Теорема Коши – Ковалевского - Cauchy–Kowalevski theorem

В математика, то Теорема Коши – Ковалевской (также пишется как Теорема Коши – Ковалевского) - главный местный существование и теорема единственности для аналитический уравнения в частных производных связан с Задачи Коши с начальным значением. Особый случай был доказан Огюстен Коши (1842 ), а полный результат - Софи Ковалевская (1875 ).

Теорема Коши – Ковалевской первого порядка.

Эта теорема о существовании решений системы м дифференциальные уравнения в п размеры, когда коэффициенты аналитические функции. Теорема и ее доказательство верны для аналитических функций вещественных или комплексных переменных.

Позволять K обозначим либо поля действительных или комплексных чисел, и пусть V = K^м и W = K^п. Позволять А₁, ..., А_п−1 быть аналитические функции определено на некоторых окрестности из (0, 0) в W × V и принимая значения в м × м матрицы, и пусть б - аналитическая функция со значениями в V определены в той же окрестности. Тогда существует окрестность 0 в W на котором квазилинейный Задача Коши

{ displaystyle partial _ {x_ {n}} f = A_ {1} (x, f) partial _ {x_ {1}} f + cdots + A_ {n-1} (x, f) partial _ {x_ {n-1}} f + b (x, f)}

с начальным условием

{ displaystyle f (x) = 0}

на гиперповерхности

{ displaystyle x_ {n} = 0}

имеет уникальное аналитическое решение ƒ : W → V около 0.

Пример Леви показывает, что теорема верна не для всех гладких функций.

Теорема также может быть сформулирована в абстрактных (вещественных или комплексных) векторных пространствах. Позволять V и W быть конечномерными действительными или комплексными векторными пространствами, с п = тусклыйW. Позволять А₁, ..., А_п−1 быть аналитические функции со значениями в Конец (V) и б аналитическая функция со значениями в V, определенные на некоторых окрестности из (0, 0) в W × V. В этом случае верен тот же результат.

Доказательство аналитическим мажоризацией

Обе стороны уравнение в частных производных может быть расширен как формальный степенной ряд и приведем рекуррентные соотношения для коэффициентов формального степенного ряда при ж которые однозначно определяют коэффициенты. В Серия Тейлор коэффициенты А_яи б находятся мажоритарный в матрице и векторной норме простой скалярной рациональной аналитической функцией. Соответствующая скалярная задача Коши, включающая эту функцию вместо А_яи б имеет явное локально-аналитическое решение. Абсолютные значения его коэффициентов превосходят нормы исходной задачи; поэтому решение формального степенного ряда должно сходиться там, где сходится скалярное решение.

Теорема Коши – Ковалевской высшего порядка.

Если F и ж_j являются аналитическими функциями вблизи 0, то нелинейный Задача Коши

{ displaystyle partial _ {t} ^ {k} h = F left (x, t, partial _ {t} ^ {j} , partial _ {x} ^ { alpha} h right) , { text {где}} j

с начальными условиями

{ displaystyle partial _ {t} ^ {j} час (x, 0) = f_ {j} (x), qquad 0 leq j

имеет единственное аналитическое решение около 0.

Это следует из задачи первого порядка при рассмотрении производных от час появляются в правой части как компоненты векторной функции.

пример

В уравнение теплопроводности

{ displaystyle partial _ {t} h = partial _ {x} ^ {2} h}

с условием

{ displaystyle h (0, x) = {1 over 1 + x ^ {2}} { text {for}} t = 0}

имеет уникальное решение формального степенного ряда (расширенное вокруг (0, 0)). Однако этот формальный степенной ряд не сходится ни при каких ненулевых значениях т, поэтому в окрестности начала координат нет аналитических решений. Это показывает, что условие |α| + j ≤ k выше нельзя отбросить. (Этот пример принадлежит Ковалевски.)

Теорема Коши – Ковалевской – Кашивары

Имеется широкое обобщение теоремы Коши – Ковалевской для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами: Теорема Коши – Ковалевской – Кашивары, из-заМасаки Кашивара (1983 ). В этой теореме есть когомологический формулировка, представленная на языке D-модули. Условие существования включает условие совместимости неоднородных частей каждого уравнения и обращение в нуль производный функтор ${ displaystyle Ext ^ {1}}$ .

пример

Позволять ${ Displaystyle п leq m}$ . Набор ${ Displaystyle Y = {x_ {1} = cdots = x_ {n} }}$ . Система ${ displaystyle partial _ {x_ {i}} f = g_ {i}, i = 1, ldots, n,}$ есть решение ${ displaystyle f in mathbb {C} {x_ {1}, ldots, x_ {m} }}$ тогда и только тогда, когда условия совместимости ${ displaystyle partial _ {x_ {i}} g_ {j} = partial _ {x_ {j}} g_ {i}}$ проверены. Чтобы получить уникальное решение, мы должны включить начальное условие ${ displaystyle f | _ {Y} = h}$ , где ${ Displaystyle ч ин mathbb {C} {x_ {n + 1}, ldots, x_ {m} }}$ .

использованная литература

Коши, Огюстен (1842), "Mémoire sur l'emploi du Calcul des Limites dans l'intégration des équations aux dérivées partielles", Comptes rendus, 15 Перепечатано в Oeuvres complete, 1 серия, Том VII, страницы 17–58.
Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения с частными производными, Издательство Принстонского университета, ISBN 0-691-04361-2
Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, Г-Н 0717035 (линейный случай)
Кашивара, М. (1983), Системы микродифференциальных уравнений, Успехи в математике, 34, Биркхойзер, ISBN 0817631380
фон Ковалевский, Софи (1875), "Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 80: 1–32 (В то время использовалось немецкое написание ее фамилии.)
Нахушев, А. (2001) [1994], «Теорема Коши – Ковалевской», Энциклопедия математики, EMS Press

внешние ссылки

PlanetMath