Задача Дирихле - Dirichlet problem

В математика, а Задача Дирихле проблема поиска функция который решает указанный уравнение в частных производных (PDE) внутри данной области, которая принимает заданные значения на границе области.

Проблема Дирихле может быть решена для многих УЧП, хотя первоначально она ставилась для Уравнение Лапласа. В таком случае проблему можно сформулировать следующим образом:

Учитывая функцию ж который имеет значения всюду на границе области в р^п, есть ли уникальный непрерывная функция ты дважды непрерывно дифференцируемые внутри и непрерывные на границе, такие что ты является гармонический в интерьере и ты = ж на границе?

Это требование называется Граничное условие Дирихле. Главный вопрос - доказать наличие решения; единственность можно доказать с помощью принцип максимума.

История

Проблема Дирихле восходит к Джордж Грин который изучал задачу на общих областях с общими граничными условиями в своей Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма, опубликованной в 1828 году. Он свел проблему к проблеме построения того, что мы теперь называем функциями Грина, и утверждал, что функция Грина существует для любой области. Его методы не были строгими по сегодняшним стандартам, но их идеи оказали большое влияние на последующие разработки. Следующие шаги в изучении проблемы Дирихле были предприняты. Карл Фридрих Гаусс, Уильям Томсон (Лорд Кельвин ) и Питер Густав Лежен Дирихле в честь которого была названа проблема и решение проблемы (по крайней мере для мяча) с использованием ядра Пуассона было известно Дирихле (судя по его статье 1850 г., представленной в Прусскую академию). Лорд Кельвин и Дирихле предложили решение проблемы вариационным методом, основанным на минимизации «энергии Дирихле». По словам Ганса Фройденталя (в Словарь научной биографии, том 11), Бернхард Риманн был первым математиком, который решил эту вариационную задачу на основе метода, который он назвал Принцип Дирихле. Существование единственного решения весьма правдоподобно с точки зрения «физического аргумента»: любое распределение заряда на границе должно по законам электростатика, определить электрический потенциал как решение. Тем не мение, Карл Вейерштрасс обнаружили изъян в аргументации Римана, и строгое доказательство существования было найдено только в 1900 г. Дэвид Гильберт, используя его прямой метод вариационного исчисления. Оказывается, существование решения тонко зависит от гладкости границы и заданных данных.

Общее решение

Для домена ${\displaystyle D}$ имеющий достаточно гладкую границу ${\displaystyle \partial D}$, общее решение задачи Дирихле дается формулой

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds}$

куда ${\displaystyle G(x,y)}$ это Функция Грина для уравнения в частных производных, и

${\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}}$

- производная функции Грина вдоль направленного внутрь вектора единичной нормали ${\displaystyle {\widehat {n}}}$. Интегрирование проводится на границе, при этом мера ${\displaystyle ds}$. Функция ${\displaystyle \nu (s)}$ дается единственным решением Интегральное уравнение Фредгольма второго рода,

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds.}$

В приведенном выше интеграле используется функция Грина, которая обращается в нуль на границе:

${\displaystyle G(x,s)=0}$

за ${\displaystyle s\in \partial D}$ и ${\displaystyle x\in D}$. Такая функция Грина обычно является суммой функции Грина свободного поля и гармонического решения дифференциального уравнения.

Существование

Задача Дирихле для гармонических функций всегда имеет решение, и это решение единственно, когда граница достаточно гладкая и ${\displaystyle f(s)}$ непрерывно. Точнее, есть решение, когда

${\displaystyle \partial D\in C^{1,\alpha }}$

для некоторых ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$, куда ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ обозначает Условие Гёльдера.

Пример: единичный диск в двух измерениях

В некоторых простых случаях проблема Дирихле может быть решена явно. Например, решение задачи Дирихле для единичного круга в р² дается Интегральная формула Пуассона.

Если ${\displaystyle f}$ - непрерывная функция на границе ${\displaystyle \partial D}$ открытого единичного диска ${\displaystyle D}$, то решение задачи Дирихле есть ${\displaystyle u(z)}$ данный

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{\vert 1-ze^{-i\psi }\vert ^{2}}}d\psi &{\mbox{if }}z\in D\\f(z)&{\mbox{if }}z\in \partial D.\end{cases}}}$

Решение ${\displaystyle u}$ непрерывна на замкнутом единичном диске ${\displaystyle {\bar {D}}}$ и гармонический на ${\displaystyle D.}$

Подынтегральное выражение известно как Ядро Пуассона; это решение следует из функции Грина в двух измерениях:

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log \vert z-x\vert +\gamma (z,x)}$

куда ${\displaystyle \gamma (z,x)}$ гармоничен

${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$

и выбрали так, чтобы ${\displaystyle G(z,x)=0}$ за ${\displaystyle x\in \partial D}$.

Методы решения

Для ограниченных областей задача Дирихле может быть решена с помощью Метод Перрона, который опирается на принцип максимума за субгармонические функции. Этот подход описан во многих учебниках.^[1] Он не очень подходит для описания гладкости решений, когда граница гладкая. Еще один классический Гильбертово пространство подход через Соболевские пространства действительно дает такую ​​информацию.^[2] Решение задачи Дирихле с использованием Соболевские пространства для плоских областей можно использовать для доказательства гладкой версии Теорема римана отображения. Белл (1992) изложил другой подход к доказательству теоремы о гладком отображении Римана, основанный на воспроизводящие ядра Сегё и Бергмана и, в свою очередь, использовали его для решения проблемы Дирихле. Классические методы теория потенциала позволяют решить проблему Дирихле непосредственно в терминах интегральные операторы, для которого стандартная теория компактный и Фредгольмовы операторы применимо. Те же методы одинаково работают для Проблема Неймана.^[3]

Обобщения

Задачи Дирихле типичны для эллиптические уравнения в частных производных, и теория потенциала, а Уравнение лапласа особенно. Другие примеры включают бигармоническое уравнение и связанные уравнения в теория упругости.

Они являются одним из нескольких типов классов задач PDE, определяемых информацией, указанной на границе, включая Проблемы Неймана и Задачи Коши.

Пример - уравнение конечной струны, прикрепленной к одной движущейся стене

Рассмотрим задачу Дирихле для волновое уравнение который описывает струну, прикрепленную между стенками, один конец которой постоянно прикреплен, а другой движется с постоянной скоростью, т.е. уравнение даламбера на треугольной области Декартово произведение пространства и времени:

${\displaystyle {\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial {}^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0}$

${\displaystyle u(0,t)=0}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0}$

Как легко проверить подстановкой, решение, удовлетворяющее первому условию, есть

${\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t)}$

Дополнительно мы хотим

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0}$

Подстановка

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t}$

мы получаем состояние самоподобие

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau )}$

куда

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}}$

Это выполняется, например, составная функция${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

с

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i}}$

таким образом в целом

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )]}$

куда ${\displaystyle g}$ это периодическая функция с периодом ${\displaystyle \log(\gamma )}$

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau )}$

и мы получаем общее решение

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)]}$.

Примечания

1. См. Например:
   • Джон 1982
   • Берс, Джон и Шехтер, 1979 г.
   • Грин и Кранц 2006
2. См. Например:
   • Берс, Джон и Шехтер, 1979 г.
   • Чазарайн и Пириу 1982
   • Тейлор 2011
3. Видеть:
   • Фолланд 1995
   • Берс, Джон и Шехтер, 1979 г.

Рекомендации

• А. Янушаускас (2001) [1994], «Проблема Дирихле», Энциклопедия математики, EMS Press
• С. Г. Кранц, Проблема Дирихле. §7.3.3 в Справочник комплексных переменных. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, стр. 93, 1999. ISBN  0-8176-4011-8.
• С. Акслер, П. Горкин, К. Восс, Задача Дирихле на квадратичных поверхностях Математика вычислений 73 (2004), 637-651.
• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-41160-4
• Жерар, Патрик; Лейхтнам, Эрик: Эргодические свойства собственных функций задачи Дирихле. Duke Math. J. 71 (1993), нет. 2, 559-607.
• Джон, Фриц (1982), Уравнения с частными производными, Прикладные математические науки, 1 (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90609-6
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения с частными производными с дополнениями Ларса Гёрдинга и А. Н. Милграма, Лекции по прикладной математике, 3А, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0049-3
• Агмон, Шмуэль (2010), Лекции по эллиптическим краевым задачам, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4910-7
• Штейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и дифференцируемость функций., Princeton University Press
• Грин, Роберт Э.; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одного комплексного переменного, Аспирантура по математике, 40 (3-е изд.) Американского математического общества, ISBN  0-8218-3962-4
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения с частными производными I. Основная теория, Прикладные математические науки, 115 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-1-4419-7054-1
• Циммер, Роберт Дж. (1990), Основные результаты функционального анализа, Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press, ISBN  0-226-98337-4
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN  0-691-04361-2
• Chazarain, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений с частными производными, Исследования по математике и ее приложениям, 14, Эльзевьер, ISBN  0444864520
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-X
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 94, Спрингер, ISBN  0387908943
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley Interscience, ISBN  0471050598
• Курант Р. (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности, Interscience
• Schiffer, M .; Хоули, Н. С. (1962), "Связи и конформное отображение", Acta Math., 107: 175–274, Дои:10.1007 / bf02545790

внешняя ссылка

• «Проблема Дирихле», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Задача Дирихле». MathWorld.