи Гамильтона
Теорема Эрла – Гамильтона о неподвижной точке
Теорема Гейджа-Гамильтона-Грейсона
Неравенства Ли-Яу-Гамильтона
Теорема Нэша-Мозера
НаградыПремия Веблена (1996)
Премия за исследования глины (2003)
Приз Лероя П. Стила (2009)
Приз Шоу (2011)
Научная карьера
ПоляМатематика
УчрежденияКорнелл Университет
Калифорнийский университет в Сан-Диего
Колумбийский университет
ТезисВариация структуры на римановых поверхностях. (1969)
ДокторантРоберт Ганнинг
ДокторантыМартин Ло

Ричард Стрейт Гамильтон (1943 г.р.) - профессор Дэвиса Математика в Колумбийский университет. Он известен вкладом в геометрический анализ и уравнения в частных производных. Он внес фундаментальный вклад в теорию Риччи поток и его использование в разрешении Гипотеза Пуанкаре и гипотеза геометризации в области геометрическая топология.

биография

Он получил свой B.A в 1963 г. из Йельский университет и Кандидат наук. в 1966 году из Университет Принстона. Роберт Ганнинг защитил диссертацию. Гамильтон преподавал в Калифорнийский университет в Ирвине, Калифорнийский университет в Сан-Диего, Корнелл Университет, и Колумбийский университет.

Вклад Гамильтона в математику прежде всего в области дифференциальная геометрия и, более конкретно геометрический анализ. Он известен прежде всего тем, что открыл Риччи поток и запустив исследовательскую программу, которая в конечном итоге привела к доказательству, Григорий Перельман, из Терстон гипотеза геометризации и решение гипотезы Пуанкаре. В августе 2006 года Перельман был награжден, но отклонил Медаль Филдса для его доказательства, частично цитируя работу Гамильтона как основополагающую.

Гамильтон был награжден Премия Освальда Веблена по геометрии в 1996 году и Премия за исследования глины в 2003 г. избран в Национальная Академия Наук в 1999 году и Американская академия искусств и наук в 2003 году. Он также получил AMS Приз Лероя П. Стила за плодотворный вклад в исследования в 2009 г., за его статью 1982 г. Трехмерные многообразия положительной кривизны Риччи, в котором он ввел поток Риччи.

18 марта 2010 г. было объявлено, что Перельман соответствует критериям для получения первого Глина Приз тысячелетия за доказательство гипотезы Пуанкаре.[1] 1 июля 2010 г. Перельман отклонил приз, заявив, что, по его мнению, его вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре не больше, чем у Гамильтона, который первым предложил программу решения.

В июне 2011 года было объявлено, что миллион долларов Приз Шоу будет поровну между Гамильтоном и Деметриос Христодулу за новаторские работы по нелинейным уравнениям в частных производных в лоренцевой и римановой геометрии и их приложениям к общей теории относительности и топологии.[2][3]

Математическая работа

По состоянию на 2020 год Гамильтон является автором около пятидесяти научных статей, около сорока из которых посвящены геометрические потоки.

Неравенства Гарнака для уравнений теплопроводности

В 1986 г. Питер Ли и Шинг-Тунг Яу открыл новый метод применения принцип максимума контролировать решения уравнение теплопроводности.[4] Среди других результатов они показали, что если есть положительное решение ты уравнения теплопроводности на закрыто Риманово многообразие неотрицательных Кривизна Риччи, то есть

для любого касательного вектора v. Такие неравенства, известные как «дифференциальные неравенства Гарнака» или «неравенства Ли-Яу», полезны, поскольку их можно интегрировать вдоль путей для сравнения значений ты в любых двух точках пространства-времени. Они также прямо дают точечную информацию о ты, принимая v быть нулевым.

В 1993 году Гамильтон показал, что вычисления Ли и Яу можно расширить, чтобы показать, что их дифференциальное неравенство Гарнака является следствием более сильного матричного неравенства.[H93a] Его результат требовал, чтобы замкнутое риманово многообразие имело неотрицательное секционная кривизна и параллельный тензор Риччи (например, плоский тор или Метрика Фубини-Штуди на сложное проективное пространство ), при отсутствии которого он получил несколько более слабый результат. Такие матричные неравенства иногда называют Неравенства Ли-Яу-Гамильтона.

Гамильтон также обнаружил, что методология Ли-Яу может быть адаптирована к Риччи поток. В случае двумерных многообразий он обнаружил, что вычисление Ли и Яу может быть напрямую адаптировано к скалярная кривизна вдоль потока Риччи.[H88] В общих габаритах он показал, что Тензор кривизны Римана удовлетворяет сложному неравенству, формально аналогичному его матричному расширению неравенства Ли-Яу, в случае, когда оператор кривизны неотрицательно.[H93b] Как непосредственное алгебраическое следствие скалярная кривизна удовлетворяет неравенству, которое почти идентично неравенству Ли и Яу.

Теорема Нэша-Мозера

В 1956 г. Джон Нэш решил проблема гладко изометрически вложенных римановых многообразий в евклидово пространство.[5] Ядром его доказательства был новый результат о «малых возмущениях», показывающий, что если риманова метрика может быть изометрически вложена определенным образом, то любая ближайшая риманова метрика также может быть вложена изометрически. Такой результат очень напоминает теорема о неявной функции, и многие авторы пытались поместить логику доказательства в форму общей теоремы. Такие теоремы теперь известны как Теоремы Нэша-Мозера.

В 1982 году Гамильтон опубликовал свою формулировку рассуждений Нэша, изложив теорему в контексте приручить пространства Фреше; Фундаментальное использование Нэшем ограничения преобразование Фурье для регуляризации функций Гамильтон отвел от установки экспоненциально убывающих последовательностей в Банаховы пространства.[H82a] Его формулировка широко цитировалась и использовалась в последующее время. Он сам использовал это, чтобы доказать общую теорему существования и единственности геометрических эволюционных уравнений; стандартная теорема о неявной функции не часто применяется в таких условиях из-за вырождений, вносимых инвариантностью под действием группа диффеоморфизмов.[H82b] В частности, корректность Риччи поток следует из общего результата Гамильтона. Несмотря на то что Деннис ДеТюрк дал более простое доказательство в частном случае потока Риччи, результат Гамильтона был использован для некоторых других геометрические потоки для которых метод ДеТурка недоступен.

Гармоническая карта теплового потока

В 1964 г. Джеймс Иллс и Джозеф Сэмпсон инициировали изучение гармоническая карта теплового потока, используя теорему сходимости потока, чтобы показать, что любое гладкое отображение из закрытый коллектор к замкнутому многообразию неположительной кривизны можно деформировать до гармоническая карта. В 1975 году Гамильтон рассмотрел соответствующие краевая задача для этого потока, доказывая аналогичный результат Иллса и Сэмпсона для Условие Дирихле и Условие Неймана.[H75] В этой ситуации аналитический характер проблемы становится более деликатным, поскольку ключевое приложение Илса и Сэмпсона принцип максимума к параболическая формула Бохнера не может быть выполнено тривиально из-за того, что размер градиента на границе не контролируется автоматически граничными условиями.

Взяв пределы решений Гамильтона краевой задачи для все более больших границ, Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу заметил, что отображение конечной энергии из полного риманова многообразия в замкнутое риманово многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение конечной энергии.[6] Доказав расширение теоремы Иллса и Сэмпсона об исчезновении в различных геометрических условиях, они смогли сделать поразительные геометрические выводы, например, если (M, грамм) - полное риманово многообразие неотрицательных Кривизна Риччи, то для любого предкомпактного открытого набора D с гладкой и односвязной границей не может существовать нетривиального гомоморфизма из фундаментальная группа из D в любую группу, являющуюся фундаментальной группой замкнутого риманова многообразия неположительной кривизны.

Средняя кривизна потока

В 1986 году Гамильтон и Майкл Гейдж применил теорему Гамильтона Нэша-Мозера и результат о корректности для параболических уравнений, чтобы доказать корректность для средняя кривизна потока; они рассмотрели общий случай однопараметрического семейства погружений закрытый коллектор в гладкое риманово многообразие.[GH86] Затем они специализируются на погружении круга. S1 в двумерное евклидово пространство ℝ2, который является самым простым контекстом для поток сокращения кривой. С использованием принцип максимума применительно к расстоянию между двумя точками на кривой они доказали, что если первоначальное погружение является вложением, то все будущие погружения в поток средней кривизны также являются вложениями. Кроме того, выпуклость кривых сохраняется в будущем.

Основной результат Гейджа и Гамильтона состоит в том, что для любого гладкого вложения S1 → ℝ2 который является выпуклым, соответствующий поток средней кривизны существует в течение конечного количества времени, и по мере того, как время приближается к своему максимальному значению, кривые асимптотически становятся все более маленькими и круглыми.[GH86] Они использовали предыдущие результаты Гейджа, а также несколько специальных результатов для кривых, таких как Неравенство Боннесена.

В 1987 году Мэтью Грейсон доказал дополнительный результат, показывающий, что для любого гладкого вложения S1 → ℝ2, соответствующий поток средней кривизны со временем становится выпуклым.[7] В сочетании с результатом Гейджа и Гамильтона можно получить по существу полное описание асимптотики потока средней кривизны вложенных окружностей в ℝ2. Этот результат иногда называют Теорема Гейджа – Гамильтона – Грейсона.. Несколько удивительно, что существуют такие систематические и геометрически определенные средства деформации произвольной петли в ℝ2 в круглый круг.

Современное понимание результатов Гейджа-Гамильтона и Грейсона обычно рассматривает оба параметра одновременно, без необходимости показывать, что произвольные кривые становятся выпуклыми, и отдельно изучать поведение выпуклых кривых. Их результаты также могут быть расширены для параметров, отличных от расхода средней кривизны.[8]

Риччи поток

Гамильтон расширил принцип максимума для параболических уравнений в частных производных к установке симметричных 2-тензоров, которые удовлетворяют параболическим уравнениям в частных производных.[H82b] Он также поместил это в общую настройку зависимого от параметра раздела векторный набор через закрытый коллектор которое удовлетворяет уравнению теплопроводности, давая как сильную, так и слабую формулировки.[H86]

Частично благодаря этим фундаментальным техническим разработкам Гамильтон смог дать по существу полное понимание того, как поток Риччи ведет себя на трехмерных замкнутых римановых многообразиях положительной кривизны Риччи.[H82b] и неотрицательная кривизна Риччи[H86], четырехмерные замкнутые римановы многообразия оператора положительной или неотрицательной кривизны[H86], и двумерные замкнутые римановы многообразия неположительной эйлеровой характеристики или положительной кривизны[H88]. В каждом случае после соответствующей нормализации поток Риччи деформирует данную риманову метрику до метрики постоянной кривизны. Это имеет поразительно простые непосредственные следствия, такие как тот факт, что любое замкнутое гладкое трехмерное многообразие, допускающее риманову метрику положительной кривизны, также допускает риманову метрику постоянной положительной секционной кривизны. Такие результаты примечательны тем, что сильно ограничивают топологию таких многообразий; то космические формы положительной кривизны в основном понятны. Есть и другие следствия, например, тот факт, что топологическое пространство римановых метрик положительной кривизны Риччи на замкнутом гладком трехмерном многообразии линейно связно. Эти «теоремы сходимости» Гамильтона были расширены более поздними авторами, в 2000-х, чтобы дать доказательство теорема о дифференцируемой сфере, которая была главной гипотезой римановой геометрии с 1960-х годов.

В 1995 году Гамильтон расширил Джефф Чигер теория компактности для римановых многообразий, дающая теорему компактности для последовательностей потоков Риччи.[H95a] Учитывая поток Риччи на замкнутом многообразии с сингулярностью за конечное время, Гамильтон разработал методы масштабирования вокруг особенности, чтобы создать последовательность потоков Риччи; Теория компактности обеспечивает существование предельного потока Риччи, который моделирует мелкомасштабную геометрию потока Риччи вокруг особой точки.[H95b] Гамильтон использовал свои принципы максимума, чтобы доказать, что для любого потока Риччи на замкнутом трехмерном многообразии наименьшее значение секционная кривизна мало по сравнению с его наибольшим значением. Это известно как оценка Гамильтона-Айви; это чрезвычайно важно как неравенство кривизны, которое выполняется без каких-либо условных предположений за пределами трехмерности. Важным следствием является то, что в трех измерениях предельный поток Риччи, создаваемый теорией компактности, автоматически имеет неотрицательную кривизну.[H95b] Таким образом, неравенство Гарнака Гамильтона применимо к предельному потоку Риччи. Эти методы были расширены Григорий Перельман, который благодаря своей «теореме о несгибаемости» смог применить теорию компактности Гамильтона в ряде расширенных контекстов.

В 1997 году Гамильтон смог объединить методы, которые он разработал, чтобы определить «поток Риччи с хирургией» для четырехмерных римановых многообразий положительной изотропной кривизны.[H97] Для потоков Риччи с начальными данными в этом классе он смог классифицировать возможности мелкомасштабной геометрии вокруг точек с большой кривизной и, следовательно, систематически модифицировать геометрию, чтобы продолжить поток Риччи. Как следствие, он получил результат, который классифицирует гладкие четырехмерные многообразия, поддерживающие римановы метрики положительной изотропной кривизны. Шинг-Тунг Яу описал эту статью как «самое важное событие» в геометрическом анализе в период после 1993 года, отметив ее как точку, в которой стало ясно, что можно доказать предположение Терстона. гипотеза геометризации методами потока Риччи. Существенным нерешенным вопросом было проведение аналогичной классификации для мелкомасштабной геометрии вокруг точек высокой кривизны на потоках Риччи на трехмерных многообразиях без каких-либо ограничений кривизны; оценка кривизны Гамильтона-Айви является аналогом условия положительной изотропной кривизны. Это было решено Григорий Перельман в его знаменитой «теореме о канонических окрестностях». Основываясь на этом результате, Перельман модифицировал форму процедуры перестройки Гамильтона, чтобы определить «поток Риччи с перестройкой» для произвольной гладкой римановой метрики на замкнутом трехмерном многообразии. Это привело к разрешению гипотезы о геометризации в 2003 году.

Основные публикации

H75.Ричард С. Гамильтон. Гармонические отображения многообразий с краем. Конспект лекций по математике, Vol. 471 (1975). Спрингер-Верлаг, Берлин-Нью-Йорк. i + 168 с. DOI: 10.1007 / BFb0087227
H82a.Ричард С. Гамильтон. Теорема Нэша и Мозера об обратной функции. Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.) 7 (1982), нет. 1, 65–222. DOI: 10.1090 / s0273-0979-1982-15004-2
H82b.Ричард С. Гамильтон. Трехмерные многообразия положительной кривизны Риччи. J. Differential Geom. 17 (1982), нет. 2, 255–306. DOI: 10.4310 / jdg / 1214436922
GH86.М. Гейдж и Р.С. Гамильтон. Уравнение теплопроводности сокращает выпуклые плоские кривые. J. Differential Geom. 23 (1986), нет. 1, 69–96. DOI: 10.4310 / jdg / 1214439902
H86.Ричард С. Гамильтон. Четырехмерные многообразия с оператором положительной кривизны. J. Differential Geom. 24 (1986), нет. 2, 153–179. DOI: 10.4310 / jdg / 1214440433
H88.Ричард С. Гамильтон. Поток Риччи на поверхностях. Современная математика, Vol. 71 (1988), стр. 237-262. Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986). Амер. Математика. Soc., Providence, RI. Под редакцией Джеймса А. Изенберга. DOI: 10.1090 / conm / 071
H93a.Ричард С. Гамильтон. Матричная оценка Харнака для уравнения теплопроводности. Comm. Анальный. Геом. 1 (1993), нет. 1, 113–126. DOI: 10.4310 / CAG.1993.v1.n1.a6
H93b.Ричард С. Гамильтон. Оценка Гарнака для потока Риччи. J. Differential Geom. 37 (1993), нет. 1, 225–243. DOI: 10.4310 / jdg / 1214453430
H95a.Ричард С. Гамильтон. Свойство компактности решений потока Риччи. Амер. J. Math. 117 (1995), нет. 3, 545–572. DOI: 10.2307 / 2375080
H95b.Ричард С. Гамильтон. Формирование особенностей в потоке Риччи. Обзоры по дифференциальной геометрии. II (1995), стр. 7-136. Материалы конференции по геометрии и топологии, состоявшейся в Гарвардском университете, Кембридж, Массачусетс, 1993. Int. Press, Кембридж, Массачусетс. Под редакцией К.-К. Сюн и С.-Т. Яу. DOI: 10.4310 / SDG.1993.v2.n1.a2
H97.Ричард С. Гамильтон. Четырехмерные многообразия положительной изотропной кривизны. Comm. Анальный. Геом. 5 (1997), нет. 1, 1–92. DOI: 10.4310 / CAG.1997.v5.n1.a1

Коллекция

  • Сборник статей по потоку Риччи. Под редакцией H.D. Цао, Б. Чоу, С.С. Чу, С.Т. Яу. Series in Geometry and Topology, 37. International Press, Somerville, MA, 2003. viii + 539 с. ISBN  1-57146-110-8

содержит [H82b], [H86], [H88], [H93b], [H95a], [H95b], и [H97], помимо пяти других статей Гамильтона и десяти статей других авторов.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ "Гипотеза Пуанкаре". Архивировано из оригинал на 2013-07-27.
  2. ^ 500000 долларов для математика, заложившего фундамент Пуанкаре
  3. ^ Премия Шоу в области математических исследований 2011 г.
  4. ^ Питер Ли и Шинг-Тунг Яу. О параболическом ядре оператора Шредингера. Acta Math. 156 (1986), нет. 3-4, 153–201.
  5. ^ Джон Нэш. Проблема вложения римановых многообразий. Анна. математики. (2) 63 (1956), 20–63.
  6. ^ Ричард Шон и Шинг Тунг Яу. Гармонические отображения и топология устойчивых гиперповерхностей и многообразий с неотрицательной кривизной Риччи. Комментарий. Математика. Helv. 51 (1976), нет. 3, 333–341.
  7. ^ Мэтью А. Грейсон. Уравнение теплопроводности сжимает встроенные плоские кривые до округлых точек. J. Differential Geom. 26 (1987), нет. 2, 285–314.
  8. ^ Бен Эндрюс. Развивающиеся выпуклые кривые. Расчет. Вар. Уравнения в частных производных 7 (1998), вып. 4, 315–371.

внешняя ссылка