P против проблемы NP - P versus NP problem

Нерешенная проблема в информатике: Если решение проблемы легко проверить на правильность, должна ли проблема быть легко решаемой? (больше нерешенных проблем в информатике)

Схема классов сложности при условии, что п ≠  НП. Наличие проблем внутри НП но за пределами обоих п и НП-полное, при этом предположении, было установлено Теорема Ладнера.^[1]

В P против проблемы NP является основным нерешенная проблема в информатике. Он спрашивает, можно ли быстро решить каждую проблему, решение которой можно быстро проверить.

Это один из семи Задачи Премии тысячелетия выбран Институт математики Клэя, каждый из которых приносит приз в размере 1 000 000 долларов США за первое правильное решение.

Неофициальный термин быстро, использованный выше, означает наличие алгоритм решение задачи, которая выполняется в полиномиальное время, так что время выполнения задачи меняется как полиномиальная функция от размера входа в алгоритм (в отличие, скажем, от экспоненциальное время ). Общий класс вопросов, на которые некоторый алгоритм может дать ответ за полиномиальное время, называется "классом". п" или просто "п". На некоторые вопросы нет известного способа быстро найти ответ, но если ему предоставить информацию, показывающую, каков ответ, можно быстро проверить ответ. Класс вопросов, на которые может быть дан ответ проверено в полиномиальное время называется НП, что означает «недетерминированное полиномиальное время».^{[Примечание 1]}

Ответ на п = НП вопрос будет определять, могут ли проблемы, которые можно проверить за полиномиальное время, также решить за полиномиальное время. Если бы оказалось, что п ≠ НП, что широко распространено, это означало бы, что есть проблемы в НП которые труднее вычислить, чем проверить: их нельзя решить за полиномиальное время, но ответ можно проверить за полиномиальное время.

Помимо того, что это важная проблема в теории вычислений, доказательство в любом случае будет иметь серьезные последствия для математики, криптографии, исследования алгоритмов и т. Д. искусственный интеллект, теория игры, обработка мультимедиа, философия, экономика и многие другие области.^[2]

Пример

Учитывать Судоку, игра, в которой игроку предоставляется частично заполненная сетка чисел и он пытается заполнить сетку, следуя определенным правилам. Имеется ли хотя бы одно легальное решение при неполной сетке судоку любого размера? Любое предлагаемое решение легко проверить, и время проверки решения растет медленно (полиномиально) по мере увеличения сетки. Однако для всех известных алгоритмов поиска решений для сложных примеров требуется время, которое экспоненциально растет по мере увеличения сетки. Итак, судоку в НП (можно быстро проверить), но, похоже, нет в п (быстро решается). Тысячи других проблем кажутся похожими в том смысле, что их быстро проверить, но медленно решить. Исследователи показали, что многие проблемы в НП имеют дополнительное свойство, заключающееся в том, что быстрое решение любого из них может быть использовано для создания быстрого решения любой другой проблемы в НП, свойство под названием НП-полнота. Десятилетия поисков не привели к быстрому решению ни одной из этих проблем, поэтому большинство ученых подозревают, что ни одна из этих проблем не может быть решена быстро. Однако это никогда не было доказано.

История

Точное заявление п против НП проблема была введена в 1971 г. Стивен Кук в его основополагающей статье «Сложность процедур доказательства теорем»^[3] (и независимо Леонид Левин в 1973 г.^[4]) и считается многими наиболее важной открытой проблемой в Информатика.^[5]

Хотя п против НП Формально проблема была определена в 1971 г., ранее были предчувствия связанных с ней проблем, сложности доказательства и возможных последствий. В 1955 г. математик Джон Нэш написал письмо в АНБ, где он предположил, что взлом достаточно сложного кода потребует экспоненциальной зависимости длины ключа от времени.^[6] Если бы это было доказано (а Нэш был достаточно скептически настроен), это означало бы то, что сейчас называется п ≠ НП, так как предложенный ключ легко проверить за полиномиальное время. Еще одно упоминание об основной проблеме произошло в письме 1956 года, написанном Курт Гёдель к Джон фон Нейман. Гёдель спросил, действительно ли доказательство теорем (ныне известное как со-НП-полный ) может быть решена в квадратичный или же линейное время,^[7] и указал на одно из наиболее важных следствий: если так, то открытие математических доказательств можно автоматизировать.

Контекст

Связь между классы сложности п и НП изучается в теория сложности вычислений, часть теория вычислений работа с ресурсами, необходимыми во время вычислений для решения данной проблемы. Наиболее распространенные ресурсы - это время (сколько шагов требуется для решения проблемы) и пространство (сколько памяти требуется для решения проблемы).

В таком анализе требуется модель компьютера, для которого необходимо проанализировать время. Обычно такие модели предполагают, что компьютер детерминированный (учитывая текущее состояние компьютера и любые входные данные, есть только одно возможное действие, которое компьютер может предпринять) и последовательный (выполняет действия одно за другим).

В этой теории класс п состоит из всех тех проблемы решения (определенный ниже ), которое может быть решено на детерминированной последовательной машине за время, равное многочлен по размеру ввода; класс НП состоит из всех тех проблем решения, положительные решения которых могут быть проверены в полиномиальное время учитывая правильную информацию, или, что то же самое, решение которой можно найти за полиномиальное время на недетерминированный машина.^[8] Четко, п ⊆ НП. Возможно, самый большой открытый вопрос в теоретическая информатика касается отношений между этими двумя классами:

Является п равно НП?

С 2002 г. Уильям Гасарх провела три опроса исследователей по этому и смежным вопросам.^[9][10][11] Уверенность, что п ≠ НП растет - в 2019 году 88% считали п ≠ НП, по сравнению с 83% в 2012 году и 61% в 2002 году. Если ограничиться только экспертами, ответы 2019 года стали 99% п ≠ НП.^[11]

NP-полнота

Диаграмма Эйлера за п, НП, НП-полный, и НП-жесткий набор задач (исключая пустой язык и его дополнение, принадлежащие п но не НП-полный)

Основная статья: NP-полнота

Чтобы атаковать п = НП вопрос, концепция НП-полнота очень полезна. НП-полные задачи - это набор задач, к каждой из которых любые другие НП-задача может быть уменьшена за полиномиальное время и решение которой может быть проверено за полиномиальное время. То есть любой НП проблема может быть преобразована в любую из НП-полные проблемы. Неофициально НП-полная проблема - это НП проблема, которая по крайней мере такая же «сложная», как и любая другая проблема в НП.

НП-жесткий проблемы, по крайней мере, такие же сложные, как НП проблемы, т.е. все НП проблемы могут быть сведены (за полиномиальное время) к ним. НП-сложные проблемы не должны быть в НП, т.е. им не обязательно иметь решения, проверяемые за полиномиальное время.

Например, Проблема логической выполнимости является НП-полно Теорема Кука – Левина, так любой экземпляр любой проблема в НП может быть механически преобразован в пример проблемы булевой выполнимости за полиномиальное время. Проблема булевой выполнимости - одна из многих НП-полные проблемы. Если есть НП-полная проблема в п, то из этого следует, что п = НП. Однако было показано, что многие важные проблемы НП-полный, и не известен быстрый алгоритм для любого из них.

Исходя только из определения не очевидно, что НП-полные проблемы есть; однако банальный и надуманный НП-полная задача может быть сформулирована следующим образом: дано описание Машина Тьюринга M гарантированно остановится за полиномиальное время, существует ли вход полиномиального размера, который M приму?^[12] Он находится в НП потому что (учитывая ввод) легко проверить, M принимает ввод, моделируя M; это НП-полный, потому что верификатор для любого конкретного случая проблемы в НП можно закодировать как машину полиномиального времени M что требует проверки решения в качестве входных данных. Тогда вопрос о том, является ли экземпляр экземпляром «да» или «нет», определяется тем, существует ли допустимый ввод.

Первая естественная проблема оказалась НП-complete была проблема логической выполнимости, также известная как SAT. Как отмечалось выше, это теорема Кука – Левина; его доказательство того, что выполнимость НП-complete содержит технические подробности о машинах Тьюринга, поскольку они относятся к определению НП. Однако после того, как эта проблема была доказана, НП-полный, доказательство сокращением предоставили более простой способ показать, что многие другие проблемы также НП-полный, включая игру Судоку, о которой говорилось ранее. В этом случае доказательство показывает, что решение судоку за полиномиальное время также может быть использовано для завершения Латинские квадраты за полиномиальное время.^[13] Это, в свою очередь, дает решение проблемы разделения трехчастные графы в треугольники,^[14] который затем может быть использован для поиска решений для особого случая SAT, известного как 3-SAT,^[15] который затем дает решение для общей булевой выполнимости. Таким образом, решение судоку за полиномиальное время приводит путем ряда механических преобразований к полиномиальному решению выполнимости, которое, в свою очередь, может быть использовано для решения любых других задач. НП-задача за полиномиальное время. Используя подобные преобразования, можно свести друг к другу обширный класс, казалось бы, не связанных между собой проблем, и в некотором смысле они являются «одной и той же проблемой».

Более серьезные проблемы

Смотрите также: Класс сложности

Хотя неизвестно, были ли п = НП, проблемы за пределами п известны. Так же как класс п определяется в терминах полиномиального времени работы, класс EXPTIME это набор всех задач решения, которые экспоненциальный Продолжительность. Другими словами, любая проблема в EXPTIME разрешима детерминированная машина Тьюринга в О (2^п(п)) время, где п(п) является полиномиальной функцией от п. Проблема решения EXPTIME-полный если это в EXPTIME, и каждая проблема в EXPTIME имеет редукция "много-один" за полиномиальное время к нему. Известно, что ряд проблем EXPTIME-полный. Потому что можно показать, что п ≠ EXPTIME, эти проблемы вне п, и поэтому требуется более чем полиномиальное время. Фактически, по теорема об иерархии времени, они не могут быть решены за значительно меньшее, чем экспоненциальное время. Примеры включают поиск идеальной стратегии для шахматы позиции на N × N доска^[16] и аналогичные проблемы для других настольных игр.^[17]

Проблема определения истинности утверждения в Арифметика пресбургера требует еще больше времени. Фишер и Рабин доказано в 1974 г.^[18] что каждый алгоритм, определяющий истинность утверждений Пресбургера длины п имеет время выполнения не менее ${displaystyle 2^{2^{cn}}}$ для некоторой постоянной c. Следовательно, известно, что проблема требует большего, чем экспоненциальное время выполнения. Еще сложнее неразрешимые проблемы, такой как проблема остановки. Они не могут быть полностью решены никаким алгоритмом в том смысле, что для любого конкретного алгоритма существует по крайней мере один вход, для которого этот алгоритм не даст правильного ответа; он либо даст неправильный ответ, либо закончит, не дав окончательный ответ, либо будет работать вечно, не получив вообще никакого ответа.

Также возможно рассмотреть другие вопросы, помимо проблем с решением. Один такой класс, состоящий из задач счета, называется #П: тогда как НП проблема спрашивает «Есть ли решения?», соответствующий #П проблема спрашивает: "Сколько существует решений?" Ясно, что #П задача должна быть не менее сложной, чем соответствующая НП проблема, поскольку счетчик решений сразу сообщает, существует ли хотя бы одно решение, если счетчик больше нуля. Удивительно, но некоторые #П задачи, которые считаются сложными, соответствуют легким (например, линейное время) п проблемы.^[19] Для этих проблем очень легко определить, существуют ли решения, но трудно сказать, сколько именно. Многие из этих проблем #П-полный, и, следовательно, одна из самых сложных проблем в #П, поскольку решение любого из них за полиномиальное время позволило бы получить решение за полиномиальное время для всех остальных #П проблемы.

Не известно, что проблемы в NP находятся в P или NP-полных

Основная статья: НП-средний

В 1975 г. Ричард Э. Ладнер показал, что если п ≠ НП тогда есть проблемы в НП которые ни в п ни НП-полный.^[1] Такие проблемы называются НП-посредственные проблемы. В проблема изоморфизма графов, то задача дискретного логарифмирования и проблема целочисленной факторизации примеры проблем, которые считаются НП-средний. Они одни из очень немногих НП проблемы, о которых не известно п или быть НП-полный.

Проблема изоморфизма графов - это вычислительная проблема определения того, являются ли две конечные графики находятся изоморфный. Важной нерешенной проблемой теории сложности является вопрос о том, находится ли проблема изоморфизма графов в п, НП-полный, или НП-средний. Ответ не известен, но считается, что проблема как минимум не в НП-полный.^[20] Если изоморфизм графов НП-завершить полиномиальная временная иерархия рушится до второго уровня.^[21] Поскольку широко распространено мнение, что иерархия полиномов не разрушается до какого-либо конечного уровня, считается, что изоморфизм графов не является НП-полный. Лучший алгоритм для этой проблемы, благодаря Ласло Бабай и Евгений Лукс, время выполнения 2^{O (√п бревно п)} для графиков с п вершины.

В проблема целочисленной факторизации вычислительная задача определения простые множители заданного целого числа. Сформулированный как проблема решения, это проблема определения того, имеет ли вход фактор меньше, чем k. Эффективный алгоритм целочисленной факторизации неизвестен, и этот факт лежит в основе нескольких современных криптографических систем, таких как ЮАР алгоритм. Проблема целочисленной факторизации находится в НП И в со-НП (и даже в ВВЕРХ и совместная работа^[22]). Если проблема в НП-complete, иерархия полиномиального времени рухнет до своего первого уровня (т. е. НП = со-НП). Самый известный алгоритм целочисленной факторизации - это общее числовое поле сито, что занимает ожидаемое время

${displaystyle Oleft(exp left(left({ frac {64n}{9}}log(2)ight)^{frac {1}{3}}left(log(nlog(2))ight)^{frac {2}{3}}ight)ight)}$

фактор п-битовое целое число. Однако наиболее известные квантовый алгоритм для этой проблемы, Алгоритм Шора, действительно выполняется за полиномиальное время, хотя это не указывает на то, в чем проблема в отношении не-классы квантовой сложности.

P означает "легкий"?

График показывает время (в среднем 100 экземпляров в мс при использовании Pentium III 933 МГц) в зависимости от размера задачи для задач с рюкзаком для современного специализированного алгоритма. Квадратичная аппроксимация предполагает, что эмпирическая алгоритмическая сложность для случаев с 50–10 000 переменных составляет O ((log (п))²).^[23]

Все приведенное выше обсуждение предполагало, что п означает "легко" и "не в п"означает" жесткий ", предположение, известное как Тезис Кобэма. Это распространенное и достаточно точное предположение в теории сложности; однако есть некоторые предостережения.

Во-первых, на практике это не всегда так. Теоретический полиномиальный алгоритм может иметь чрезвычайно большие постоянные коэффициенты или показатели, что делает его непрактичным. Например, проблема решение ли график грамм содержит ЧАС как незначительный, куда ЧАС фиксируется, может быть решена за время работы О(п²),^[24] куда п это количество вершин в грамм. Тем не менее нотация большой O скрывает константу, сверхэкспоненциально зависящую от ЧАС. Константа больше чем ${displaystyle 2uparrow uparrow (3+2uparrow uparrow (h/2))}$ (с помощью Обозначение Кнута со стрелкой вверх ), и где час это количество вершин в ЧАС.^[25]

С другой стороны, даже если проблема НП-полный, и даже если п ≠ НП, возможно, еще существуют эффективные подходы к решению проблемы на практике. Есть алгоритмы для многих НП-полные проблемы, такие как проблема с рюкзаком, то задача коммивояжера и Проблема логической выполнимости, который может оптимально решить многие реальные экземпляры за разумное время. Эмпирический средняя сложность (время против размера проблемы) таких алгоритмов может быть на удивление мало. Примером может служить симплексный алгоритм в линейное программирование, что на удивление хорошо работает на практике; несмотря на экспоненциальный наихудший случай временная сложность он работает наравне с наиболее известными алгоритмами с полиномиальным временем.^[26]

Наконец, есть типы вычислений, которые не соответствуют модели машины Тьюринга, на которой п и НП определены, например квантовые вычисления и рандомизированные алгоритмы.

Причины полагать, что P ≠ NP или P = NP

Согласно опросам,^[9][27] большинство компьютерных ученых считают, что п ≠ НП. Основная причина этого убеждения заключается в том, что после десятилетий изучения этих проблем никому не удалось найти алгоритм с полиномиальным временем для любого из более чем 3000 важных известных НП-полные задачи (см. Список НП-полные проблемы ). Эти алгоритмы искали задолго до появления концепции НП-полнота даже была определена (Карпа 21 НП-полные проблемы, среди первых обнаруженных, были все хорошо известные существующие проблемы в то время, когда было показано, что они НП-полный). Кроме того, результат п = НП будет означать много других поразительных результатов, которые в настоящее время считаются ложными, например НП = со-НП и п = PH.

Также интуитивно утверждается, что существование проблем, которые трудно решить, но решения которых легко проверить, соответствует реальному опыту.^[28]

Если п = НП, тогда мир был бы совершенно другим местом, чем мы обычно предполагаем. В «творческих скачках» не будет особой ценности, нет фундаментального разрыва между решением проблемы и признанием решения, когда оно будет найдено.

— Скотт Ааронсон, UT Остин

С другой стороны, некоторые исследователи считают, что верить в п ≠ НП и что исследователи должны изучить доказательства п = НП также. Например, в 2002 году были сделаны такие заявления:^[9]

Главный аргумент в пользу п ≠ НП это полное отсутствие фундаментального прогресса в области исчерпывающего поиска. Это, на мой взгляд, очень слабый аргумент. Пространство алгоритмов очень велико, и мы находимся только в начале его освоения. [...] Разрешение Последняя теорема Ферма также показывает, что очень простые вопросы могут быть решены только очень глубокими теориями.

— Моше Й. Варди, Университет Райса

Привязанность к спекуляциям - не лучший способ планирования исследования. Всегда нужно пробовать оба направления каждой проблемы. Предрассудки привели к тому, что знаменитые математики не смогли решить известные задачи, решение которых противоречило их ожиданиям, даже несмотря на то, что они разработали все необходимые методы.

— Анил Нероде, Корнелл Университет

Последствия решения

Одна из причин, по которой проблема привлекает так много внимания, - это последствия ответа. Любое из направлений решения могло бы значительно продвинуть теорию и, возможно, также имело бы огромные практические последствия.

P = NP

Доказательство того, что п = НП может иметь потрясающие практические последствия, если доказательство приведет к эффективным методам решения некоторых важных проблем в НП. Также возможно, что доказательство не приведет непосредственно к эффективным методам, возможно, если доказательство неконструктивный, или размер ограничивающего полинома слишком велик, чтобы быть эффективным на практике. Последствия, как положительные, так и отрицательные, возникают из-за различных НП-Полные задачи являются фундаментальными во многих областях.

Криптография, например, решает определенные проблемы. Конструктивное и эффективное решение^{[Заметка 2]} для НП-полная проблема, такая как 3-СБ сломает большинство существующих криптосистем, включая:

• Существующие реализации криптография с открытым ключом,^[29] основа для многих современных приложений безопасности, таких как безопасные финансовые транзакции через Интернет.
• Симметричные шифры Такие как AES или же 3DES,^[30] используется для шифрования данных связи.
• Криптографическое хеширование, лежащий в основе блокчейн криптовалюты Такие как Биткойн, и используется для проверки подлинности обновлений программного обеспечения. Для этих приложений проблема поиска прообраза, хеширующего заданное значение, должна быть сложной, чтобы быть полезной, и в идеале должна требовать экспоненциального времени. Однако если п = НП, затем поиск прообраза M может быть выполнено за полиномиальное время за счет сокращения до SAT.^[31]

Их необходимо изменить или заменить на теоретически безопасный решения, не основанные на п-НП неэквивалентность.

С другой стороны, есть колоссальные положительные последствия, которые могут возникнуть в результате решения многих математически трудноразрешимых в настоящее время проблем. Например, много проблем в исследование операций находятся НП-полный, например, некоторые виды целочисленное программирование и задача коммивояжера. Эффективные решения этих проблем будут иметь огромное значение для логистики. Многие другие важные проблемы, такие как некоторые проблемы в предсказание структуры белка, являются также НП-полный;^[32] если бы эти проблемы были эффективно решены, это могло бы стимулировать значительный прогресс в науках о жизни и биотехнологиях.

Но такие изменения могут бледнеть по значимости по сравнению с революцией - эффективным методом решения НП-полные проблемы вызовут в самой математике. Гёдель в своих ранних размышлениях о вычислительной сложности отметил, что механический метод, который может решить любую проблему, произведет революцию в математике:^[33][34]

Если бы действительно существовала машина с φ (n) ∼ k ⋅ n (или даже ∼ k ⋅ n²), это имело бы самые важные последствия. А именно, это, очевидно, означало бы, что, несмотря на неразрешимость Entscheidungsproblem, умственную работу математика над вопросами типа «да или нет» можно было бы полностью заменить машиной. В конце концов, нужно было бы просто выбрать натуральное число n настолько большим, чтобы, когда машина не выдает результат, не было смысла больше думать о проблеме.

По аналогии, Стивен Кук говорит^[35]

... это изменило бы математику, позволив компьютеру найти формальное доказательство любой теоремы, имеющее доказательство разумной длины, поскольку формальные доказательства можно легко распознать за полиномиальное время. Примеры проблем могут включать все Призовые задачи CMI.

Математики-исследователи проводят свою карьеру, пытаясь доказать теоремы, и на поиск некоторых доказательств после того, как были сформулированы проблемы, потребовались десятилетия или даже столетия - например, Последняя теорема Ферма на то, чтобы доказать это, потребовалось более трех столетий. Метод, который гарантированно найдет доказательства теорем, если существует «разумный» объем, по существу положил бы конец этой борьбе.

Дональд Кнут заявил, что он пришел к выводу, что п = НП, но сдерживается в отношении воздействия возможного доказательства:^[36]

[...] Я не верю, что равенство п = НП окажется полезным, даже если оно будет доказано, потому что такое доказательство почти наверняка будет неконструктивным.

P ≠ NP

Доказательство, которое показало, что п ≠ НП будет недоставать практических вычислительных преимуществ доказательства того, что п = НП, но тем не менее представляет собой очень значительный прогресс в теории сложности вычислений и послужит руководством для будущих исследований. Это позволило бы формально показать, что многие общие проблемы не могут быть решены эффективно, так что внимание исследователей может быть сосредоточено на частичных решениях или решениях других проблем. Из-за широко распространенной веры в п ≠ НП, большая часть этого исследования уже состоялась.^[37]

Также п ≠ НП все еще оставляет открытым средняя сложность сложных проблем в НП. Например, возможно, что SAT требует экспоненциального времени в худшем случае, но что почти все случайно выбранные его экземпляры могут быть эффективно решены. Рассел Импальяццо описал пять гипотетических «миров», которые могут возникнуть в результате различных возможных решений вопроса о средней сложности.^[38] Они варьируются от «Алгоритмики», где п = НП и такие проблемы, как SAT, могут быть решены эффективно во всех случаях, до «Криптомании», где п ≠ НП и создание сложных примеров проблем за пределами п легко, с тремя промежуточными возможностями, отражающими различные возможные распределения сложности по экземплярам НП-сложные проблемы. "Мир", где п ≠ НП но все проблемы в НП сговорчивы в среднем случае в статье называется «эвристикой». А Университет Принстона семинар 2009 г. изучал состояние пяти миров.^[39]

Результаты о сложности доказательства

Хотя п = НП Сама проблема остается открытой, несмотря на приз в миллион долларов и огромное количество целенаправленных исследований, усилия по решению проблемы привели к появлению нескольких новых методов. В частности, некоторые из наиболее плодотворных исследований, связанных с п = НП Проблема заключалась в том, чтобы показать, что существующие методы доказательства недостаточно эффективны, чтобы ответить на этот вопрос, таким образом предполагая, что требуются новые технические подходы.

В качестве дополнительного доказательства сложности проблемы, по существу, все известные методы доказательства в теория сложности вычислений попадают в одну из следующих классификаций, каждая из которых, как известно, недостаточна для доказательства того, что п ≠ НП:

Классификация	Определение
Релятивизирующие доказательства	Представьте себе мир, в котором каждому алгоритму разрешено делать запросы к некоторой фиксированной подпрограмме, называемой оракул (черный ящик, который может отвечать на фиксированный набор вопросов за постоянное время, например черный ящик, который решает любую заданную задачу коммивояжера за 1 шаг), и время работы оракула не засчитывается во время работы алгоритма . Большинство доказательств (особенно классических) одинаково применимы в мире с оракулами, независимо от того, что делает оракул.Эти доказательства называются релятивизирующий. В 1975 году Бейкер, Гилл и Соловей показало, что п = НП относительно некоторых оракулов, в то время как п ≠ НП для других оракулов.[40] Поскольку релятивизирующие доказательства могут доказать только утверждения, которые единообразно истинны по отношению ко всем возможным оракулам, это показало, что релятивизирующие методы не могут разрешить п = НП.
Естественные доказательства	В 1993 г. Александр Разборов и Стивен Рудич определил общий класс методов доказательства для нижних оценок сложности схемы, названный естественные доказательства.[41] В то время все ранее известные нижние границы схемы были естественными, а сложность схемы считалась очень многообещающим подходом для решения п = НП. Однако Разборов и Рудич показали, что если односторонние функции существуют, то никакой естественный метод доказательства не может различить п и НП. Хотя формально существование односторонних функций никогда не было доказано, большинство математиков полагают, что они существуют, и доказательство их существования было бы гораздо более сильным утверждением, чем п ≠ НП. Таким образом, маловероятно, что одни лишь естественные доказательства могут разрешить п = НП.
Алгебризация доказательств	После результата Бейкера-Гилла-Соловея новые нерелятивизирующие методы доказательства были успешно использованы для доказательства того, что IP = PSPACE. Однако в 2008 г. Скотт Ааронсон и Ави Вигдерсон показал, что основной технический инструмент, используемый в IP = PSPACE доказательство, известное как арифметизация, также было недостаточно для разрешения п = НП.[42]

Эти препятствия - еще одна причина, почему НП-полные задачи полезны: если алгоритм с полиномиальным временем может быть продемонстрирован для НП-полная проблема, это решило бы п = НП проблема, не исключенная приведенными выше результатами.

Эти препятствия также заставили некоторых компьютерных ученых предположить, что п против НП проблема может быть независимый стандартных систем аксиом, таких как ZFC (в них нельзя ни доказать, ни опровергнуть). Интерпретация результата независимости может заключаться в том, что либо не существует алгоритма с полиномиальным временем для любого НП-полная проблема, и такое доказательство не может быть построено (например) в ZFC, или в полиномиальных алгоритмах для НП- могут быть неполные проблемы, но невозможно доказать в ZFC, что такие алгоритмы верны.^[43] Однако, если можно показать, используя известные в настоящее время методы, что проблема не может быть решена даже при гораздо более слабых предположениях, расширяющих Аксиомы Пеано (PA) для целочисленной арифметики, то обязательно должны существовать алгоритмы с почти полиномиальным временем для каждой задачи в НП.^[44] Следовательно, если кто-то считает (как и большинство теоретиков сложности), что не все проблемы в НП иметь эффективные алгоритмы, из этого следует, что доказательства независимости с использованием этих методов невозможны. Кроме того, этот результат подразумевает, что доказать независимость от PA или ZFC с помощью известных в настоящее время методов не проще, чем доказать существование эффективных алгоритмов для всех проблем в НП.

Заявленные решения

В то время как п против НП проблема обычно считается нерешенной,^[45] многие любители и некоторые профессиональные исследователи заявили о своих решениях. Герхард Й. Вёгингер ведет список, который по состоянию на 2018 год содержит 62 предполагаемых доказательства п = НП, 50 доказательств п ≠ НП, 2 доказывает, что проблема недоказуема, и одно доказательство того, что она неразрешима.^[46] Некоторые попытки решить п против НП получили краткое внимание СМИ,^[47] хотя с тех пор эти попытки были опровергнуты.

Логические характеристики

В п = НП проблема может быть переформулирована в терминах выразимых определенных классов логических утверждений, в результате работы в описательная сложность.

Рассмотрим все языки конечных структур с фиксированным подпись включая линейный порядок связь. Тогда все такие языки в п можно выразить в логика первого порядка с добавлением подходящего наименьшего комбинатор с фиксированной точкой. Фактически, это в сочетании с порядком позволяет определять рекурсивные функции. До тех пор, пока сигнатура содержит хотя бы один предикат или функцию в дополнение к выделенному отношению порядка, так что объем пространства, занимаемого для хранения таких конечных структур, фактически является полиномиальным по отношению к количеству элементов в структуре, это точно характеризует п.

По аналогии, НП можно ли выразить набор языков в экзистенциальном логика второго порядка - то есть логика второго порядка ограничена исключением универсальная количественная оценка над отношениями, функциями и подмножествами. Языки в полиномиальная иерархия, PH, соответствуют всей логике второго порядка. Таким образом, вопрос "заключается в п собственное подмножество НП«может быть переформулировано как« способна ли экзистенциальная логика второго порядка описывать языки (конечных линейно упорядоченных структур с нетривиальной сигнатурой), которые логика первого порядка с наименьшей фиксированной точкой не может? ».^[48] Слово «экзистенциальный» можно даже исключить из предыдущей характеристики, поскольку п = НП если и только если п = PH (поскольку первый установит, что НП = со-НП, что, в свою очередь, означает, что НП = PH).

Алгоритмы с полиномиальным временем

Нет алгоритма для любого НП-полная задача, как известно, выполняется за полиномиальное время. Однако есть алгоритмы, известные НП-полные проблемы со свойством, если п = НП, то алгоритм запускается за полиномиальное время при приеме экземпляров (хотя и с огромными константами, что делает алгоритм непрактичным). Однако эти алгоритмы не квалифицируются как полиномиальное время, потому что их время работы при отклонении экземпляров не полиномиально. Следующий алгоритм, благодаря Левин (без цитирования), вот такой пример ниже. Он правильно принимает НП-полный язык ПОДСТАВКА-СУММА. Он запускается за полиномиальное время на входах, которые находятся в SUBSET-SUM тогда и только тогда, когда п = НП:

// Алгоритм, принимающий НП-полный язык ПОДСТАВКА-СУММА.//// это алгоритм с полиномиальным временем тогда и только тогда, когда п = НП.//// «Полиномиальное время» означает, что он возвращает «да» в полиномиальное время, когда// ответ должен быть «да», и работать вечно, если ответ «нет».//// Ввод: S = конечный набор целых чисел// Вывод: «да», если любое подмножество S в сумме дает 0.// Работает вечно, иначе ничего не выводится.// Примечание: "Номер программы M" - это программа, полученная// записываем целое число M в двоичном формате, затем// считая эту строку битов// программа. Каждая возможная программа может быть// генерируется таким образом, хотя большинство из них ничего не делает// из-за синтаксических ошибок.FOR K = 1 ... ∞ FOR M = 1 ... K Выполнить программу номер M для K шагов с входом S ЕСЛИ программа выводит список различных целых чисел И все целые числа находятся в S, И сумма целых чисел равна 0 THEN OUTPUT "да" и HALT

Если и только если, п = НП, то это алгоритм с полиномиальным временем, принимающий НП-полный язык. «Принятие» означает, что он дает ответы «да» за полиномиальное время, но может работать бесконечно, если ответ «нет» (также известный как полуалгоритм).

Этот алгоритм крайне непрактичен, даже если п = НП. Если самая короткая программа, которая может решить SUBSET-SUM за полиномиальное время, является б бит, вышеуказанный алгоритм будет пытаться как минимум 2^б − 1 другие программы в первую очередь.

Формальные определения

P и NP

Концептуально говоря, проблема решения проблема, которая принимает на вход некоторые нить ш над алфавитом Σ и выводит «да» или «нет». Если есть алгоритм (скажи Машина Тьюринга, или компьютерная программа с неограниченной памятью), который может дать правильный ответ для любой входной строки длины п в лучшем случае сп^k шаги, где k и c являются константами, независимыми от входной строки, то мы говорим, что проблема может быть решена в полиномиальное время и мы помещаем его в класс п. Формально, п определяется как набор всех языков, которые могут быть определены детерминированной машиной Тьюринга с полиномиальным временем. То есть,

${displaystyle mathbf {P} ={L:L=L(M){ ext{ for some deterministic polynomial-time Turing machine }}M}}$

куда

${displaystyle L(M)={win Sigma ^{*}:M{ ext{ accepts }}w}}$

а детерминированная машина Тьюринга с полиномиальным временем - это детерминированная машина Тьюринга M который удовлетворяет следующим двум условиям:

1. M останавливается на всех входах ш и
2. Существует ${displaystyle kin N}$ такой, что ${displaystyle T_{M}(n)in O(n^{k})}$, куда О относится к нотация большой O и

${displaystyle T_{M}(n)=max{t_{M}(w):win Sigma ^{*},|w|=n}}$

${displaystyle t_{M}(w)={ ext{ number of steps }}M{ ext{ takes to halt on input }}w.}$

НП могут быть определены аналогично с использованием недетерминированных машин Тьюринга (традиционный способ). Однако современный подход к определению НП заключается в использовании концепции свидетельство и верификатор. Формально, НП определяется как набор языков в конечном алфавите, у которых есть верификатор, работающий за полиномиальное время, где понятие «верификатор» определяется следующим образом.

Позволять L - язык над конечным алфавитом, Σ.

L ∈ НП тогда и только тогда, когда существует бинарное отношение ${displaystyle Rsubset Sigma ^{*} imes Sigma ^{*}}$ и положительное целое число k такое, что выполняются следующие два условия:

1. Для всех ${displaystyle xin Sigma ^{*}}$, ${displaystyle xin LLeftrightarrow exists yin Sigma ^{*}}$ такой, что (Икс, у) ∈ р и ${displaystyle |y|in O(|x|^{k})}$; и
2. язык ${displaystyle L_{R}={x#y:(x,y)in R}}$ над ${displaystyle Sigma cup {#}}$ разрешима детерминированной машиной Тьюринга за полиномиальное время.

Машина Тьюринга, которая решает L_р называется верификатор за L и у такой, что (Икс, у) ∈ р называется свидетельство о членстве из Икс в L.

В общем, верификатор не обязательно должен быть полиномиальным. Однако для L быть в НП, должен быть верификатор, работающий за полиномиальное время.

Пример

Позволять

${displaystyle mathrm {COMPOSITE} =left{xin mathbb {N} mid x=pq{ ext{ for integers }}p,q>1ight}}$

${displaystyle R=left{(x,y)in mathbb {N} imes mathbb {N} mid 1<yleq {sqrt {x}}{ ext{ and }}y{ ext{ divides }}xight}.}$

Ясно, что вопрос о том, Икс это составной эквивалентно вопросу о том, Икс является членом КОМПОЗИТА. Можно показать, что КОМПОЗИТ ∈ НП проверив, что он удовлетворяет приведенному выше определению (если мы отождествляем натуральные числа с их двоичными представлениями).

КОМПОЗИТ также бывает в п, факт, продемонстрированный изобретением Тест на простоту AKS.^[49]

NP-полнота

Основная статья: NP-полнота

Есть много эквивалентных способов описания НП-полнота.

Позволять L - язык над конечным алфавитом Σ.

L является НП-полным тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1. L ∈ НП; и
2. любой L ' в НП полиномиально сводится к L (написано как ${displaystyle L'leq _{p}L}$), куда ${displaystyle L'leq _{p}L}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
   1. Существует ж : Σ * → Σ * такая, что для всех ш в Σ * имеем: ${displaystyle (win L'Leftrightarrow f(w)in L)}$; и
   2. существует машина Тьюринга с полиномиальным временем, которая останавливается на ж(ш) на своей ленте на любом входе ш.

В качестве альтернативы, если L ∈ НП, и есть еще один НП-полная задача, которая может быть за полиномиальное время сведена к L, тогда L является НП-полный. Это обычный способ доказать, что какая-то новая проблема НП-полный.

Популярная культура

Фильм Коммивояжер режиссера Тимоти Ланзона - это история четырех математиков, нанятых правительством США для решения п против НП проблема.^[50]

В шестой серии Симпсоны' седьмой сезон »Дом ужасов VI на дереве ", уравнение п=НП появляется вскоре после того, как Гомер случайно попадает в «третье измерение».^[51][52]

Во втором эпизоде ​​2 сезона Элементарный, "Решить для X" вращается вокруг Шерлока и Ватсона, расследующих убийства математиков, которые пытались раскрыть п против НП.^[53][54]

Смотрите также

• Сложность игры
• Список нерешенных задач по математике
• Гипотеза уникальных игр
• Нерешенные проблемы информатики

Примечания

1. А недетерминированная машина Тьюринга может перейти в состояние, которое не определяется предыдущим состоянием. Такая машина могла бы решить НП проблема за полиномиальное время, попадая в состояние правильного ответа (по счастливой случайности), а затем проверяя его обычным способом. Такие машины не подходят для решения реальных задач, но могут использоваться в качестве теоретических моделей.
2. Насколько эффективным должно быть решение, чтобы представлять угрозу для криптографии, зависит от деталей. Решение ${displaystyle O(N^{2})}$ при разумном постоянном сроке было бы катастрофой. С другой стороны, решение, которое ${displaystyle Omega (N^{4})}$ почти во всех случаях не представляет непосредственной практической опасности.

Рекомендации

1. Ладнер Р. Э. «О структуре полиномиальной сводимости». Журнал ACM 22, с. 151–171, 1975. Следствие 1.1. Сайт ACM.
2. Фортноу, Лэнс (2013). Золотой билет: P, NP и поиск невозможного. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691156491.
3. Повар, Стивен (1971). «Сложность процедур доказательства теорем». Материалы третьего ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. С. 151–158.
4. Левин Л.А. (1973). "Универсальные задачи перебора" (на русском). 9 (3) (Проблемы передачи информации ред.): 115–116.
5. Фортноу, Лэнс (2009). "Статус п против НП проблема" (PDF). Коммуникации ACM. 52 (9): 78–86. CiteSeerX  10.1.1.156.767. Дои:10.1145/1562164.1562186. Архивировано из оригинал (PDF) 24 февраля 2011 г.. Получено 26 января 2010.
6. АНБ (2012). "Письма Джона Нэша" (PDF).
7. Хартманис, Юрис. "Гедель, фон Нейман и п = НП проблема" (PDF). Бюллетень Европейской ассоциации теоретической информатики. 38: 101–107.
8. Сипсер, Майкл: Введение в теорию вычислений, второе издание, международное издание, стр. 270. Thomson Course Technology, 2006. Определение 7.19 и теорема 7.20.
9. Уильям И. Гасарх (Июнь 2002 г.). "The п=?НП опрос" (PDF). Новости SIGACT. 33 (2): 34–47. CiteSeerX  10.1.1.172.1005. Дои:10.1145/564585.564599.
10. Уильям И. Гасарх. "Второй п=?НП опрос" (PDF). Новости SIGACT. 74.
11. "Гостевая колонка: Третий P =? NP Poll1" (PDF). Получено 25 мая 2020.
12. Скотт Ааронсон. "PHYS771, лекция 6: п, НП, и друзья". Получено 27 августа 2007.
13. «Магистратура: основы информатики». www.cs.ox.ac.uk. Получено 25 мая 2020.
14. Колборн, Чарльз Дж. (1984). «Сложность заполнения частичных латинских квадратов». Дискретная прикладная математика. 8 (1): 25–30. Дои:10.1016 / 0166-218X (84) 90075-1.
15. И. Холиер (1981). "The НП-полнота некоторых задач реберного разбиения ». SIAM J. Comput. 10 (4): 713–717. Дои:10.1137/0210054.
16. Авиезри Френкель и Д. Лихтенштейн (1981). "Разработка идеальной стратегии для п × п шахматы требуют экспоненциального времени в п". Журнал комбинаторной теории, серия А. 31 (2): 199–214. Дои:10.1016/0097-3165(81)90016-9.
17. Дэвид Эппштейн. «Вычислительная сложность игр и головоломок».
18. Фишер, Майкл Дж.; Рабин, Майкл О. (1974). «Сверхэкспоненциальная сложность арифметики Пресбургера». Материалы симпозиума SIAM-AMS по прикладной математике. 7: 27–41. Архивировано из оригинал 15 сентября 2006 г.. Получено 15 октября 2017.
19. Валиант, Лесли Г. (1979). «Сложность перечисления и проблемы надежности». SIAM Журнал по вычислениям. 8 (3): 410–421. Дои:10.1137/0208032.
20. Арвинд, Викраман; Курур, Пиюш П. (2006). "Изоморфизм графов в SPP". Информация и вычисления. 204 (5): 835–852. Дои:10.1016 / j.ic.2006.02.002.
21. Шёнинг, Уве (1988). «Изоморфизм графов находится в низшей иерархии». Журнал компьютерных и системных наук. 37 (3): 312–323. Дои:10.1016/0022-0000(88)90010-4.
22. Лэнс Фортноу. Блог о вычислительной сложности: Класс сложности недели: факторинг. 13 сентября 2002 г.
23. Писингер, Д. 2003. «Где проблемы с тяжелым рюкзаком?» Технический отчет 2003/08, Департамент компьютерных наук, Копенгагенский университет, Копенгаген, Дания
24. Каварабаяси, К. И .; Кобаяши, Ю .; Рид, Б. (2012). «Проблема непересекающихся путей в квадратичном времени». Журнал комбинаторной теории, серия B. 102 (2): 424–435. Дои:10.1016 / j.jctb.2011.07.004.
25. Джонсон, Дэвид С. (1987). «Колонка NP-полноты: Постоянное руководство (выпуск 19)». Журнал алгоритмов. 8 (2): 285–303. CiteSeerX  10.1.1.114.3864. Дои:10.1016/0196-6774(87)90043-5.
26. Гондзио, Яцек; Терлаки, Тамаш (1996). «3 Вычислительный взгляд на методы внутренней точки». В Дж. Э. Бизли (ред.). Достижения в линейном и целочисленном программировании. Оксфордская серия лекций по математике и ее приложениям. 4. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 103–144. МИСТЕР  1438311. Постскриптум на сайте Гондзио и на сайте Университета Макмастера Терлаки.
27. Розенбергер, Джек (май 2012 г.). "п против. НП результаты опроса ". Коммуникации ACM. 55 (5): 10.
28. Скотт Ааронсон. «Причины верить»., пункт 9.
29. Видеть Horie, S .; Ватанабэ, О. (1997). «Генерация жесткого инстанса для SAT». Алгоритмы и вычисления. Конспект лекций по информатике. 1350. Springer. С. 22–31. arXiv:cs / 9809117. Bibcode:1998cs ........ 9117H. Дои:10.1007/3-540-63890-3_4. ISBN  978-3-540-63890-2. для снижения факторинга до SAT. Проблема 512-битного факторизации (8400 MIPS-лет с учетом факторизации) трансформируется в задачу SAT из 63 652 переменных и 406 860 пунктов.
30. См., Например, Массаччи, Ф. и Марраро, Л. (2000). «Логический криптоанализ как задача SAT». Журнал автоматизированных рассуждений. 24 (1): 165–203. CiteSeerX  10.1.1.104.962. Дои:10.1023 / А: 1006326723002. в котором экземпляр DES кодируется как задача SAT с 10336 переменными и 61935 пунктами. Экземпляр проблемы 3DES будет примерно в 3 раза больше.
31. Де, Дебапратим; Кумарасубраманян, Абишек; Венкатесан, Рамаратнам (2007). «Инверсионные атаки на безопасные хеш-функции с использованием SAT-решателей». Springer. С. 377–382. Дои:10.1007/978-3-540-72788-0_36.
32. Бергер Б, Лейтон Т (1998). «Сворачивание белка в гидрофобно-гидрофильной (HP) модели является НП-полный". J. Comput. Биол. 5 (1): 27–40. CiteSeerX  10.1.1.139.5547. Дои:10.1089 / cmb.1998.5.27. PMID  9541869.
33. История этого письма и его перевод с Майкл Сипсер. "История и статус п против НП вопрос" (PDF).
34. Дэвид С. Джонсон. «Краткая история NP-полноты, 1954–2012» (PDF). Со страниц 359–376 статей об оптимизации, М. Грётшель (редактор), специального выпуска ¨ Documenta Mathematica, опубликованного в августе 2012 г. и распространенного среди участников 21-го Международного симпозиума по математическому программированию в Берлине.
35. Повар, Стивен (Апрель 2000 г.). "The п против НП Проблема" (PDF). Институт математики Клэя. Получено 18 октября 2006.
36. Кнут, Дональд Э. (20 мая 2014 г.). Двадцать вопросов Дональду Кнуту. informit.com. InformIT. Получено 20 июля 2014.
37. Л. Р. Фулдс (октябрь 1983 г.). «Эвристический подход к решению проблем». Журнал Общества оперативных исследований. 34 (10): 927–934. Дои:10.2307/2580891. JSTOR  2580891.
38. Р. Импальяццо, «Личное мнение о средней сложности», sct, стр.134, 10-я ежегодная конференция по теории сложности (SCT'95), 1995 г.
39. «Предварительная программа семинара« Сложность и криптография: состояние миров Импальяццо »"". Архивировано из оригинал 15 ноября 2013 г.
40. Т. П. Бейкер; Дж. Гилл; Р. Соловай. (1975). "Релятивизации п =? НП Вопрос". SIAM Журнал по вычислениям. 4 (4): 431–442. Дои:10.1137/0204037.
41. Разборов Александр А .; Стивен Рудич (1997). «Естественные доказательства». Журнал компьютерных и системных наук. 55 (1): 24–35. Дои:10.1006 / jcss.1997.1494.
42. С. Ааронсон и А. Вигдерсон (2008). Алгебризация: новый барьер в теории сложности (PDF). Материалы ACM STOC'2008. С. 731–740. Дои:10.1145/1374376.1374481.
43. Ааронсон, Скотт. "Является п Против НП Формально независимый? " (PDF)..
44. Бен-Давид, Шай; Халеви, Шай (1992). "О независимости п против НП". Технический отчет. 714. Технион. .
45. Джон Маркофф (8 октября 2009 г.). "Помимо призов, у головоломки P-NP есть свои последствия". Нью-Йорк Таймс.
46. Герхард Й. Вёгингер. "The п-против-НП страница". Получено 24 июн 2018.
47. Марков, Джон (16 августа 2010 г.). «Шаг 1: опубликовать неуловимое доказательство. Шаг 2: посмотреть фейерверк». Нью-Йорк Таймс. Получено 20 сентября 2010.
48. Эльвира Майордомо. «П против НП» В архиве 16 февраля 2012 г. Wayback Machine Monografías de la Real Academia de Ciencias de Zaragoza 26: 57–68 (2004).
49. Агравал, Маниндра; Каял, Нирадж; Саксена, Нитин (2004). "PRIMES в п" (PDF). Анналы математики. 160 (2): 781–793. Дои:10.4007 / анналы.2004.160.781. JSTOR  3597229.
50. Гир, Дункан (26 апреля 2012 г.). "'В фильме "Коммивояжер" рассматриваются последствия, если P равно NP ". Проводная Великобритания. Получено 26 апреля 2012.
51. Хардести, Ларри. "Разъяснил: п против. НП".
52. Шадиа, Аджам. "Что п против. НП проблема? Почему это важно?".
53. Гасарх, Уильям (7 октября 2013 г.). "P vs NP является элементарным? Нет - P vs NP является элементарным". blog.computationalcomplexity.org. Получено 6 июля 2018.
54. Киркпатрик, Ноэль (4 октября 2013 г.). "Элементарное решение для X Review: Sines of Murder". TV.com. Получено 6 июля 2018.

дальнейшее чтение

• Кормен, Томас (2001). Введение в алгоритмы. Кембридж: MIT Press. ISBN  978-0-262-03293-3.
• Гарей, Майкл; Джонсон, Дэвид (1979). Компьютеры и непреодолимость: руководство по теории NP-полноты. Сан-Франциско: В. Х. Фриман и компания. ISBN  978-0-7167-1045-5.
• Гольдрайх, Одед (2010). P, NP и NP-полнота. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-12254-2. Онлайн-проекты
• Иммерман Н. (1987). «Языки, захватывающие классы сложности». SIAM Журнал по вычислениям. 16 (4): 760–778. CiteSeerX  10.1.1.75.3035. Дои:10.1137/0216051.
• Пападимитриу, Христос (1994). Вычислительная сложность. Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-53082-7.

внешняя ссылка

• Fortnow, L .; Гасарх, В. «Вычислительная сложность».
• Авиада Рубинштейна Твердость приближения между п и НП, победитель ACM с Премия за докторскую диссертацию 2017 г..
• «P против NP и зоопарк вычислительной сложности». 26 августа 2014 г. - через YouTube.