Тривиальность (математика) - Triviality (mathematics)

В математика, прилагательное банальный часто используется для ссылки на пункт формулы или случай, который можно легко получить из контекста, или объект, который имеет простую структуру (например, группы, топологические пространства ).^[1]^[2]^[3] Существительное мелочь обычно относится к простому техническому аспекту какого-либо доказательства или определения. Термин на математическом языке происходит от средневековья. тривиум учебный план, который отличает от более сложных квадривиум учебный план.^[2]^[4] Противоположностью тривиальности является нетривиальный, который обычно используется, чтобы указать, что пример или решение непросто, или что утверждение или теорему нелегко доказать.^[1]^[3]

Тривиальные и нетривиальные решения

В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним относятся, среди прочего

Пустой набор: the набор не содержащие или нулевые члены
Тривиальная группа: математический группа содержащий только элемент идентичности
Тривиальное кольцо: а звенеть определено на одноэлементный набор

"Банальный" также может использоваться для описания решений уравнение которые имеют очень простую структуру, но не могут быть пропущены для полноты картины. Эти решения называются тривиальные решения. Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

{ displaystyle y '= y}

где ${ Displaystyle у = у (х)}$ это функция чей производная является ${ displaystyle y '}$ . Тривиальное решение

{ Displaystyle у (х) = 0}

, то нулевая функция

в то время как нетривиальный решение

{ Displaystyle у (х) = е ^ {х}}

, то экспоненциальная функция.

Дифференциальное уравнение ${ displaystyle f '' (x) = - lambda f (x)}$ с граничными условиями ${ Displaystyle f (0) = f (L) = 0}$ важен в математике и физике, так как его можно использовать для описания частица в коробке в квантовой механике, или стоячая волна на веревочке. Он всегда включает решение ${ displaystyle f (x) = 0}$ , которое считается очевидным и потому называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут быть другие решения (синусоиды ), которые называются «нетривиальными» решениями.^[5]

Точно так же математики часто описывают Последняя теорема Ферма утверждая, что нет нетривиальный целочисленные решения уравнения ${ Displaystyle а ^ {п} + Ь ^ {п} = с ^ {п}}$ , где п больше 2. Ясно, что есть решения уравнения. Например, ${ Displaystyle а = Ь = с = 0}$ решение для любого п, но такие решения очевидны и доступны без особых усилий, а потому «тривиальны».

В математических рассуждениях

Банальный может также относиться к любому простому кейс доказательства, которое для полноты нельзя игнорировать. Например, доказательства математическая индукция состоят из двух частей: «базовый случай», который показывает, что теорема верна для определенного начального значения (например, п = 0 или п = 1), и шаг индукции, который показывает, что если теорема верна для определенного значения п, то это верно и для значения п + 1. Базовый случай часто тривиален и идентифицируется как таковой, хотя бывают ситуации, когда базовый случай сложен, но шаг индукции тривиален. Точно так же можно было бы доказать, что некоторым свойством обладают все члены определенного набора. Основная часть доказательства будет рассматривать случай непустого множества и детально исследовать его члены; в случае, когда множество пусто, свойство тривиально принадлежит всем членам, так как их нет (см. пустая правда для большего).

В математическом сообществе часто шутят, что «тривиальная» синонимична слову «доказано», то есть любую теорему можно считать «тривиальной», если известно, что она истинна.^[2]

Другая шутка касается двух математиков, которые обсуждают теорему: первый математик говорит, что теорема «тривиальна». В ответ на просьбу другого дать объяснения он затем переходит к двадцатиминутному изложению. В конце объяснения второй математик соглашается, что теорема тривиальна. Эти анекдоты указывают на субъективность суждений о тривиальности. Шутка также применима, когда первый математик говорит, что теорема тривиальна, но не может доказать ее сам. Часто в шутку теорему называют «интуитивно очевидной». Кто-то испытал в исчисление, например, считает тривиальным следующее утверждение:

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {2} , dx = { frac {1} {3}}}

Однако для человека, не знакомого с интегральным исчислением, это совсем не очевидно.

Тривиальность также зависит от контекста. Доказательство в функциональный анализ вероятно, учитывая число, тривиально предположил бы существование большего числа. Однако при доказательстве основных результатов о натуральных числах в элементарная теория чисел, доказательство вполне может основываться на замечании о том, что любое натуральное число имеет преемника - утверждение, которое само должно быть доказано или приниматься за аксиома (подробнее см. Аксиомы Пеано ).

Тривиальные доказательства

В некоторых текстах тривиальное доказательство относится к заявлению с участием материальное значение п→Q, где последующий, Q, всегда верно.^[6] Здесь доказательство следует непосредственно в силу определения материальной импликации, поскольку импликация истинна независимо от истинностного значения предшествующий п.^[6]

Связанная концепция - это пустая правда, где антецедент п в материальном смысле п→Q всегда ложно.^[6] Здесь импликация всегда истинна, независимо от истинности последующего Q- снова в силу определения материального подтекста.^[6]

Примеры

В теория чисел, часто бывает важно найти факторы целого числа N. Любой номер N имеет четыре очевидных фактора: ± 1 и ±N. Это так называемые «тривиальные факторы». Любой другой фактор, если он существует, был бы назван «нетривиальным».^[7]
Однородный матрица уравнение ${ Displaystyle А mathbf {x} = mathbf {0}}$ , где ${ displaystyle A}$ фиксированная матрица, ${ displaystyle mathbf {x}}$ - неизвестный вектор, и ${ displaystyle mathbf {0}}$ - нулевой вектор, имеет очевидное решение ${ Displaystyle mathbf {x} = mathbf {0}}$ . Это называется «тривиальным решением». Если есть другие решения ${ Displaystyle mathbf {х} neq mathbf {0}}$ , то они были бы названы «нетривиальными»^[8]
В теория групп, есть очень простая группа, в которой всего один элемент; ее часто называют «тривиальной группой». Все остальные группы, более сложные, называются «нетривиальными».
В теория графов, тривиальный граф - это граф, у которого есть только одна вершина и нет ребра.
Теория баз данных есть концепция под названием функциональная зависимость, написано ${ Displaystyle от X до Y}$ . Зависимость ${ Displaystyle от X до Y}$ верно, если Y это подмножество из Икс, поэтому такой вид зависимости называется «тривиальным». Все остальные зависимости, менее очевидные, называются «нетривиальными».
Можно показать, что Дзета-функция Римана имеет нули при отрицательных четных числах -2, -4, ... Хотя доказательство сравнительно простое, этот результат все же обычно нельзя назвать тривиальным; однако именно в этом случае для его Другой нули, как правило, неизвестны, имеют важное применение и включают открытые вопросы (например, Гипотеза Римана ). Соответственно, отрицательные четные числа называются тривиальными нулями функции, а любые другие нули считаются нетривиальными.

Смотрите также

внешняя ссылка

Тривиальная запись в MathWorld

[:0-1] а ^б «Окончательный словарь высшего математического жаргона - тривиальный». Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-14.

[:1-2] а ^б ^c Вайсштейн, Эрик В. "Тривиально". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-14.

[:2-3] а ^б "Mathwords: Trivial". www.mathwords.com. Получено 2019-12-14.

[4] Айто, Джон (1990). Словарь происхождения слов. Техасский университет Press. п. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC 33022699.

[5] Zachmanoglou, E.C .; Тхо, Дейл В. (1986). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными с приложениями. п. 309. ISBN 9780486652511.

[Chartrand-6] а ^б ^c ^d Чартран, Гэри; Polimeni, Albert D .; Чжан, Пин (2008). Математические доказательства: переход к высшей математике (2-е изд.). Бостон: Пирсон / Эддисон Уэсли. п.68. ISBN 978-0-3-2139053-0.

[7] Ян, Сонг Ю. (2002). Теория чисел для вычислений (2-е, иллюстрированное изд.). Берлин: Springer. п. 250. ISBN 3-540-43072-5.

[8] Джеффри, Алан (2004). Математика для инженеров и ученых (Шестое изд.). CRC Press. п. 502. ISBN 1-58488-488-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]