Лемма Вейльса (уравнение Лапласа) - Weyls lemma (Laplace equation)

В математика, Лемма Вейля, названный в честь Герман Вейль, заявляет, что каждый слабое решение из Уравнение Лапласа это гладкий решение. Это контрастирует с волновое уравнение, например, у которого есть слабые решения, которые не являются гладкими решениями. Лемма Вейля является частным случаем эллиптический или же гипоэллиптическая закономерность.

Утверждение леммы

Позволять ${ displaystyle Omega}$ быть открытое подмножество из ${ displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , и разреши ${ displaystyle Delta}$ обозначить обычный Оператор Лапласа. Лемма Вейля^[1] заявляет, что если локально интегрируемый функция ${ Displaystyle и в L _ { mathrm {loc}} ^ {1} ( Omega)}$ является слабым решением уравнения Лапласа в том смысле, что

{ Displaystyle Int _ { Omega} и (х) , Delta varphi (x) , dx = 0}

для каждого гладкий функция тестирования ${ displaystyle varphi in C_ {c} ^ { infty} ( Omega)}$ с компактная опора, затем (до переопределения на множестве измерять ноль ) ${ Displaystyle и в C ^ { infty} ( Omega)}$ гладко и удовлетворяет ${ displaystyle Delta u = 0}$ точечно в ${ displaystyle Omega}$ .

Из этого результата следует внутренняя регулярность гармонических функций в ${ displaystyle Omega}$ , но это ничего не говорит об их регулярности на границе ${ displaystyle partial Omega}$ .

Идея доказательства

Чтобы доказать лемму Вейля, сворачивает функция ${ displaystyle u}$ с соответствующим успокаивающее средство ${ displaystyle varphi _ { varepsilon}}$ и показывает, что смягчение ${ Displaystyle и _ { varepsilon} = varphi _ { varepsilon} ast u}$ удовлетворяет уравнению Лапласа, из которого следует, что ${ displaystyle u _ { varepsilon}}$ имеет свойство среднего значения. Принимая предел как ${ displaystyle varepsilon to 0}$ и используя свойства успокаивающих средств, обнаруживаем, что ${ displaystyle u}$ также имеет свойство среднего значения, что означает, что это гладкое решение уравнения Лапласа.^[2] Альтернативные доказательства используют гладкость фундаментального решения лапласиана или подходящие априорные эллиптические оценки.

Обобщение на распределения

В общем, тот же результат сохраняется для каждого дистрибутивное решение уравнения Лапласа: Если ${ Displaystyle T in D '( Omega)}$ удовлетворяет ${ Displaystyle langle T, Delta varphi rangle = 0}$ для каждого ${ displaystyle varphi in C_ {c} ^ { infty} ( Omega)}$ , тогда ${ displaystyle T = T_ {u}}$ - регулярное распределение, связанное с гладким решением ${ Displaystyle и в C ^ { infty} ( Omega)}$ уравнения Лапласа.^[3]

Связь с гипоэллиптичностью

Лемма Вейля следует из более общих результатов о свойствах регулярности эллиптических или гипоэллиптических операторов.^[4] Линейный оператор в частных производных ${ displaystyle P}$ с гладкими коэффициентами гипоэллиптична, если исключительная поддержка из ${ displaystyle Pu}$ равна сингулярному носителю ${ displaystyle u}$ для каждого распределения ${ displaystyle u}$ . Оператор Лапласа гипоэллиптичен, поэтому если ${ displaystyle Delta u = 0}$ , то особый носитель ${ displaystyle u}$ пусто, так как особый носитель ${ displaystyle 0}$ пусто, что означает, что ${ Displaystyle и в C ^ { infty} ( Omega)}$ . Фактически, поскольку лапласиан эллиптический, верен более сильный результат, и решения ${ displaystyle Delta u = 0}$ находятся аналитический.

Примечания

^ Герман Вейль, Метод ортогональных проекций в теории потенциала. Duke Math. Дж.1940. Т. 7. С. 411–444. См. Лемму 2, с. 415
^ Бернар Дакорогна, Введение в вариационное исчисление, 2-е изд., Imperial College Press (2009), стр. 148.
^ Ларс Гординг, Некоторые моменты анализа и их история, AMS (1997), стр. 66.
^ Ларс Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I, 2-е изд., Springer-Verlag (1990), с.110