Суперлогарифм - Super-logarithm

В математика, то суперлогарифм является одной из двух обратных функций тетрация. Как только возведение в степень имеет две обратные функции, корни и логарифмы, тетрация имеет две обратные функции, супер-корни и суперлогарифмы. Есть несколько способов интерпретации суперлогарифмов:

• Поскольку Функция Абеля из экспоненциальные функции,
• Как обратная функция тетрация по высоте,
• Как обобщение Роберта Мунафо система классов большого числа,

Для положительных целочисленных значений суперлогарифм с основанием-е эквивалентно количеству раз логарифм должно быть повторяется чтобы добраться до 1 ( Итерированный логарифм ). Однако это неверно для отрицательных значений и поэтому не может считаться полным определением. Точное определение суперлогарифма зависит от точного определения нецелого тетрация (то есть, ${\displaystyle {^{y}x}}$ за у не целое число). Нет четкого консенсуса относительно определения нецелого тетрация и поэтому нет четкого консенсуса относительно суперлогарифма для нецелых входных значений.

Определения

Суперлогарифм, написанный ${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z),}$ неявно определяется

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(b^{z})=\operatorname {slog} _{b}(z)+1}$ и

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(1)=0.}$

Это определение подразумевает, что суперлогарифм может иметь только целочисленные выходы и что он определен только для входов в форме ${\displaystyle b,b^{b},b^{b^{b}},}$ и так далее. Чтобы расширить область суперлогарифма от этого разреженного набора до действительных чисел, было реализовано несколько подходов. Они обычно включают третье требование в дополнение к перечисленным выше, которые варьируются от автора к автору. Эти подходы следующие:

• Линейный приближенный подход Рубстова и Ромерио,
• Квадратичный подход Эндрю Роббинса,
• Подход с использованием регулярных функций Абеля Джорджа Секереса,
• Итерационный функциональный подход Питера Уокера и
• Подход с использованием натуральных матриц Питера Уокера, а затем обобщенный Эндрю Роббинсом.

Приближения

Обычно специальные функции определены не только для реальных значений аргумента (ов), но и для комплексной плоскости, а также для дифференциального и / или интегрального представления, а также для разложений в сходящиеся и асимптотические ряды. Тем не менее, такие представления недоступны для тяжелая работа функция. Тем не менее, ниже предлагаются простые приближения.

Линейное приближение

Линейное приближение к суперлогарифму:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1&{\text{if }}z\leq 0\\-1+z&{\text{if }}0<z\leq 1\\\operatorname {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&{\text{if }}1<z\\\end{cases}}}$

которая является кусочно определенной функцией с линейным «критическим участком». Эта функция обладает тем свойством, что она непрерывна для всех реальных z (${\displaystyle C^{0}}$ непрерывный). Первыми авторами, признавшими это приближение, были Рубстов и Ромерио, хотя в их бумага, его можно найти в их алгоритм который используется в их программном прототипе. Линейное приближение к тетрация, с другой стороны, были известны раньше, например, Иоаннис Галидакис. Это естественное обращение к линейному приближению к тетрация.

Такие авторы, как Холмс, признают, что суперлогарифм будет очень полезен для следующей эволюции компьютерной арифметики с плавающей запятой, но для этой цели функция не должна быть бесконечно дифференцируемой. Таким образом, для представления больших чисел подход линейной аппроксимации обеспечивает достаточную непрерывность (${\displaystyle C^{0}}$ непрерывность), чтобы гарантировать, что все действительные числа могут быть представлены в суперлогарифмическом масштабе.

Квадратичное приближение

В квадратичное приближение до суперлогарифма:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1&{\text{if }}z\leq 0\\-1+{\frac {2\log(b)}{1+\log(b)}}z+{\frac {1-\log(b)}{1+\log(b)}}z^{2}&{\text{if }}0<z\leq 1\\\operatorname {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&{\text{if }}1<z\end{cases}}}$

которая является кусочно определенной функцией с квадратичным «критическим отрезком». Эта функция обладает тем свойством, что она непрерывна и дифференцируема для всех реальных z (${\displaystyle C^{1}}$ непрерывный). Первым автором, опубликовавшим это приближение, был Эндрю Роббинс в Эта бумага.

Эта версия суперлогарифма позволяет выполнять базовые операции исчисления над суперлогарифмом, не требуя заранее большого количества вычислений. Используя этот метод, основное исследование свойств суперлогарифма и тетрация может выполняться с небольшими вычислительными затратами.

Подходы к функции Абеля

Основная статья: Функция Абеля

Функция Абеля - это любая функция, которая удовлетворяет функциональному уравнению Абеля:

${\displaystyle A_{f}(f(x))=A_{f}(x)+1}$

Для данной функции Абеля ${\displaystyle A_{f}(x)}$ другое решение можно получить, добавив любую константу ${\displaystyle A'_{f}(x)=A_{f}(x)+c}$. Таким образом, учитывая, что суперлогарифм определяется как ${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(1)=0}$ и третье особое свойство, которое различается между подходами, - функция Абеля экспоненциальной функции может быть определена однозначно.

Характеристики

Другие уравнения, которым удовлетворяет суперлогарифм:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)=\operatorname {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1}$

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)>-2}$ для всех реальных z

Вероятно, первый пример математической задачи, решение которой выражается в терминах суперлогарифмов, следующий:

Рассмотрим ориентированные графы с N узлы и такие, что ориентированный путь от узла я узел j существует тогда и только тогда, когда ${\displaystyle i>j.}$ Если длина всех таких путей не более k рёбер, то минимально возможное общее количество рёбер равно:

${\displaystyle \Theta (N^{2})}$ за ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \Theta (N\log N)}$ за ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle \Theta (N\log \log N)}$ за ${\displaystyle k=3}$

${\displaystyle \Theta (N\operatorname {slog} N)}$ за ${\displaystyle k=4}$ и ${\displaystyle k=5}$

(М. И. Гринчук, 1986;^[1] случаи ${\displaystyle k>5}$ требуются супер-супер-логарифмы, супер-супер-супер-логарифмы и т. д.)

Суперлогарифм как обратный тетрации

${\displaystyle f={\rm {slog}}_{\rm {e}}(z)}$ в комплексной z-плоскости.

В качестве тетрация (или суперэкспоненциальный) ${\displaystyle {\rm {sexp}}_{b}(z):={{^{z}}b}}$ предполагается, что это аналитическая функция,^[2] по крайней мере, для некоторых значений ${\displaystyle ~b~}$, обратная функция ${\displaystyle {\rm {slog}}_{b}={\rm {sexp}}_{b}^{-1}}$ также может быть аналитическим.${\displaystyle ~{\rm {slog}}_{b}(z)~}$, определяемый таким образом, комплекс ${\displaystyle ~z~}$ плоскость схематически изображена на рисунке 1 для случая ${\displaystyle ~b=e~}$. Уровни целочисленных значений действительных и целых значений мнимых частей функции slog показаны жирными линиями. При наличии и уникальности аналитическое расширение из тетрация обеспечивается условием его асимптотического приближения к фиксированные точки${\displaystyle L\approx 0.318+1.337{\!~{\rm {i}}}}$ и${\displaystyle L^{*}\approx 0.318-1.337{\!~{\rm {i}}}}$из ${\displaystyle L=\ln(L)}$^[3]в верхней и нижней частях комплексной плоскости обратная функция также должна быть единственной. Такая функция действительна на действительной оси. Имеет два точки разветвления в${\displaystyle ~z=L~}$ и${\displaystyle ~z=L^{*}}$. Приближается к своему предельному значению ${\displaystyle -2}$ вблизи отрицательной части действительной оси (вся полоса между разрезами, показанных на рисунке розовыми линиями), и медленно растет вдоль положительного направления действительной оси. Поскольку производная на действительной оси положительна, мнимая часть slog остается положительной сразу над действительной осью и отрицательной сразу под действительной осью. Существование, уникальность и обобщения обсуждаются.^[4]

Смотрите также

• Итерированный логарифм
• Тетрация

Рекомендации

1. М. И. Гринчук, О сложности реализации реализации треугольных булевых матриц вентильными схемами глубины, в: Методы дискретного анализа в синтезе управляющих систем, 44 (1986), стр. 3–23.
2. Питер Уокер (1991). «Бесконечно дифференцируемые обобщенные логарифмические и экспоненциальные функции». Математика вычислений. Американское математическое общество. 57 (196): 723–733. Дои:10.2307/2938713. JSTOR  2938713.
3. Х. Кнезер (1950). "Reelle analytische Losungen der Gleichung ${\displaystyle \varphi {\Big (}\varphi (x){\Big )}={\rm {e}}^{x}}$ und verwandter Funktionalgleichungen ". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 187: 56–67.
4. Форум Tetration, http://math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php

• Иоаннис Галидакис, Математика, опубликовано в Интернете (по состоянию на ноябрь 2007 г.).
• В. Невилл Холмс, Составная арифметика: предложение по новому стандарту, IEEE Computer Society Press, vol. 30, нет. 3. С. 65–73, 1997.
• Роберт Мунафо, Большие числа в MROB, опубликовано в Интернете (по состоянию на ноябрь 2007 г.).
• Рубцов К.А., Ромерио Г.Ф., Функция Аккермана и новая арифметическая операция, опубликовано в Интернете (по состоянию на ноябрь 2007 г.).
• Эндрю Роббинс, Решение аналитического кусочного продолжения тетрации и суперлогарифма, опубликовано в Интернете (по состоянию на ноябрь 2007 г.).
• Джордж Секерес, Уравнение Абеля и регулярный рост: вариации на тему Абеля, Эксперимент. Математика. Том 7, Выпуск 2 (1998), 85-100.
• Питер Уокер, Бесконечно дифференцируемые обобщенные логарифмические и экспоненциальные функции, Математика вычислений, Vol. 57, № 196 (октябрь 1991 г.), стр. 723–733.

внешняя ссылка

• Рубстов и Ромерио, Гипероперации Поток 1
• Рубстов и Ромерио, Гипероперации Поток 2