Задача Коши - Cauchy problem

А Задача Коши в математике требует решения уравнение в частных производных который удовлетворяет определенным условиям, заданным на гиперповерхность в домене.^[1] Задача Коши может быть проблема начального значения или краевая задача (для этого случая см. также Граничное условие Коши ). Он назван в честь Огюстен Луи Коши.

Официальное заявление

Для уравнения в частных производных, определенного на р^{п + 1} и гладкое многообразие S ⊂ р^{п + 1} измерения п (S называется Поверхность Коши ) задача Коши состоит в нахождении неизвестных функций ${ displaystyle u_ {1}, dots, u_ {N}}$ дифференциального уравнения относительно независимых переменных ${ displaystyle t, x_ {1}, dots, x_ {n}}$ это удовлетворяет^[2]

{ displaystyle { begin {align} & { frac { partial ^ {n_ {i}} u_ {i}} { partial t ^ {n_ {i}}}} = F_ {i} left (t , x_ {1}, dots, x_ {n}, u_ {1}, dots, u_ {N}, dots, { frac { partial ^ {k} u_ {j}} { partial t ^ {k_ {0}} partial x_ {1} ^ {k_ {1}} dots partial x_ {n} ^ {k_ {n}}}}, dots right) & { text {для }} i, j = 1,2, dots, N; , k_ {0} + k_ {1} + dots + k_ {n} = k leq n_ {j}; , k_ {0} < п_ {j} end {выровнено}}}

при условии, за некоторую стоимость ${ displaystyle t = t_ {0}}$ ,

{ displaystyle { frac { partial ^ {k} u_ {i}} { partial t ^ {k}}} = phi _ {i} ^ {(k)} (x_ {1}, dots, x_ {n}) quad { text {for}} k = 0,1,2, dots, n_ {i} -1}

куда ${ Displaystyle фи _ {я} ^ {(к)} (х_ {1}, точки, х_ {п})}$ заданы функции, определенные на поверхности ${ displaystyle S}$ (вместе известный как Данные Коши проблемы). Производная нулевого порядка означает, что задана сама функция.

Теорема Коши – Ковалевского

В Теорема Коши – Ковалевского утверждает, что Если все функции ${ displaystyle F_ {i}}$ находятся аналитический в некоторой окрестности точки ${ displaystyle (t ^ {0}, x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, dots, phi _ {j, k_ {0}, k_ {1}, dots, к_ {п}} ^ {0}, точки)}$ , и если все функции ${ displaystyle phi _ {j} ^ {(k)}}$ аналитичны в некоторой окрестности точки ${ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, dots, x_ {n} ^ {0})}$ , то задача Коши имеет единственное аналитическое решение в некоторой окрестности точки ${ displaystyle (т ^ {0}, x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, dots, x_ {n} ^ {0})}$ .