Обозначение Кнута, направленное вверх - Knuths up-arrow notation

В математика, Кнута обозначение стрелки вверх это способ обозначения очень большой целые числа, представлен Дональд Кнут в 1976 г.^[1]

В своей статье 1947 г.^[2] Р. Л. Гудштейн введена конкретная последовательность операций, которые теперь называются гипероперации. Гудштейн также предложил греческие имена тетрация, пентация и т. д. для расширенных операций за пределами возведение в степень. Последовательность начинается с унарная операция (в функция преемника с п = 0), и продолжается бинарные операции из добавление (п = 1), умножение (п = 2), возведение в степень (п = 3), тетрация (п = 4), пентация (п = 5) и т. Д.

Различные обозначения использовались для представления гиперопераций. Одно из таких обозначений ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$. Другое обозначение ${\displaystyle a[n]b}$, инфиксная запись что удобно для ASCII. Обозначение ${\displaystyle a[n]b}$ называется «обозначение квадратных скобок».

Обозначение Кнута со стрелкой вверх ${\displaystyle \uparrow }$ альтернативное обозначение. Получается заменой ${\displaystyle [n]}$ в квадратных скобках обозначением ${\displaystyle n-2}$ стрелки.

Например:

• одиночная стрелка ${\displaystyle \uparrow }$ представляет возведение в степень (повторное умножение)

${\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2[3]4=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}$

• двойная стрелка ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$ представляет тетрация (повторное возведение в степень)

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=H_{4}(2,4)=2[4]4=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65536}$

• тройная стрела ${\displaystyle \uparrow \uparrow \uparrow }$ представляет пентация (повторная тетрация)

${\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4=H_{5}(2,4)=2[5]4={^{65536}2}&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \dots ))} \\&2\uparrow \uparrow 4{\mbox{ copies of }}2\\\end{aligned}}}$

Общее определение обозначения стрелки вверх следующее (для ${\displaystyle a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0}$):

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b}$

Здесь, ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$ означает п стрелки, так например

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3}$.

Вступление

В гипероперации естественно расширить арифметические операции из добавление и умножение следующее.

Добавление по натуральное число определяется как повторное приращение:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}(a,b)=a[1]b=a+b=&a+\underbrace {1+1+\dots +1} \\&b{\mbox{ copies of }}1\end{matrix}}}$

Умножение по натуральное число определяется как повторный добавление:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{2}(a,b)=a[2]b=a\times b=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

Например,

${\displaystyle {\begin{matrix}3\times 4&=&\underbrace {3+3+3+3} &=&12\\&&4{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}$

Возведение в степень для естественной силы ${\displaystyle b}$ определяется как повторное умножение, которое Кнут обозначил одной стрелкой вверх:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=H_{3}(a,b)=a[3]b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

Например,

${\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}$

Тетрация определяется как повторное возведение в степень, которое Кнут обозначил «двойной стрелкой»:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b=H_{4}(a,b)=a[4]b=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

Например,

${\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&3{\mbox{ copies of }}4&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}$

Выражения оцениваются справа налево, так как операторы определены как правоассоциативный.

Согласно этому определению,

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}}$

и Т. Д.

Это уже приводит к некоторым довольно большим числам, но последовательность гипероператоров на этом не заканчивается.

Пентация, определяемая как повторная тетрация, представлена ​​«тройной стрелкой»:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=H_{5}(a,b)=a[5]b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

Гексация, определяемый как итеративная пентация, представлен «четверной стрелкой»:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=H_{6}(a,b)=a[6]b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

и так далее. Общее правило таково: ${\displaystyle n}$Оператор -стрелка раскладывается в правоассоциативный ряд (${\displaystyle n-1}$) -стрелки. Символично,

${\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (\dots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ copies of }}a}\end{matrix}}}$

Примеры:

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$

${\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}}$

Обозначение

В таких выражениях, как ${\displaystyle a^{b}}$, в обозначении возведения в степень обычно пишут показатель степени ${\displaystyle b}$ как надстрочный индекс к основному числу ${\displaystyle a}$. Но многие среды, такие как языки программирования и простой текст электронное письмо - не поддерживаю надстрочный индекс наборный. Люди приняли линейное обозначение ${\displaystyle a\uparrow b}$ для таких сред; стрелка вверх предлагает «возвести в степень». Если набор символов не содержит стрелки вверх, каретка Вместо этого используется (^).

Надстрочные обозначения ${\displaystyle a^{b}}$ не поддается обобщению, что объясняет, почему Кнут решил работать с встроенной нотацией ${\displaystyle a\uparrow b}$ вместо.

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$ это более короткое альтернативное обозначение n вверх. Таким образом ${\displaystyle a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$.

Стрелы Кнута стали довольно популярными, может быть потому, что ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$ сильнее логотип чем например ${\displaystyle [n]}$.^{[оригинальное исследование? ]}

Написание нотации со стрелкой вверх по степеням

Попытка написать ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$ использование знакомых надстрочных обозначений дает башню мощности.

Например: ${\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}$

Если б является переменной (или слишком большой), башня мощности может быть написана точками и примечанием, указывающим высоту башни.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}$

Продолжая эти обозначения, ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ можно было бы написать со стопкой таких энергетических башен, каждая из которых описывает размер вышестоящей.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}$

Опять же, если б является переменной или слишком большой, стек может быть записан точками и примечанием с указанием его высоты.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}$

Более того, ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$ может быть записан с использованием нескольких столбцов таких стеков башен власти, каждый столбец описывает количество башен власти в стеке слева от него:

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}$

И вообще:

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}$

Это может выполняться бесконечно, чтобы представлять ${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$ как повторное возведение в степень повторного возведения в степень для любого а, п и б (хотя он явно становится довольно громоздким).

Использование тетрации

В тетрация обозначение ${\displaystyle ^{b}a}$ позволяет нам сделать эти диаграммы немного проще, используя при этом геометрическое представление (мы могли бы назвать их башни тетрации).

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}$

Наконец, в качестве примера, четвертое число Аккермана ${\displaystyle 4\uparrow ^{4}4}$ можно представить как:

${\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}}$

Обобщения

Некоторые числа настолько велики, что множественные стрелки нотации Кнута, направленной вверх, становятся слишком громоздкими; затем п-стрелка оператор ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$ полезно (а также для описаний с переменным количеством стрелок) или, что то же самое, гипероператоры.

Некоторые числа настолько велики, что даже этих обозначений недостаточно. В Обозначение стрелок Конвея затем можно использовать: цепочка из трех элементов эквивалентна другим обозначениям, но цепочка из четырех или более является еще более мощной.

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&{\mbox{(hyperoperation)}}&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}$

Определение

Без ссылки на Гипероперация операторы стрелки вверх могут быть формально определены как

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{if }}n=1;\\1,&{\text{if }}n>1{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

для всех целых чисел ${\displaystyle a,b,n}$ с ${\displaystyle a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0}$.

Это определение использует возведение в степень ${\displaystyle (a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})}$ в качестве базового случая и тетрация ${\displaystyle (a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)}$ как повторное возведение в степень. Это эквивалентно последовательность гиперопераций за исключением того, что он опускает еще три основные операции преемственность, добавление и умножение.

В качестве альтернативы можно выбрать умножение ${\displaystyle (a\uparrow ^{0}b=a\times b)}$ в качестве базового случая и итерации оттуда. потом возведение в степень становится повторным умножением. Формальное определение будет

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{if }}n=0;\\1,&{\text{if }}n>0{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

для всех целых чисел ${\displaystyle a,b,n}$ с ${\displaystyle a\geq 0,n\geq 0,b\geq 0}$.

Заметьте, однако, что Кнут не определил «стрелку на ноль» (${\displaystyle \uparrow ^{0}}$). Можно было бы расширить обозначение на отрицательные индексы (n ≥ -2) таким образом, чтобы согласовать со всей последовательностью гиперопераций, за исключением запаздывания в индексации:

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.}$

Стрелка вверх - это правоассоциативная операция, то есть, ${\displaystyle a\uparrow b\uparrow c}$ понимается как ${\displaystyle a\uparrow (b\uparrow c)}$, вместо ${\displaystyle (a\uparrow b)\uparrow c}$. Если двусмысленность не является проблемой, скобки иногда опускаются.

Таблицы значений

Вычисление 0 ↑^п б

Вычисление ${\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b}$ приводит к

0, когда п = 0  ^{[nb 1]}

1, когда п = 1 и б = 0   ^{[nb 2][№ 3]}

0, когда п = 1 и б > 0   ^{[nb 2][№ 3]}

1, когда п > 1 и б четное (включая 0)

0, когда п > 1 и б странно

Вычисление 2 ↑^п б

Вычисление ${\displaystyle 2\uparrow ^{n}b}$ можно переформулировать в виде бесконечной таблицы. Размещаем числа ${\displaystyle 2^{b}}$ в верхней строке и заполните левый столбец значениями 2. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу влево, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной только что взятым числом .

Ценности ${\displaystyle 2\uparrow ^{n}b}$ = ${\displaystyle H_{n+2}(2,b)}$ = ${\displaystyle 2[n+2]b}$ = 2 → б → п

б ⁿ	1	2	3	4	5	6	формула
1	2	4	8	16	32	64	${\displaystyle 2^{b}}$
2	2	4	16	65536	${\displaystyle 2^{65\,536}\approx 2.0\times 10^{19\,728}}$	${\displaystyle 2^{2^{65\,536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19\,727}}}$	${\displaystyle 2\uparrow \uparrow b}$
3	2	4	65536	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}$	${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow b}$
4	2	4	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}$				${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

Таблица такая же, как функция Аккермана, кроме сдвига ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle b}$и добавление 3 ко всем значениям.

Вычисление 3 ↑^п б

Размещаем числа ${\displaystyle 3^{b}}$ в верхней строке и заполните левый столбец значениями 3. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу влево, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной только что взятым числом .

Ценности ${\displaystyle 3\uparrow ^{n}b}$ = ${\displaystyle H_{n+2}(3,b)}$ = ${\displaystyle 3[n+2]b}$ = 3 → б → п

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	3	9	27	81	243	${\displaystyle 3^{b}}$
2	3	27	7,625,597,484,987	${\displaystyle 3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}$	${\displaystyle 3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}}$	${\displaystyle 3\uparrow \uparrow b}$
3	3	7,625,597,484,987	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}$			${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow b}$
4	3	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}$				${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

Вычисление 4 ↑^п б

Размещаем числа ${\displaystyle 4^{b}}$ в верхней строке и заполните левый столбец значениями 4. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу влево, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной только что взятым числом .

Ценности ${\displaystyle 4\uparrow ^{n}b}$ = ${\displaystyle H_{n+2}(4,b)}$ = ${\displaystyle 4[n+2]b}$ = 4 → б → п

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	4	16	64	256	1024	${\displaystyle 4^{b}}$
2	4	256	${\displaystyle 1.3407807930\times 10^{154}}$	${\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}}$	${\displaystyle 4^{4^{1.3407807930\times 10^{154}}}}$	${\displaystyle 4\uparrow \uparrow b}$
3	4	${\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}$			${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow b}$
4	4	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}$				${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

Вычислительная 10 ↑^п б

Размещаем числа ${\displaystyle 10^{b}}$ в верхней строке и заполните левый столбец значениями 10. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу влево, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной только что взятым числом. .

Ценности ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}b}$ = ${\displaystyle H_{n+2}(10,b)}$ = ${\displaystyle 10[n+2]b}$ = 10 → б → п

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	10	100	1,000	10,000	100,000	${\displaystyle 10^{b}}$
2	10	10,000,000,000	${\displaystyle 10^{10,000,000,000}}$	${\displaystyle 10^{10^{10,000,000,000}}}$	${\displaystyle 10^{10^{10^{10,000,000,000}}}}$	${\displaystyle 10\uparrow \uparrow b}$
3	10	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}$		${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow b}$
4	10	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}$			${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

Для 2 ≤ б ≤ 9 числовой порядок чисел ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}b}$ это лексикографический порядок с п как наиболее значимое число, поэтому для номеров этих 8 столбцов порядок номеров просто построчный. То же самое относится к числам в 97 столбцах с 3 ≤ б ≤ 99, а если начать с п = 1 даже для 3 ≤ б ≤ 9,999,999,999.

Смотрите также

• Примитивная рекурсия
• Гипероперация
• Занятый бобер
• Обозначение бара Катлера
• Тетрация
• Пентация
• Функция Аккермана
• Число Грэма
• Обозначения Штейнгауза – Мозера

Примечания

1. Имейте в виду, что Кнут не определил оператора ${\displaystyle \uparrow ^{0}}$.
2. Подробнее см. Степень нуля.
3. Подробнее см. Ноль в степени нуля.

Рекомендации

1. Кнут, Дональд Э. (1976). «Математика и информатика: справляемся с конечностью». Наука. 194 (4271): 1235–1242. Bibcode:1976Научный ... 194.1235K. Дои:10.1126 / science.194.4271.1235. PMID  17797067.
2. Р. Л. Гудштейн (декабрь 1947 г.). «Трансфинитные порядковые числа в рекурсивной теории чисел». Журнал символической логики. 12 (4): 123–129. Дои:10.2307/2266486. JSTOR  2266486.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Обозначение Кнута со стрелкой вверх». MathWorld.
• Роберт Мунафо, Большие числа: высшие гипероператоры