Постоянная кривизна - Constant curvature

В математика, постоянная кривизна это концепция от дифференциальная геометрия. Здесь кривизна относится к секционная кривизна пространства (точнее многообразие ) и является единственным числом, определяющим его локальную геометрию. Кривизна сечения называется постоянной, если она имеет одинаковое значение в каждой точке и для каждой двумерной касательной плоскости в этой точке. Например, сфера - поверхность постоянной положительной кривизны.

Классификация

В Римановы многообразия постоянной кривизны можно разделить на три случая:

эллиптическая геометрия - постоянная положительная кривизна сечения
Евклидова геометрия - постоянная исчезающая секционная кривизна
гиперболическая геометрия - постоянная отрицательная кривизна сечения.

Характеристики

Каждое пространство постоянной кривизны локально симметричный, т.е. его тензор кривизны является параллельно ${displaystyle abla mathrm {R} = 0}$ .
Каждое пространство постоянной кривизны локально максимально симметричный, т.е. имеет ${displaystyle {frac {1} {2}} n (n + 1)}$ количество локальные изометрии, где n - его размерность.
Наоборот, существует похожее, но более сильное утверждение: каждый максимально симметричный пространство, то есть пространство, в котором ${displaystyle {frac {1} {2}} n (n + 1)}$ (Глобальный) изометрии, имеет постоянную кривизну.
(Теорема Киллинга – Хопфа ) универсальный чехол многообразия постоянной секционной кривизны является одним из модельных пространств:
- сфера (секционная кривизна положительная)
- самолет (нулевая кривизна сечения)
- гиперболическое многообразие (секционная кривизна отрицательная)
Пространство постоянной кривизны, которое геодезически полный называется космическая форма а изучение пространственных форм тесно связано с обобщенной кристаллографией (см. статью о космическая форма Больше подробностей).
Две космические формы изоморфный тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое измерение, их метрики обладают одинаковыми подпись и их поперечная кривизна равна.