Обозначения Штейнгауза – Мозера - Steinhaus–Moser notation

В математика, Обозначения Штейнгауза – Мозера это обозначение для выражения определенных большие числа. Это расширение (разработано Лео Мозер ) из Хьюго Штайнхаус обозначение многоугольника^[1].

Определения

число п в треугольник означает п^п.

число п в квадрат эквивалентно "число п внутри п треугольники, которые все вложены ".

число п в пятиугольник эквивалентно "число п внутри п квадраты, которые все вложены ".

так далее.: п написано в (м + 1) -сторонний многоугольник эквивалентен "числу п внутри п вложенный м-сторонние многоугольники ". В серии вложенных многоугольников они связанный внутрь. Номер п внутри двух треугольников эквивалентно n^п внутри одного треугольника, что эквивалентно n^п возведен в степень n^п.

Штейнхаус определил только треугольник, квадрат и круг , что эквивалентно пятиугольнику, определенному выше.

Особые ценности

Штайнхаус определил:

• мега это число, эквивалентное 2 в круге: ②
• мегистон число, эквивалентное 10 в круге: ⑩

Число Мозера - это число, представленное цифрой «2 в мегагонале». Мегагон здесь имя многоугольника с "мега" сторонами (не путать с многоугольник с одним миллионом сторон ).

Альтернативные обозначения:

• используйте функции квадрат (x) и треугольник (x)
• позволять М (п, м, п) быть числом, представленным числом п в м вложенный п-сторонние многоугольники; тогда правила следующие:
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• и
  • мега =${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • мегистон =${\displaystyle M(10,1,5)}$
  • moser =${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Мега

Мега, ②, уже является очень большим числом, поскольку ② = квадрат (квадрат (2)) = квадрат (треугольник (треугольник (2))) = квадрат (треугольник (2²)) = квадрат (треугольник (4)) = квадрат (4⁴) = квадрат (256) = треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (256) ...))) [256 треугольников] = треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (256²⁵⁶) ...))) [255 треугольников] ~ треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (3,2 × 10⁶¹⁶) ...))) [254 треугольника] = ...

Используя другие обозначения:

мега = М (2,1,5) = М (256,256,3)

С функцией ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ у нас есть мега = ${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$ где верхний индекс обозначает функциональная сила, а не числовая степень.

У нас есть (обратите внимание на соглашение, согласно которому мощность оценивается справа налево):

• М (256,2,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• М (256,3,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

По аналогии:

• М (256,4,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• М (256,5,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

и Т. Д.

Таким образом:

• мега = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$, куда ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$ обозначает функциональную мощность функции ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$.

Более грубо округляя (заменяя 257 в конце на 256), получаем мега ≈ ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$, с помощью Обозначение Кнута со стрелкой вверх.

После первых нескольких шагов значение ${\displaystyle n^{n}}$ каждый раз примерно равен ${\displaystyle 256^{n}}$. На самом деле это даже примерно равно ${\displaystyle 10^{n}}$ (смотрите также приблизительная арифметика для очень больших чисел ). Используя базовые 10 степеней, мы получаем:

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$ (${\displaystyle \log _{10}616}$ добавляется к 616)
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$ (${\displaystyle 619}$ добавлен в ${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$, что незначительно; поэтому внизу добавляется только 10)
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• мега = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$, куда ${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$ обозначает функциональную мощность функции ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$. Следовательно ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

Число Мозера

Доказано, что в Обозначение стрелок Конвея,

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

И в Обозначение Кнута со стрелкой вверх,

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Следовательно, число Мозера, хотя и непостижимо велико, исчезающе мало по сравнению с Число Грэма:^[2]

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.}$

Смотрите также

• Функция Аккермана

Рекомендации

1. Хьюго Штайнхаус, Математические снимки, Oxford University Press, 1969 г.³, ISBN  0195032675, стр. 28-29
2. Доказательство того, что G >> M

внешняя ссылка

• Большие числа Роберта Мунафо
• Фактоид о больших числах
• Мегистрон на mathworld.wolfram.com (Штайнхаус назвал это число «мегистон» без буквы «r».)
• Обозначение круга на mathworld.wolfram.com
• Обозначение Штейнгауза-Мозера - бессмысленная фигня с большими числами