Проблемы с самками - Smales problems

Проблемы Смейла список из восемнадцати нерешенные проблемы математики это было предложено Стив Смейл в 1998 г.,^[1] переиздан в 1999 г.^[2] Смейл составил этот список в ответ на запрос от Владимир Арнольд, затем вице-президент Международный математический союз, который попросил нескольких математиков предложить список задач для 21 века. Вдохновение Арнольда исходит из списка Проблемы Гильберта который был опубликован в начале 20 века.

Таблица проблем

Проблема	Краткое объяснение	Положение дел	Год решен
1-й	Гипотеза Римана: Действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна 1/2. (смотрите также Восьмая проблема Гильберта )	Нерешенный.	–
2-й	Гипотеза Пуанкаре: Каждое односвязное замкнутое 3-многообразие гомеоморфно 3-сфере.	Решено. Результат: Да, подтверждено Григорий Перельман с помощью Риччи поток.[3][4][5]	2003
3-й	Проблема P против NP: Для всех задач, для которых алгоритм может проверять данное решение быстро (то есть в полиномиальное время ), может ли алгоритм также найти это решение быстро?	Нерешенный.	–
4-й	Тау-гипотеза Шуба – Смейла о целых нулях многочлена одной переменной[6][7]	Нерешенный.	–
5-й	Можно ли решить, если Диофантово уравнение ƒ(Икс,у) = 0 (ввод ƒ ∈ ${\textstyle \mathbb {Z} }$ [ты,v]) имеет целочисленное решение, (Икс,у), во времени (2s)c для некоторой универсальной постояннойc? То есть можно ли решить проблему за экспоненциальное время?	Нерешенный.	–
Шестой	Количество относительных равновесий (центральные конфигурации ) конечное, в п-тело задачи небесной механики, для любого выбора положительных действительных чисел м1, ..., мп как массы?	Частично решено. Доказано А. Албуи и В. Калошиным практически для всех систем пяти тел в 2012 г.[8]	2012
7-е	Алгоритм нахождения множества ${\displaystyle (x_{1},...,x_{N})}$ так что функция: ${\displaystyle V_{N}(x)=\sum _{1\leq i\leq j\leq N}\log {\frac {1}{||x_{i}-x_{j}||}}}$ минимизируется для распределения N точек на 2-сфере. Это эквивалентно Проблема Томсона.	Нерешенный.	–
8-е	Расширить математическую модель теория общего равновесия включать цена корректировки	Гьерстад (2013)[9] расширяет детерминированную модель корректировки цен до стохастической модели и показывает, что, когда стохастическая модель линеаризуется вокруг равновесия, результатом является модель авторегрессивной корректировки цен, используемая в прикладной эконометрике. Затем он тестирует модель с данными о корректировке цен из эксперимента по общему равновесию. Модель хорошо работает в эксперименте по общему равновесию с двумя товарами.	2013
9-е	В линейное программирование проблема: найти сильно полиномиальное время алгоритм, который для данной матрицы А ∈ рм×п и б ∈ рм решает, существует ли Икс ∈ рп с Топор ≥ б.	Нерешенный.	–
10-е	Лемма Пью о закрытии (высший порядок гладкости)	Частично решено. Доказано для гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутых поверхностей М. Асаока и К. Ири в 2016 г.[10]	2016
11-е	Является ли одномерная динамика вообще гиперболической? (а) Может ли комплексный многочлен Т быть аппроксимированы одной из тех же степеней со свойством, что каждая критическая точка стремится к периодическому стоку при итерации? (б) Может ли гладкое отображение Т : [0,1] → [0,1] быть Cр аппроксимируется гиперболическим, для всех р > 1?	(а) Неразрешенный, даже в простейшем пространстве параметров многочленов, Набор Мандельброта. (b) Решено. Доказано Козловским, Шеном и ван Стриеном.[11]	2007
12-е	Для закрытый коллектор ${\displaystyle M}$ и любой ${\displaystyle r\geq 1}$ позволять ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{r}(M)}$ быть топологическая группа из ${\displaystyle C^{r}}$ диффеоморфизмы из ${\displaystyle M}$ на себя. Учитывая произвольный ${\displaystyle A\in \mathrm {Diff} ^{r}(M)}$, можно ли его произвольно хорошо аппроксимировать такими ${\displaystyle T\in \mathrm {Diff} ^{r}(M)}$ что он коммутирует только со своими итерациями? Другими словами, это подмножество всех диффеоморфизмов, у которых центраторы тривиально плотны в ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{r}(M)}$?	Частично решено. Решено в C^1 топология Кристиана Бонатти, Сильвена Кровизье и Эми Уилкинсон[12] в 2009 году. Все еще открыт в Cр топология для р > 1.	2009
13-е	16-я проблема Гильберта: Опишите взаимное расположение овалов, исходящих из настоящий алгебраическая кривая и, как предельные циклы полинома векторное поле на самолете.	Неразрешенный, даже для алгебраических кривых степени 8.	–
14-е	Сделайте свойства Аттрактор Лоренца показать это странного аттрактора?	Решено. Результат: Да, решено Уорик Такер с помощью интервальная арифметика.[13]	2002
15-е	Сделайте Уравнения Навье – Стокса в р^3 всегда есть уникальное гладкое решение что распространяется на все времена?	Нерешенный.	–
16-е	Гипотеза о якобиане: Если определитель Якоби F ненулевая константа и k имеет характеристика 0, тогда F имеет обратную функцию грамм : k^N → k^N, и грамм является обычный (в том смысле, что его компоненты являются многочленами).	Нерешенный.	–
17-е	Решение полиномиальные уравнения в полиномиальное время в среднем случае	Решено. К. Бельтран и Л. М. Пардо нашли однородный вероятностный алгоритм (среднее Алгоритм Лас-Вегаса ) для 17-й проблемы Смейла[14][15] Ф. Кукер и П. Бюргиссер сделано сглаженный анализ вероятностного алгоритма à la Beltrán-Pardo а затем продемонстрировал детерминированный алгоритм, работающий во времени ${\displaystyle N^{O(\log \log N)}}$.[16] Ну наконец то, П. Лайрес нашел альтернативный метод дерандомизации алгоритма и, таким образом, нашел детерминированный алгоритм, который работает в среднем за полиномиальное время.[17] Все эти работы являются продолжением основополагающей работы Шуба и Смейла («Серия Безу»), начатой ​​в[18]	2008-2016
18-е	Пределы интеллект (в нем говорится о фундаментальных проблемах интеллекта и обучения как с человеческой, так и с машинной стороны)[19]	Нерешенный.	–

В более поздних версиях Смейл также перечислил три дополнительные проблемы, «которые не кажутся достаточно важными, чтобы занять место в нашем основном списке, но все же было бы неплохо их решить»:^[20][21]

1. Проблема среднего значения
2. Это трехсферный а минимальный набор (Гипотеза Готшалка )?
3. Является Диффеоморфизм Аносова из компактный коллектор топологически такой же, как Группа Ли модель Джона Фрэнкса?

Смотрите также

• Задачи Премии тысячелетия
• Проблемы Саймона

Рекомендации

1. Смейл, Стив (1998). «Математические задачи следующего века». Математический интеллигент. 20 (2): 7–15. CiteSeerX  10.1.1.35.4101. Дои:10.1007 / bf03025291.
2. Смейл, Стив (1999). «Математические задачи следующего века». В Arnold, V. I .; Atiyah, M .; Lax, P .; Мазур, Б. (ред.). Математика: рубежи и перспективы. Американское математическое общество. С. 271–294. ISBN  978-0821820704.
3. Перельман, Григорий (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv:math.DG / 0211159.
4. Перельман, Григорий (2003). «Поток Риччи с операцией на трехмерных многообразиях». arXiv:math.DG / 0303109.
5. Перельман, Григорий (2003). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv:math.DG / 0307245.
6. Шуб, Михаил; Смейл, Стив (1995). «О неразрешимости Nullstellensatz Гильберта и алгебраической версии» NP ≠ P?"". Duke Math. J. 81: 47–54. Дои:10.1215 / S0012-7094-95-08105-8. Zbl  0882.03040.
7. Bürgisser, Питер (2000). Полнота и редукция теории алгебраической сложности. Алгоритмы и вычисления в математике. 7. Берлин: Springer-Verlag. п. 141. ISBN  978-3-540-66752-0. Zbl  0948.68082.
8. Albouy, A .; Калошин, В. (2012). «Конечность центральных конфигураций пяти тел в плоскости». Анналы математики. 176: 535–588. Дои:10.4007 / анналы.2012.176.1.10.
9. Гьерстад, Стивен (2013). «Динамика цен в биржевой экономике». Экономическая теория. 52 (2): 461–500. CiteSeerX  10.1.1.415.3888. Дои:10.1007 / s00199-011-0651-5.
10. Asaoka, M .; Ири, К. (2016). "А C^∞ лемма о замыкании для гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутых поверхностей ». Геометрический и функциональный анализ. 26 (5): 1245–1254. Дои:10.1007 / s00039-016-0386-3.
11. Козловский, О .; Shen, W .; ван Стриен, С. (2007). «Плотность гиперболичности в одном измерении». Анналы математики. 166: 145–182. Дои:10.4007 / анналы.2007.166.145.
12. Bonatti, C .; Crovisier, S .; Уилкинсон, А. (2009). "The C¹-генерический диффеоморфизм имеет тривиальный централизатор ». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 109: 185–244. arXiv:0804.1416. Дои:10.1007 / s10240-009-0021-z.
13. Такер, Уорик (2002). «Строгий решатель ODE и 14-я проблема Смейла» (PDF). Основы вычислительной математики. 2 (1): 53–117. CiteSeerX  10.1.1.545.3996. Дои:10.1007 / s002080010018.
14. Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2008). «О 17-й проблеме Смейла: вероятностный положительный ответ» (PDF). Основы вычислительной математики. 8 (1): 1–43. CiteSeerX  10.1.1.211.3321. Дои:10.1007 / s10208-005-0211-0.
15. Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2009). «17-я проблема Смейла: среднее полиномиальное время для вычисления аффинных и проективных решений» (PDF). Журнал Американского математического общества. 22 (2): 363–385. Bibcode:2009JAMS ... 22..363B. Дои:10.1090 / s0894-0347-08-00630-9.
16. Кукер, Фелипе; Bürgisser, Питер (2011). «О проблеме, поставленной Стивом Смейлом». Анналы математики. 174 (3): 1785–1836. arXiv:0909.2114. Дои:10.4007 / летопись.2011.174.3.8.
17. Лайрес, Пьер (2016). «Детерминированный алгоритм для вычисления приближенных корней полиномиальных систем за полиномиальное среднее время». Основы вычислительной математики. появиться.
18. Шуб, Михаил; Смейл, Стивен (1993). «Сложность теоремы Безу. I. Геометрические аспекты». J. Amer. Математика. Soc. 6 (2): 459–501. Дои:10.2307/2152805. JSTOR  2152805..
19. «Тусон - День 3 - Интервью со Стивом Смейлом». Рекурсивность. 3 февраля 2006 г.
20. Смейл, Стив. «Математические задачи следующего века» (PDF).
21. Смейл, Стив. «Математические проблемы следующего века, Математика: рубежи и перспективы». Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд: 271–294.