Задачи Премии тысячелетия - Millennium Prize Problems

Эта статья о математических призах. Информацию о премии в области технологий см. Премия тысячелетия в области технологий.
Задачи Премии тысячелетия

В Задачи Премии тысячелетия семь проблем в математика что было заявлено Институт математики Клэя 24 мая 2000 г.[1] Проблемы - это Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера, Гипотеза Ходжа, Существование и гладкость Навье – Стокса., P против проблемы NP, Гипотеза Пуанкаре, Гипотеза Римана, и Существование Янга – Миллса и разрыв масс. Правильное решение любой из проблем приводит к АМЕРИКАНСКИЙ ДОЛЛАР$Приз в размере 1 миллиона вручается институтом первооткрывателю (ам).

На сегодняшний день единственная проблема, связанная с премией тысячелетия, которая решена, - это Гипотеза Пуанкаре, которое было решено в 2003 г. математик Григорий Перельман. Он отказался от призовых денег.

Решенная проблема

Гипотеза Пуанкаре

Основная статья: Гипотеза Пуанкаре

В размерности 2 a сфера характеризуется тем, что это единственная замкнутая и односвязная поверхность. Гипотеза Пуанкаре утверждает, что это верно и для размерности 3. Это центральная проблема более общей проблемы классификации всех 3-х коллектор. Точная формулировка гипотезы гласит:

Каждый односвязный, закрыто 3-х коллекторный является гомеоморфный к 3-сфера.

Доказательство этой гипотезы было дано Григорий Перельман в 2003 г. по работе Ричард Гамильтон; его рассмотрение было завершено в августе 2006 г., и Перельман был выбран для получения Медаль Филдса за его решение, но он отклонил награду.[2] Перельман был официально награжден Премией тысячелетия 18 марта 2010 г.[3] но он также отказался от этой награды и связанных с ней призовых от Института математики Клэя. Агентство Интерфакс процитировало Перельмана, сказавшего, что он считает приз несправедливым. Перельман сказал Интерфаксу, что считает свой вклад в решение гипотезы Пуанкаре не большим, чем вклад Гамильтона.[4]

Нерешенные проблемы

P против NP

Основная статья: P против проблемы NP

Вопрос в том, можно ли для всех задач, для которых алгоритм может проверять данное решение быстро (то есть в полиномиальное время ) алгоритм также может найти это решение быстро. Поскольку первый описывает класс проблем, называемых NP, а второй описывает P, вопрос эквивалентен вопросу, все ли проблемы в NP также находятся в P. Это обычно считается одним из наиболее важных открытых вопросов в математика и теоретическая информатика поскольку это имеет далеко идущие последствия для других проблем в математика, и чтобы биология, философия[5] и криптография (видеть Последствия доказательства проблемы P и NP ). Типичным примером проблемы NP, не имеющей отношения к P, является Проблема логической выполнимости.

Большинство математиков и компьютерных специалистов ожидают, что P ≠ NP; однако это остается недоказанным.[6]

Официальную постановку проблемы дал Стивен Кук.

Гипотеза Ходжа

Основная статья: Гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа состоит в том, что для проективный алгебраические многообразия, Циклы Ходжа рациональны линейные комбинации из алгебраические циклы.

Официальную постановку проблемы дал Пьер Делинь.

Гипотеза Римана

Основная статья: Гипотеза Римана

Гипотеза Римана состоит в том, что все нетривиальный нулей аналитического продолжения Дзета-функция Римана иметь реальную часть 1/2. Доказательство или опровержение этого будет иметь далеко идущие последствия в теория чисел, особенно для распространения простые числа. Это было Восьмая проблема Гильберта, и спустя столетие все еще считается важной открытой проблемой.

Официальную постановку проблемы дал Энрико Бомбьери.

Существование Янга – Миллса и разрыв масс

Основная статья: Существование Янга – Миллса и разрыв масс

В физике классическая Теория Янга – Миллса является обобщением теории Максвелла электромагнетизм где хромо-электромагнитное поле само несет заряд. Как классическая теория поля, у нее есть решения, которые движутся со скоростью света, так что ее квантовая версия должна описывать безмассовые частицы (глюоны ). Однако постулируемый феномен ограничение цвета допускает только связанные состояния глюонов, образующих массивные частицы. Это массовый разрыв. Другой аспект заключения - это асимптотическая свобода что делает возможным, что квантовая теория Янга-Миллса существует без ограничения низкоэнергетическими масштабами. Проблема состоит в том, чтобы строго установить существование квантовой теории Янга – Миллса и массовой щели.

Официальную постановку проблемы дал Артур Джаффе и Эдвард Виттен.[7]

Существование и гладкость Навье – Стокса.

Основная статья: Существование и гладкость Навье – Стокса.

В Уравнения Навье – Стокса описать движение жидкости, и являются одним из столпов механика жидкости. Однако теоретическое понимание их решений неполное. В частности, решения уравнений Навье – Стокса часто включают турбулентность, общее решение для которого остается одним из величайших нерешенные проблемы физики, несмотря на огромное значение в науке и технике.

Даже основные свойства решений Навье – Стокса никогда не доказывались. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют на все времена. Это называется Существование и гладкость Навье – Стокса. проблема.

Проблема состоит в том, чтобы продвинуться к математической теории, которая даст представление об этих уравнениях, доказав, что либо существуют гладкие, глобально определенные решения, удовлетворяющие определенным условиям, либо что они не всегда существуют, и уравнения не работают.

Официальную постановку проблемы дал Чарльз Фефферман.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Основная статья: Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера связана с определенными типами уравнений: определяющими эллиптические кривые над рациональное число. Гипотеза состоит в том, что существует простой способ определить, есть ли у таких уравнений конечное или бесконечное число рациональных решений. Десятая проблема Гильберта имел дело с уравнениями более общего типа, и в этом случае было доказано, что нет способа решить, имеет ли данное уравнение какие-либо решения.

Официальную постановку проблемы дал Эндрю Уайлс.[8]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Артур М. Джаффе «Грандиозный вызов тысячелетия по математике», "Уведомления AMS ", Июнь / июль 2000 г., том 53, номер 6, стр. 652-660
  2. ^ «Гений математики теряет главный приз». Новости BBC. 22 августа 2006 г.. Получено 16 июн 2011.
  3. ^ «Премия за разрешение гипотезы Пуанкаре присуждена доктору Григорию Перельману» (PDF) (Пресс-релиз). Институт математики Клэя. 18 марта 2010 г. Архивировано с оригинал (PDF ) 31 марта 2010 г.. Получено 18 марта, 2010. Институт математики Клэя (CMI) объявляет сегодня, что д-р Григорий Перельман из Санкт-Петербурга, Россия, стал лауреатом Премии тысячелетия за разрешение гипотезы Пуанкаре.
  4. ^ «Русский математик отвергает миллионную премию - Boston.com».
  5. ^ Скотт Ааронсон (14 августа 2011 г.). «Почему философы должны заботиться о вычислительной сложности». Технический отчет.
  6. ^ Уильям Гасарх (Июнь 2002 г.). «Опрос P =? NP» (PDF). Новости SIGACT. 33 (2): 34–47. Дои:10.1145/1052796.1052804.
  7. ^ Артур Джаффе и Эдвард Виттен "Квантовая теория Янга-Миллса. "Официальное описание проблемы.
  8. ^ Уайлс, Эндрю (2006). "Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера ". У Карлсона, Джеймса; Джаффе, Артур; Уайлс, Эндрю. Проблемы Премии тысячелетия. Американское математическое общество. С. 31–44. ISBN  978-0-8218-3679-8.
  • В эту статью вошли материалы из журнала "Проблемы тысячелетия" PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка