Соболевские пространства для плоских областей - Sobolev spaces for planar domains

В математика, Соболевские пространства для плоских областей являются одним из основных методов, используемых в теории уравнения в частных производных для решения Дирихле и Neumann краевые задачи для Лапласиан в ограниченной области на плоскости с гладкой границей. В методах используется теория ограниченные операторы на Гильбертово пространство. Их можно использовать для вывода свойств регулярности решений и для решения соответствующих задач на собственные значения.

Пространства Соболева с граничными условиями

Позволять Ω ⊂ р² - ограниченная область с гладкой границей. С Ω содержится в большом квадрате в р², его можно рассматривать как домен в Т² путем определения противоположных сторон квадрата. Теория пространств Соболева на Т² можно найти в Берс, Джон и Шехтер (1979), счет, которому следуют в нескольких более поздних учебниках, таких как Уорнер (1983) и Гриффитс и Харрис (1994).

За k целое число, (ограничено) Соболевское пространство ЧАС^k
₀(Ом) определяется как закрытие C^∞
_c(Ом) в стандарте Соболевское пространство ЧАС^k(Т²).

• ЧАС⁰
  ₀(Ω) = L²(Ом).
• Исчезающие свойства на границе: За k > 0 элементы ЧАС^k
  ₀(Ом) называются "L² функции на Ω которые исчезают с их первым k − 1 производные на ∂Ω."^[1] Фактически, если  ж ∈ C^k(Ω) согласен с функцией в ЧАС^k
  ₀(Ом), тогда грамм = ∂^αж  в C¹. Позволять  ж_п ∈ C^∞
  _c(Ом) быть таким, чтобы  ж_п → ж  в норме Соболева и положим грамм_п = ∂^αж_п . Таким образом грамм_п → грамм в ЧАС¹
  ₀(Ом). Следовательно, для час ∈ C^∞(Т²) и D = а∂_Икс + б∂_у,

${\displaystyle \iint _{\Omega }\left(g(Dh)+(Dg)h\right)\,dx\,dy=\lim _{n\to 0}\iint _{\Omega }\left(g(Dh_{n})+(Dg)h_{n}\right)\,dx\,dy=0.}$

К Теорема Грина Из этого следует

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }gk=0,}$

куда

${\displaystyle k=h\cos \left(\mathbf {n} \cdot (a,b)\right),}$

с п единица нормальна к границе. Поскольку такие k образуют плотное подпространство L²(Ом), следует, что грамм = 0 на ∂Ω.

• Свойства поддержки: Позволять Ω^c быть дополнением Ω и аналогично определим ограниченные пространства Соболева для Ω^c. Оба набора пространств имеют естественное соединение с C^∞(Т²). Соболевское пространство для Ω аннигилятор в пространстве Соболева для Т² из C^∞
  _c(Ω^c) и это для Ω^c является аннигилятором C^∞
  _c(Ом).^[2] Фактически это доказывается путем локального применения небольшого сдвига для перемещения области внутрь себя и последующего сглаживания оператором гладкой свертки.

Предполагать грамм в ЧАС^k(Т²) уничтожает C^∞
_c(Ω^c). По компактности открытых множеств конечное число U₀, U₁, ... , U_N покрытие Ω так что закрытие U₀ не пересекается с ∂Ω и каждый U_я открытый диск около граничной точки z_я так что в U_я небольшие переводы в направлении вектора нормали п_я нести Ω в Ω. Добавить открытый U_N+1 с закрытием в Ω^c сделать обложку Т² и разреши ψ_я быть разделение единства подчиняться этому прикрытию. Если перевод п обозначается λ_п, то функции

${\displaystyle g_{t}=\psi _{0}g+\sum _{i=1}^{N}\psi _{n}\lambda _{tn_{i}}g}$

как правило грамм в качестве т уменьшается до 0 и все еще лежат в аннигиляторе, на самом деле они находятся в аннигиляторе для большей области, чем Ω^c, дополнение которого лежит в Ω. Свертка с помощью гладких функций малой опоры дает гладкие аппроксимации в аннигиляторе немного меньшей области, но с дополнением в Ω. Это обязательно гладкие функции компактного носителя в Ω.

• Другие исчезающие свойства на границе: Характеризация в терминах аннигиляторов показывает, что  ж ∈ C^k(Ω) лежит в ЧАС^k
  ₀(Ом) если (и только если) он и его производные порядка меньше k исчезнуть на ∂Ω.^[3] Фактически  ж  может быть расширен до Т² установив его как 0 на Ω^c. Это расширение F определяет элемент в ЧАС^k(Т²) по формуле нормы

${\displaystyle \|h\|_{(k)}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}\left\|\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k-j}h\right\|^{2}.}$

более того F удовлетворяет (F, грамм) = 0 за грамм в C^∞
_c(Ω^c).

• Двойственность: За k ≥ 0, определять ЧАС^−k(Ом) быть ортогональным дополнением к ЧАС^−k
  ₀(Ω^c) в ЧАС^−k(Т²). Позволять п_k - ортогональная проекция на ЧАС^−k(Ом), так что Q_k = я − п_k ортогональная проекция на ЧАС^−k
  ₀(Ω^c). Когда k = 0это просто дает ЧАС⁰(Ω) = L²(Ом). Если  ж ∈ H^k
  ₀(Ω^c) и грамм ∈ H^−k(Т²), тогда

${\displaystyle (f,g)=(f,P_{k}g).}$

Это означает, что при спаривании между ЧАС^k(Т²) и ЧАС^−k(Т²), ЧАС^k
₀(Ω^c) и ЧАС^−k(Ом) являются двойниками друг друга.

• Аппроксимация гладкими функциями: Образ C^∞
  _c(Ом) плотно в ЧАС^−k(Ом) за k ≤ 0. Это очевидно для k = 0 поскольку сумма C^∞
  _c(Ом) + C^∞
  _c(Ω^c) плотно в L²(Т²). Плотность для k < 0 следует потому, что образ L²(Т²) плотно в ЧАС^−k(Т²) и п_k уничтожает C^∞
  _c(Ω^c).
• Канонические изометрии: Оператор (я + ∆)^k дает изометрию ЧАС^2k
  ₀(Ом) в ЧАС⁰(Ом) и из ЧАС^k
  ₀(Ом) на ЧАС^−k(Ом). Фактически, первое утверждение следует, потому что оно верно на Т². Который (я + ∆)^k является изометрией на ЧАС^k
  ₀(Ом) следует с использованием плотности C^∞
  _c(Ом) в ЧАС^−k(Ом): за  ж, грамм ∈ C^∞
  _c(Ом) у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|P_{k}(I+\Delta )^{k}f\right\|_{(-k)}&=\sup _{\|g\|_{(-k)}=1}\left|\left((I+\Delta )^{k}f,g\right)_{(-k)}\right|\\&=\sup _{\|g\|_{(-k)}=1}|(f,g)|\\&=\|f\|_{(k)}.\end{aligned}}}$

Поскольку сопряженное отображение между двойниками можно отождествить с этим отображением, отсюда следует, что (я + ∆)^k унитарное отображение.

Приложение к проблеме Дирихле

Смотрите также: Задача Дирихле

Обратимость ∆

Оператор ∆ определяет изоморфизм между ЧАС¹
₀(Ом) и ЧАС⁻¹(Ом). Фактически это фредгольмов оператор индекса 0. Ядро ∆ в ЧАС¹(Т²) состоит из постоянных функций, и ни одна из них, кроме нуля, не обращается в нуль на границе Ω. Следовательно, ядро ЧАС¹
₀(Ом) является (0) и ∆ обратимо.

В частности, уравнение ∆ж = грамм имеет уникальное решение в ЧАС¹
₀(Ом) за грамм в ЧАС⁻¹(Ом).

Проблема собственных значений

Позволять Т быть оператором на L²(Ом) определяется

${\displaystyle T=R_{1}\Delta ^{-1}R_{0},}$

куда р₀ это включение L²(Ом) в ЧАС⁻¹(Ом) и р₁ из ЧАС¹
₀(Ом) в L²(Ом), оба компактных оператора по теореме Реллиха. Оператор Т компактен и самосопряжен с (Tf, ж ) > 0 для всех ж. Посредством спектральная теорема, существует полный ортонормированный набор собственных функций ж_п в L²(Ом) с

${\displaystyle Tf_{n}=\mu _{n}f_{n},\qquad \mu _{n}>0,\mu _{n}\to 0.}$

С μ_п > 0, ж_п лежит в ЧАС¹
₀(Ом). Параметр λ_п = μ_−п, то ж_п - собственные функции лапласиана:

${\displaystyle \Delta f_{n}=\lambda _{n}f_{n},\qquad \lambda _{n}>0,\lambda _{n}\to \infty .}$

Пространства Соболева без граничного условия

Для определения свойств регулярности собственных функций  ж_п  и решения

${\displaystyle \Delta f=u,\qquad u\in H^{-1}(\Omega ),f\in H_{0}^{1}(\Omega ),}$

расширения пространств Соболева ЧАС^k
₀(Ом) нужно учитывать. Позволять C^∞(Ω⁻) - пространство гладких функций на Ω которые со своими производными непрерывно продолжаются на Ω. К Лемма Бореля, это в точности ограничения гладких функций на Т². Пространство Соболева ЧАС^k(Ом) определяется как гильбертово пополнение этого пространства по норме

${\displaystyle \|f\|_{(k)}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}\left\|\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k-j}f\right\|^{2}.}$

Эта норма совпадает с нормой Соболева о C^∞
_c(Ом) так что ЧАС^k
₀(Ом) можно рассматривать как замкнутое подпространство в ЧАС^k(Ом). В отличие от ЧАС^k
₀(Ом), ЧАС^k(Ом) не является естественным подпространством ЧАС^k(Т²), но отображение, ограничивающее гладкие функции из Т² к Ω непрерывна для нормы Соболева, поэтому продолжается по непрерывности на отображение ρ_k : H^k(Т²) → H^k(Ом).

• Инвариантность относительно диффеоморфизма: Любой диффеоморфизм между замыканиями двух гладких областей индуцирует изоморфизм между пространством Соболева. Это простое следствие цепного правила для производных.
• Теорема о продолжении: Ограничение ρ_k к ортогональному дополнению его ядра определяет изоморфизм на ЧАС^k(Ом). Карта расширения E_k определяется как обратное этому отображению: это изоморфизм (не обязательно с сохранением нормы) ЧАС^k(Ом) на ортогональное дополнение к ЧАС^k
  ₀(Ω^c) такой, что ρ_k ∘ E_k = я. На C^∞
  _c(Ом), это согласуется с картой естественного включения. Карты ограниченного расширения E_k такого рода от ЧАС^k(Ом) к ЧАС^k(Т²) были построены сначала построенными Hestenes и Lions. Для плавных кривых Теорема Сили о продолжении дает продолжение, непрерывное по всем нормам Соболева. Вариант расширения, который применяется в случае, когда граница является просто липшицевой кривой, был построен Кальдерон с помощью сингулярные интегральные операторы и обобщены Штейн (1970).

Достаточно построить пристройку E для окрестности замкнутого кольца, так как воротник вокруг границы диффеоморфен кольцу я × Т с я закрытый интервал в Т. Принятие функции плавного удара ψ с 0 ≤ ψ ≤ 1, равные 1 вблизи границы и 0 вне воротника, E(ψf ) + (1 − ψ) ж  предоставит продление на Ω. На кольцевом пространстве задача сводится к поиску продолжения для C^k( я ) в C^k(Т). Используя разбиение единицы, задача расширения сводится к окрестности концевых точек я. Предполагая, что 0 - левая конечная точка, расширение задается локально

${\displaystyle E(f)=\sum _{m=0}^{k}a_{m}f\left(-{\frac {x}{m+1}}\right).}$

Сопоставление первых производных порядка k или меньше при 0, дает

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}(-m-1)^{-k}a_{m}=1.}$

Это матричное уравнение разрешимо, поскольку определитель отличен от нуля по формуле Формула Вандермонда. Несложно проверить, что формула для E( ж ), при соответствующей модификации с помощью функций выдавливания приводит к продолжению, которое является непрерывным в указанной выше норме Соболева.^[4]

• Теорема ограничения: Карта ограничений ρ_k сюръективен с кер ρ_k = H^k
  ₀(Ω^c). Это непосредственное следствие теоремы о продолжении и опорных свойств для пространств Соболева с граничным условием.
• Двойственность: ЧАС^k(Ом) естественно двойственный к H^−k₀(Ω). Опять же, это непосредственное следствие теоремы об ограничении. Таким образом, пространства Соболева образуют цепочку:

${\displaystyle \cdots \subset H^{2}(\Omega )\subset H^{1}(\Omega )\subset H^{0}(\Omega )\subset H_{0}^{-1}(\Omega )\subset H_{0}^{-2}(\Omega )\subset \cdots }$

Операторы дифференцирования ∂_Икс, ∂_у перенесем каждое соболевское пространство в большее с индексом на 1 меньше.

• Теорема вложения Соболева: ЧАС^k+2(Ом) содержится в C^k(Ω⁻). Это непосредственное следствие теоремы о продолжении и теоремы вложения Соболева для ЧАС^k+2(Т²).
• Характеристика: ЧАС^k(Ом) состоит из  ж  в L²(Ω) = H⁰(Ом) такая, что все производные ∂^αж роды L²(Ом) для | α | ≤ kЗдесь производные берутся внутри цепочки пространств Соболева выше.^[5] С C^∞
  _c(Ом) слабо плотный в ЧАС^k(Ом), это условие равносильно существованию L² функции ж_α такой, что

${\displaystyle \left(f_{\alpha },\varphi \right)=(-1)^{|\alpha |}\left(f,\partial ^{\alpha }\varphi \right),\qquad |\alpha |\leq k,\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ).}$

Чтобы доказать характеристику, заметим, что если  ж  в ЧАС^k(Ом), тогда ∂^αж  лежит в H^{k- | α |}(Ω) и, следовательно, в ЧАС⁰(Ω) = L²(Ом). Наоборот, результат хорошо известен для пространств Соболева ЧАС^k(Т²): из предположения следует, что (∂_Икс − я∂_у)^k ж  в L²(Т²) и соответствующее условие на коэффициенты Фурье  ж  показывает, что  ж  лежит в ЧАС^k(Т²). Аналогично результат можно доказать непосредственно для кольца [−δ, δ] × Т. Фактически, аргумент о Т₂ ограничение  ж  в любое меньшее кольцо [−δ ', δ'] × Т лежит в ЧАС^k: эквивалентно ограничение функции  ж_р (Икс, у) = ж (Rx, у) лежит в ЧАС^k за р > 1. С другой стороны ∂^α ж_р → ∂^α ж в L² в качестве р → 1, так что  ж  должен лежать в ЧАС^k. Случай для общей области Ω сводится к этим двум случаям, поскольку  ж  можно записать как  ж = ψf + (1 − ψ) ж  с ψ - функция удара, поддерживаемая в Ω такой, что 1 − ψ поддерживается в воротнике границы.

• Теорема регулярности: Если  ж  в L²(Ом) имеет обе производные ∂_Икс ж и ∂_у ж в ЧАС^k(Ом) тогда  ж  лежит в ЧАС^k+1(Ом). Это непосредственное следствие характеристики ЧАС^k(Ом) над. Фактически, если это так, даже если выполняется на уровне распределений: если есть функции грамм, час в ЧАС^k(Ом) такой, что (грамм, φ) = (ж, φ_Икс) и (час, φ) = (ж, φ_у) для φ в C^∞
  _c(Ом), тогда  ж  в ЧАС^k+1(Ом).
• Вращения на кольцевом пространстве: Для кольцевого пространства я × Т, карта расширения на Т² по построению эквивариантно относительно поворотов по второй переменной,

${\displaystyle R_{t}f(x,y)=f(x,y+t).}$

На Т² известно, что если  ж  в ЧАС^k, то коэффициент разницы δ_час ж = час⁻¹(р_час ж − ж ) → ∂_у ж  в ЧАС^k−1; если разностные коэффициенты ограничены в ЧАС^k тогда ∂_уж лежит в ЧАС^k. Оба утверждения являются следствием формулы:

${\displaystyle {\widehat {\delta _{h}f}}(m,n)=h^{-1}(e^{-ihn}-1){\widehat {f}}(m,n)=-\int _{0}^{1}ine^{-inht}\,dt\,\,{\widehat {f}}(m,n).}$

Эти результаты на Т² подразумевают аналогичные результаты на кольцевом пространстве с использованием удлинителя.

Регулярность задачи Дирихле

Регулярность двойственной задачи Дирихле

Если ∆ты = ж с ты в ЧАС¹
₀(Ом) и ж в ЧАС^k−1(Ом) с k ≥ 0, тогда ты лежит в ЧАС^k+1(Ом).

Возьмите разложение ты = ψu + (1 − ψ)ты с ψ поддерживается в Ω и 1 − ψ поддерживается в воротнике границы. Стандартная теория Соболева для Т² может быть применен к ψu: эллиптическая регулярность означает, что она лежит в ЧАС^k+1(Т²) и поэтому ЧАС^k+1(Ом). v = (1 − ψ)ты лежит в ЧАС¹
₀ воротника, диффеоморфного кольцу, поэтому достаточно доказать результат с помощью Ω воротник и ∆ заменен на

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&=\Delta -[\Delta ,\psi ]\\&=\Delta +\left(p\partial _{x}+q\partial _{y}-\Delta \psi \right)\\&=\Delta +X.\end{aligned}}}$

Доказательство^[6] происходит по индукции по k, одновременно доказывая неравенство

${\displaystyle \|u\|_{(k+1)}\leq C\|\Delta _{1}u\|_{(k-1)}+C\|u\|_{(k)},}$

для некоторой постоянной C в зависимости только от k. Это неравенство несложно установить для k = 0, где по плотности ты можно принять за гладкую компактную опору в Ω:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{(1)}^{2}&=|(\Delta u,u)|\\&\leq |(\Delta _{1}u,u)|+|(Xu,u)|\\&\leq \|\Delta _{1}u\|_{(-1)}\|u\|_{(1)}+C^{\prime }\|u\|_{(1)}\|u\|_{(0)}.\end{aligned}}}$

Манжета диффеоморфна кольцу. Вращательный поток р_т на кольцевом пространстве индуцирует поток S_т на воротнике с соответствующим векторным полем Y = р∂_Икс + s∂_у. Таким образом Y соответствует векторному полю ∂_θ. Радиальное векторное поле на кольце р∂_р коммутирующее векторное поле, которое на воротнике дает векторное поле Z = п∂_Икс + q∂_у пропорциональна нормальному векторному полю. Векторные поля Y и Z ездить.

Коэффициенты разницы δ_часты может быть сформирован для потока S_т. Коммутаторы [δ_час, ∆₁] - дифференциальные операторы второго порядка из ЧАС^k+1(Ом) к ЧАС^k−1(Ом). Их операторные нормы равномерно ограничены при час возле 0; для вычисления можно проводить на кольце, где коммутатор просто заменяет коэффициенты ∆₁ по их разностным коэффициентам, составленным с S_час. С другой стороны, v = δ_часты лежит в ЧАС¹
₀(Ом), поэтому неравенства для ты одинаково хорошо применять для v:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\delta _{h}u\|_{(k+1)}&\leq C\|\Delta _{1}\delta _{h}u\|_{(k-1)}+C\|\delta _{h}u\|_{(k)}\\&\leq C\|\delta _{h}\Delta _{1}u\|_{(k-1)}+C\|[\delta _{h},\Delta _{1}]u\|_{(k-1)}+C\|\delta _{h}u\|_{(k)}\\&\leq C\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_{(k+1)}.\end{aligned}}}$

Равномерная ограниченность разностных факторов δ_часты подразумевает, что Ю лежит в ЧАС^k+1(Ом) с

${\displaystyle \|Yu\|_{(k+1)}\leq C\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_{(k+1)}.}$

Следует, что Ву лежит в ЧАС^k+1(Ом) куда V это векторное поле

${\displaystyle V={\frac {Y}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}=a\partial _{x}+b\partial _{y},\qquad a^{2}+b^{2}=1.}$

Более того, Ву удовлетворяет аналогичному неравенству Ю.

${\displaystyle \|Vu\|_{(k+1)}\leq C^{\prime \prime }\left(\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+\|u\|_{(k+1)}\right).}$

Позволять W - ортогональное векторное поле

${\displaystyle W=-b\partial _{x}+a\partial _{y}.}$

Его также можно записать как ξZ для некоторой гладкой нигде исчезающей функции ξ по соседству с воротником.

Достаточно показать, что Ву лежит в ЧАС^k+1(Ом). Тогда

${\displaystyle (V\pm iW)u=(a\mp ib)\left(\partial _{x}\pm i\partial _{y}\right)u,}$

так что ∂_Иксты и ∂_уты роды ЧАС^k+1(Ом) и ты должен лежать в ЧАС^k+2(Ом).

Чтобы проверить результат на Ву, достаточно показать, что VWu и W²ты роды ЧАС^k(Ом). Обратите внимание, что

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\Delta -V^{2}-W^{2},\\B&=[V,W],\end{aligned}}}$

- векторные поля. Но потом

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{2}u&=\Delta u-V^{2}u-Au,\\VWu&=WVu+Bu,\end{aligned}}}$

со всеми терминами в правой части в ЧАС^k(Ом). Кроме того, неравенства для Ву покажи это

${\displaystyle {\begin{aligned}\|Wu\|_{(k+1)}&\leq C\left(\|VWu\|_{(k)}+\left\|W^{2}u\right\|_{(k)}\right)\\&\leq C\left\|\left(\Delta -V^{2}-A\right)u\right\|_{(k)}+C\|(WV+B)u\|_{(k)}\\&\leq C_{1}\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C_{1}\|u\|_{(k+1)}.\end{aligned}}}$

Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{(k+2)}&\leq C\left(\|Vu\|_{(k+1)}+\|Wu\|_{(k+1)}\right)\\&\leq C^{\prime }\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_{(k+1)}.\end{aligned}}}$

Гладкость собственных функций

По индукции из теоремы регулярности для двойственной задачи Дирихле следует, что собственные функции ∆ в ЧАС¹
₀(Ом) роды C^∞(Ω⁻). Более того, любое решение ∆ты = ж с ж в C^∞(Ω⁻) и ты в ЧАС¹
₀(Ом) должны быть ты в C^∞(Ω⁻). В обоих случаях по свойствам обращения в нуль собственные функции и ты исчезают на границе Ω.

Решение проблемы Дирихле

Двойственная задача Дирихле может быть использована для решения задачи Дирихле:

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta f|_{\Omega }=0\\f|_{\partial \Omega }=g&g\in C^{\infty }(\partial \Omega )\end{cases}}}$

По лемме Бореля грамм ограничение функции грамм в C^∞(Ω⁻). Позволять F быть гладким решением ∆F = ∆грамм с F = 0 на ∂Ω. потом ж = грамм − F решает проблему Дирихле. Посредством принцип максимума, решение уникальное.^[7]

Приложение к теореме о гладком отображении Римана

Решение проблемы Дирихле можно использовать для доказательства сильной формы Теорема Римана об отображении для односвязных областей с гладкой границей. Этот метод также применим к области, диффеоморфной кольцу.^[8] Для многосвязных областей с гладкой границей Шиффер и Хоули (1962) дали метод отображения области на диск с круглыми отверстиями. Их метод включает решение задачи Дирихле с нелинейным граничным условием. Они строят функцию грамм такой, что:

• грамм гармонично в интерьере Ω;
• На ∂Ω у нас есть: ∂_пграмм = κ − Ke^грамм, куда κ - кривизна граничной кривой, ∂_п - производная по нормали к ∂Ω и K постоянно на каждом граничном компоненте.

Тейлор (2011) дает доказательство теоремы об отображении Римана для односвязной области Ω с гладкой границей. Переводя при необходимости, можно предположить, что 0 ∈ Ω. Решение задачи Дирихле показывает, что существует единственная гладкая функция U(z) на Ω что гармонично в Ω и равно −log |z| на ∂Ω. Определить Функция Грина к грамм(z) = журнал |z| + U(z). Он исчезает ∂Ω и гармоничен на Ω далеко от 0. В гармоническое сопряжение V из U единственная действительная функция на Ω такой, что U + IV голоморфно. Таким образом, он должен удовлетворять Уравнения Коши – Римана:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&=-V_{y},\\U_{y}&=V_{x}.\end{aligned}}}$

Решение дается

${\displaystyle V(z)=\int _{0}^{z}-U_{y}dx+V_{x}dy,}$

где интеграл берется по любому пути в Ω. Легко проверить, что V_Икс и V_у существуют и задаются соответствующими производными от U. Таким образом V является гладкой функцией на Ω, исчезает в 0. По Коши-Риману  ж = U + IV гладко на Ω, голоморфный на Ω и  ж (0) = 0. Функция ЧАС = arg z + V(z) определяется только до кратных 2π, но функция

${\displaystyle F(z)=e^{G(z)+iH(z)}=ze^{f(z)}}$

голоморфен на Ω и гладить Ω. По конструкции, F(0) = 0 и |F(z)| = 1 за z ∈ ∂Ω. С z имеет номер намотки 1и тоже F(z). С другой стороны, F(z) = 0 только для z = 0 где есть простой ноль. Так что принцип аргумента F принимает все значения на единичном диске, D, ровно один раз и F ′ не исчезает внутри Ω. Чтобы проверить, что производная на граничной кривой не равна нулю, необходимо вычислить производную от е^iH, т.е. производная от ЧАС не должен исчезать на граничной кривой. По уравнениям Коши-Римана эти касательные производные с точностью до знака производная по направлению по направлению нормали к границе. Но грамм обращается в нуль на границе и строго отрицательно в Ω поскольку |F| = е^грамм. В Лемма Хопфа означает, что производная по направлению от грамм в направлении внешней нормали строго положительный. Итак, на граничной кривой F не имеет исчезающей производной. Поскольку граничная кривая имеет виток номер один, F определяет диффеоморфизм граничной кривой на единичную окружность. Соответственно, F : Ω → D - гладкий диффеоморфизм, ограничивающийся голоморфным отображением Ω → D и гладкий диффеоморфизм между границами.

Аналогичные рассуждения можно применить для доказательства теоремы об отображении Римана для двусвязной области Ω ограниченный простыми гладкими кривыми C_я (внутренняя кривая) и C_о (внешняя кривая). Переводя, мы можем предположить, что 1 лежит на внешней границе. Позволять ты - гладкое решение задачи Дирихле с U = 0 на внешней кривой и −1 на внутренней кривой. Посредством принцип максимума 0 < ты(z) < 1 за z в Ω и так Лемма Хопфа нормальные производные от ты отрицательны на внешней кривой и положительны на внутренней. Интеграл −ты_уdx + ты_уdx по границе равен нулю по теореме Стокса, поэтому вклад граничных кривых сокращается. С другой стороны, на каждой граничной кривой вклад представляет собой интеграл от нормальной производной вдоль границы. Так что есть постоянная c > 0 такой, что U = у.е. удовлетворяет

${\displaystyle \int _{C}\left(-U_{y}\,dx+U_{x}\,dy\right)=2\pi }$

на каждой граничной кривой. Гармоническое сопряжение V из U снова можно определить как

${\displaystyle V(z)=\int _{1}^{z}-u_{y}\,dx+u_{x}\,dy}$

и четко определен до кратных 2π. Функция

${\displaystyle \displaystyle {F(z)=e^{U(z)+iV(z)}}}$

гладко на Ω и голоморфный в Ω. На внешней кривой |F| = 1 и на внутренней кривой |F| = е^−c = р < 1. Касательные производные на внешних кривых нигде не обращаются в нуль согласно уравнениям Коши-Римана, поскольку нормальные производные нигде не обращаются в нуль. Из нормировки интегралов следует, что F ограничивается диффеоморфизмом между граничными кривыми и двумя концентрическими окружностями. Так как изображения внешней и внутренней кривой имеют номер витка 1 и 0 в любой точке кольца применение принципа аргумента подразумевает, что F принимает каждое значение в кольцевом пространстве р < |z| < 1 ровно один раз; поскольку это включает в себя кратности, комплексная производная от F никуда не исчезает в Ω. Этот F является гладким диффеоморфизмом Ω на замкнутое кольцо р ≤ |z| ≤ 1, ограничиваясь голоморфным отображением внутри и гладким диффеоморфизмом на обеих граничных кривых.

Карта трассировки

Карта ограничений τ : C^∞(Т²) → C^∞(Т) = C^∞(1 × Т) распространяется на непрерывную карту ЧАС^k(Т²) → H^{k − ½}(Т) за k ≥ 1.^[9] Фактически

${\displaystyle \displaystyle {{\widehat {\tau f}}(n)=\sum _{m}{\widehat {f}}(m,n),}}$

Итак Неравенство Коши – Шварца дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\widehat {\tau f}}(n)\right|^{2}\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}&\leq \left(\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}\right)\left(\sum _{m}\left|{\widehat {f}}(m,n)\right|^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}\right)\\&\leq C_{k}\sum _{m}\left|{\widehat {f}}(m,n)\right|^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k},\end{aligned}}}$

где, по интегральный тест,

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{k}&=\sup _{n}\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}<\infty ,\\c_{k}&=\inf _{n}\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}>0.\end{aligned}}}$

Карта τ находится на, поскольку непрерывное отображение расширения E может быть построен из ЧАС^{k − ½}(Т) к ЧАС^k(Т²).^[10][11] Фактически установлен

${\displaystyle {\widehat {Eg}}(m,n)=\lambda _{n}^{-1}{\widehat {g}}(n){\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+n^{2}+m^{2}\right)^{k}}},}$

куда

${\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}.}$

Таким образом c_k < λ_п < C_k. Если грамм гладко, то по построению Например ограничивается грамм на 1 × Т. Более того, E является ограниченным линейным отображением, поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}\|Eg\|_{(k)}^{2}&=\sum _{m,n}\left|{\widehat {Eg}}(m,n)\right|^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)\\&\leq c_{k}^{-2}\sum _{m,n}\left|{\widehat {g}}(n)\right|^{2}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{2k-1}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}\\&\leq c_{k}^{-2}C_{k}\|g\|_{k-{\frac {1}{2}}}^{2}.\end{aligned}}}$

Отсюда следует, что существует отображение следов τ группы H^k(Ω) на H^{k − ½}(∂Ω). В самом деле, возьмем трубчатую окрестность границы и гладкую функцию ψ с опорой на воротник, равную 1 вблизи границы. Умножение на ψ переводит функции в H^k воротника, который можно идентифицировать как H^k кольца, для которого существует карта трассировки. Инвариантность относительно диффеоморфимов (или замены координат) полуцелых пространств Соболева на окружности следует из того, что эквивалентная норма на окружности ЧАС^{k + ½}(Т) дан кем-то^[12]

${\displaystyle \|f\|_{[k+{\frac {1}{2}}]}^{2}=\|f\|_{(k)}^{2}+\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f^{(k)}(s)-f^{(k)}(t)\right|^{2}}{\left|e^{is}-e^{it}\right|^{2}}}\,ds\,dt.}$

Это также следствие свойств τ и E («теорема о следе»).^[13] Фактически любой диффеоморфизм ж из Т индуцирует диффеоморфизм F из Т² воздействуя только на второй фактор. Инвариантность H^k(Т²) при индуцированном отображении F* поэтому следует инвариантность H^{k − ½}(Т) под ж*, поскольку ж* = τ ∘ F* ∘ E.

Дальнейшими следствиями теоремы о следе являются две точные последовательности^[14][15]

${\displaystyle (0)\to H_{0}^{1}(\Omega )\to H^{1}(\Omega )\to H^{\frac {1}{2}}(\partial \Omega )\to (0)}$

и

${\displaystyle (0)\to H_{0}^{2}(\Omega )\to H^{2}(\Omega )\to H^{\frac {3}{2}}(\partial \Omega )\oplus H^{\frac {1}{2}}(\partial \Omega )\to (0),}$

где последняя карта берет ж в H²(Ω) к ж|_∂Ω и ∂_пж|_∂Ω. Есть обобщения этих последовательностей на H^k(Ω) с участием старших степеней нормальной производной в отображении следов:

${\displaystyle (0)\to H_{0}^{k}(\Omega )\to H^{k}(\Omega )\to \bigoplus _{j=1}^{k}H^{j-{\frac {1}{2}}}(\partial \Omega )\to (0).}$

Карта трассировки до ЧАС^{j − ½}(∂Ω) берет ж к ∂^{k − j}
_пж |_∂Ω

Абстрактная постановка краевых задач

Подход пространства Соболева к проблеме Неймана нельзя сформулировать так же прямо, как подход к проблеме Дирихле. Основная причина в том, что для функции ж в ЧАС¹(Ом), нормальная производная ∂_пж |_∂Ω не может быть определен априори на уровне соболевских пространств. Вместо альтернативной постановки краевых задач для лапласиана Δ на ограниченной области Ω в самолете используется. В нем работают Формы Дирихле, полуторные билинейные формы на ЧАС¹(Ом), ЧАС¹
₀(Ом) или промежуточное замкнутое подпространство. Интегрирование по границе не участвует в определении формы Дирихле. Вместо этого, если форма Дирихле удовлетворяет определенному условию положительности, называемому принуждение, можно показать, что решение существует в слабом смысле, так называемые «слабые решения». Из общей теоремы регулярности следует, что решения краевой задачи должны лежать в ЧАС²(Ом), так что они являются сильными решениями и удовлетворяют граничным условиям, связанным с ограничением функции и ее нормальной производной на границу. Проблема Дирихле может быть с равным успехом сформулирована в этих терминах, но поскольку карта трассировки ж |_∂Ω уже определено на ЧАС¹(Ом), Формы Дирихле не нуждаются в явном упоминании, а формулировка оператора более прямая. Единое обсуждение дано в Фолланд (1995) и кратко излагается ниже. Объясняется, как проблема Дирихле, как обсуждалось выше, вписывается в эти рамки. Затем дается подробное рассмотрение проблемы Неймана с этой точки зрения. Тейлор (2011).

Формулировка краевых задач для лапласиана в гильбертовом пространстве Δ на ограниченной области Ω в самолете исходит из следующих данных:^[16]

• Замкнутое подпространство ЧАС¹
  ₀(Ω) ⊆ ЧАС ⊆ H¹(Ом).
• Форма Дирихле для Δ заданной ограниченной эрмитовой билинейной формой D( ж, грамм) определены для ж, грамм ∈ H¹(Ом) такой, что D( ж, грамм) = (∆ж, грамм) за ж, грамм ∈ H¹
  ₀(Ом).
• D является коэрцитивным, т.е. существует положительная постоянная C и неотрицательная константа λ такой, что D( ж, ж ) ≥ C ( ж, ж )₍₁₎ − λ( ж, ж ).

А слабое решение краевой задачи при начальных данных ж в L²(Ом) это функция ты удовлетворение

${\displaystyle D(f,g)=(u,g)}$

для всех грамм.

И для задачи Дирихле, и для задачи Неймана

${\displaystyle D(f,g)=\left(f_{x},g_{x}\right)+\left(f_{y},g_{y}\right).}$

Для задачи Дирихле ЧАС = H¹
₀(Ом). В этом случае

${\displaystyle D(f,g)=(\Delta f,g),\qquad f,g\in H.}$

По теореме о следе решение удовлетворяет ты|_Ω = 0 в ЧАС^½(∂Ω).

Для проблемы Неймана ЧАС считается ЧАС¹(Ом).

Приложение к проблеме Неймана

Классическая проблема Неймана на Ω состоит в решении краевой задачи

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=f,&f,u\in C^{\infty }(\Omega ^{-}),\\\partial _{n}u=0&{\text{on }}\partial \Omega \end{cases}}}$

Теорема Грина означает, что для ты, v ∈ C^∞(Ω⁻)

${\displaystyle (\Delta u,v)=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_{y})-(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }.}$

Таким образом, если Δты = 0 в Ω и удовлетворяет граничным условиям Неймана, ты_Икс = ты_у = 0, и так ты постоянно в Ω.

Следовательно, проблема Неймана имеет единственное решение, вплоть до добавления констант.^[17]

Рассмотрим эрмитову форму на ЧАС¹(Ом) определяется

${\displaystyle \displaystyle {D(f,g)=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_{y}).}}$

С ЧАС¹(Ом) находится в двойственности с ЧАС⁻¹
₀(Ом), есть уникальный элемент Лу в ЧАС⁻¹
₀(Ом) такой, что

${\displaystyle \displaystyle {D(u,v)=(Lu,v).}}$

Карта я + L является изометрией ЧАС¹(Ом) на ЧАС⁻¹
₀(Ом), так в частности L ограничено.

Фактически

${\displaystyle ((L+I)u,v)=(u,v)_{(1)}.}$

Так

${\displaystyle \|(L+I)u\|_{(-1)}=\sup _{\|v\|_{(1)}=1}|((L+I)u,v)|=\sup _{\|v\|_{(1)}=1}|(u,v)_{(1)}|=\|u\|_{(1)}.}$

С другой стороны, любой  ж  в ЧАС⁻¹
₀(Ом) определяет ограниченную сопряженно-линейную форму на ЧАС¹(Ом) отправка v к ( ж, v). Посредством Теорема Рисса – Фишера, Существует ты ∈ H¹(Ом) такой, что

${\displaystyle \displaystyle {(f,v)=(u,v)_{(1)}.}}$

Следовательно (L + я)ты = ж  и так L + я сюръективно. Определите ограниченный линейный оператор Т на L²(Ом) к

${\displaystyle T=R_{1}(I+L)^{-1}R_{0},}$

куда р₁ это карта ЧАС¹(Ω) → L²(Ом), компактный оператор и р₀ это карта L²(Ω) → H⁻¹
₀(Ом), его сопряженный, а значит, и компактный.

Оператор Т обладает следующими свойствами:

• Т является сжатием, так как это композиция сжатий
• Т компактно, так как р₀ и р₁ компактны по теореме Реллиха
• Т самосопряжен, так как если  ж, грамм ∈ L²(Ом), их можно написать  ж = (L + я)ты, грамм = (L + я)v с ты, v ∈ H¹(Ом) так

${\displaystyle (Tf,g)=(u,(I+L)v)=(u,v)_{(1)}=((I+L)u,v)=(f,Tg).}$

• Т имеет положительный спектр и ядро (0), за

${\displaystyle (Tf,f)=(u,u)_{(1)}\geq 0,}$

и Tf = 0 подразумевает ты = 0 и поэтому ж = 0.

• Имеется полный ортонормированный базис  ж_п из L²(Ом) состоящий из собственных функций Т. Таким образом

${\displaystyle Tf_{n}=\mu _{n}f_{n}}$

с 0 < μ_п ≤ 1 и μ_п снижается до 0.

• Все собственные функции лежат в ЧАС¹(Ом) так как образ Т лежит в ЧАС¹(Ом).
• В  ж_п являются собственными функциями L с

${\displaystyle \displaystyle {Lf_{n}=\lambda _{n}f_{n},\qquad \lambda _{n}=\mu _{n}^{-1}-1.}}$

Таким образом λ_п неотрицательны и увеличиваются до ∞.

• Собственное значение 0 происходит с кратностью единица и соответствует постоянной функции. Ибо если ты ∈ H¹(Ом) удовлетворяет Лу = 0, тогда

${\displaystyle (u_{x},u_{x})+(u_{y},u_{y})=(Lu,u)=0,}$

так ты постоянно.

Регулярность для задачи Неймана

Слабые решения - сильные решения

Первый основной результат регулярности показывает, что слабое решение, выраженное через оператор L и форма Дирихле D является сильным решением в классическом смысле, выраженным через лапласиан Δ и граничные условия Неймана. Таким образом, если ты = Tf  с ты ∈ H¹(Ω),ж ∈ L²(Ом), тогда ты ∈ H²(Ом), удовлетворяет Δты + ты = ж  и ∂_пты|_∂Ω = 0. Более того, для некоторой постоянной C независим от ты,

${\displaystyle \|u\|_{(2)}\leq C\|\Delta u\|_{(0)}+C\|u\|_{(1)}.}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle \|u\|_{(1)}\leq \|Lu\|_{(-1)}+\|u\|_{(0)},}$

поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{(1)}^{2}&=|(Lu,u)|+\|u\|_{(0)}^{2}\\&\leq \|Lu\|_{(-1)}\|u\|_{(1)}+\|u\|_{(0)}\|u\|_{(1)}.\end{aligned}}}$

Возьмите разложение ты = ψu + (1 − ψ)ты с ψ поддерживается в Ω и 1 − ψ поддерживается в воротнике границы.

Оператор L характеризуется

${\displaystyle (Lf,g)=\left(f_{x},g_{x}\right)+\left(f_{y},g_{y}\right)=(\Delta f,g)_{\Omega }-\left(\partial _{n}f,g\right)_{\partial \Omega },\qquad f,g\in C^{\infty }(\Omega ^{-}).}$

потом

${\displaystyle ([L,\psi ]f,g)=([\Delta ,\psi ]f,g),}$

так что

${\displaystyle \displaystyle {[L,\psi ]=-[L,1-\psi ]=\Delta \psi +2\psi _{x}\partial _{x}+2\psi _{y}\partial _{y}.}}$

Функция v = ψu и ш = (1 − ψ)ты рассматриваются отдельно, v по существу подчиняется обычным соображениям эллиптической регулярности для внутренних точек, в то время как ш требует специальной обработки вблизи границы с использованием разностных коэффициентов. Как только сильные свойства установлены с точки зрения ∆ и граничные условия Неймана, результаты "бутстраповой" регулярности могут быть доказаны точно так же, как и для задачи Дирихле.

Оценка интерьера

Функция v = ψu лежит в ЧАС¹
₀(Ω₁) куда Ω₁ это регион с закрытием в Ω. Если  ж ∈ C^∞
_c(Ом) и грамм ∈ C^∞(Ω⁻)

${\displaystyle (Lf,g)=(\Delta f,g)_{\Omega }.}$

По непрерывности то же самое верно и с  ж  заменен на v и поэтому Lv = ∆v. Так

${\displaystyle \Delta v=Lv=L(\psi u)=\psi Lu+[L,\psi ]u=\psi (f-u)+[\Delta ,\psi ]u.}$

Следовательно, относительно v как элемент ЧАС¹(Т²), ∆v ∈ L²(Т²). Следовательно v ∈ H²(Т²). С v = φv за φ ∈ C^∞
_c(Ом), у нас есть v ∈ H²
₀(Ом). Более того,

${\displaystyle \|v\|_{(2)}^{2}=\|\Delta v\|^{2}+2\|v\|_{(1)}^{2},}$

так что

${\displaystyle \|v\|_{(2)}\leq C\left(\|\Delta (v)\|+\|v\|_{(1)}\right).}$

Граничные оценки

Функция ш = (1 − ψ)ты поддерживается в воротнике, содержащемся в трубчатой ​​окрестности границы. Коэффициенты разницы δ_часш может быть сформирован для потока S_т и лежать в ЧАС¹(Ом), поэтому применимо первое неравенство:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\delta _{h}w\|_{(1)}&\leq \|L\delta _{h}w\|_{(-1)}+\|\delta _{h}w\|_{(0)}\\&\leq \|[L,\delta _{h}]w\|_{(-1)}+\|\delta _{h}Lw\|_{(-1)}+\|\delta _{h}w\|_{(0)}\\&\leq \|[L,\delta _{h}]w\|_{(-1)}+C\|Lw\|_{(0)}+C\|w\|_{(1)}.\end{aligned}}}$

Коммутаторы [L, δ_час] равномерно ограничены как операторы из ЧАС¹(Ом) к ЧАС⁻¹
₀(Ом). Это эквивалентно проверке неравенства

${\displaystyle \left|\left(\left[L,\delta _{h}\right]g,h\right)\right|\leq A\|g\|_{(1)}\|h\|_{(1)},}$

за грамм, час гладкие функции на воротнике. Это можно проверить непосредственно на кольце, используя инвариантность пространств Соболева относительно доффеоморфизмов и тот факт, что для кольца коммутатор δ_час с дифференциальным оператором получается путем применения разностного оператора к коэффициентам после применения р_час к функции:^[18]

${\displaystyle \left[\delta ^{h},\sum a_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right]=\left(\delta ^{h}(a_{\alpha })\circ R_{h}\right)\partial ^{\alpha }.}$

Следовательно, коэффициенты разности δ_часш равномерно ограничены, поэтому Yw ∈ H¹(Ом) с

${\displaystyle \|Yw\|_{(1)}\leq C\|Lw\|_{(0)}+C^{\prime }\|w\|_{(1)}.}$

Следовательно Vw ∈ H¹(Ом) и Vw удовлетворяет аналогичному неравенству Yw:

${\displaystyle \|Vw\|_{(1)}\leq C^{\prime \prime }\left(\|Lw\|_{(0)}+\|w\|_{(1)}\right).}$

Позволять W - ортогональное векторное поле. Что же касается проблемы Дирихле, то показать, что ш ∈ H²(Ом), достаточно показать, что Ww ∈ H¹(Ом).

Чтобы это проверить, достаточно показать, что VWw, W²ты ∈ L²(Ом). Как прежде

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\Delta -V^{2}-W^{2}\\B&=[V,W]\end{aligned}}}$

- векторные поля. С другой стороны, (Lw, φ) = (∆ш, φ) за φ ∈ C^∞
_c(Ом), так что Lw и ∆ш определить такое же распределение на Ω. Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{2}w,\varphi \right)&=\left(Lw-V^{2}w-Au,\varphi \right),\\(VWw,\varphi )&=(WVw+Bw,\varphi ).\end{aligned}}}$

Поскольку члены в правой части представляют собой пары с функциями из L²(Ом), критерий регулярности показывает, что Ww ∈ H²(Ом). Следовательно Lw = ∆ш поскольку оба термина лежат в L²(Ом) и иметь те же внутренние продукты с φс.

Кроме того, неравенства для Vw покажи это

${\displaystyle {\begin{aligned}\|Ww\|_{(1)}&\leq C\left(\|VWw\|_{(0)}+\left\|W^{2}w\right\|_{(0)}\right)\\&\leq C\left\|\left(\Delta -V^{2}-A\right)w\right\|_{(0)}+C\|(WV+B)w\|_{(0)}\\&\leq C_{1}\|Lw\|_{(0)}+C_{1}\|w\|_{(1)}.\end{aligned}}}$

Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\|w\|_{(2)}&\leq C\left(\|Vw\|_{(1)}+\|Ww\|_{(1)}\right)\\&\leq C^{\prime }\|\Delta w\|_{(0)}+C^{\prime }\|w\|_{(1)}.\end{aligned}}}$

Следует, что ты = v + ш ∈ H²(Ом). Более того,

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{(2)}&\leq C\left(\|\Delta v\|+\|\Delta w\|+\|v\|_{(1)}+\|w\|_{(1)}\right)\\&\leq C^{\prime }\left(\|\psi \Delta u\|+\|(1-\psi )\Delta u\|+2\|[\Delta ,\psi ]u\|+\|u\|_{(1)}\right)\\&\leq C^{\prime \prime }\left(\|\Delta u\|+\|u\|_{(1)}\right).\end{aligned}}}$

Граничные условия Неймана

С ты ∈ H²(Ом), Теорема Грина применима по непрерывности. Таким образом, для v ∈ H¹(Ом),

${\displaystyle {\begin{aligned}(f,v)&=(Lu,v)+(u,v)\\&=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_{y})+(u,v)\\&=((\Delta +I)u,v)+(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }\\&=(f,v)+(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }.\end{aligned}}}$

Следовательно, граничные условия Неймана выполнены:

${\displaystyle \partial _{n}u|_{\partial \Omega }=0,}$

где левая часть рассматривается как элемент ЧАС^½(∂Ω) и поэтому L²(∂Ω).

Регулярность сильных решений

Основной результат здесь состоит в том, что если ты ∈ H^k+1 (k ≥ 1), ∆ты ∈ H^k и ∂_пты|_∂Ω = 0, тогда ты ∈ H^k+2 и

${\displaystyle \|u\|_{(k+2)}\leq C\|\Delta u\|_{(k)}+C\|u\|_{(k+1)},}$

для некоторой постоянной, не зависящей от ты.

Как и соответствующий результат для задачи Дирихле, это доказывается индукцией по k ≥ 1. За k = 1, ты также является слабым решением проблемы Неймана, поэтому удовлетворяет приведенной выше оценке для k = 0. Граничное условие Неймана можно записать

${\displaystyle Zu|_{\partial \Omega }=0.}$

С Z коммутирует с векторным полем Y соответствующий потоку периода S_т, the inductive method of proof used for the Dirichlet problem works equally well in this case: for the difference quotients δ^час preserve the boundary condition when expressed in terms of Z.^[19]

Smoothness of eigenfunctions

It follows by induction from the regularity theorem for the Neumann problem that the eigenfunctions of D в ЧАС¹(Ом) роды C^∞(Ω⁻). Moreover, any solution of Du = ж  с  ж  в C^∞(Ω⁻) и ты в ЧАС¹(Ом) должны быть ты в C^∞(Ω⁻). In both cases by the vanishing properties, the normal derivatives of the eigenfunctions and ты vanish on ∂Ω.

Solving the associated Neumann problem

The method above can be used to solve the associated Neumann boundary value problem:

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta f|_{\Omega }=0\\\partial _{n}f|_{\partial \Omega }=g&g\in C^{\infty }(\partial \Omega )\end{cases}}}$

By Borel's lemma грамм is the restriction of a function грамм ∈ C^∞(Ω⁻). Позволять F be a smooth function such that ∂_пF = грамм near the boundary. Позволять ты be the solution of ∆ты = −∆F с ∂_пты = 0. потом  ж = ты + F solves the boundary value problem.^[20]

Примечания

1. Bers, John & Schechter 1979, стр. 192–193
2. Chazarain & Piriou 1982
3. Folland 1995, п. 226
4. Folland 1995
5. Видеть:
   • Agmon 2010
   • Folland 1995, pp. 219–223
   • Chazarain & Piriou 1982, п. 94
6. Тейлор 2011
7. Folland 1995, п. 84
8. Тейлор 2011, стр. 323–325
9. Chazarain & Piriou 1982
10. Тейлор 2011, п. 275
11. Renardy & Rogers 2004, pp. 214–218
12. Hörmander 1990, стр. 240–241
13. Renardy & Rogers 2004
14. Chazarain & Piriou 1982
15. Renardy & Rogers 2004
16. Folland 1995, pp. 231–248
17. Тейлор 2011
18. Folland 1995, pp. 255–260
19. Тейлор 2011, п. 348
20. Folland 1995, п. 85

Рекомендации

• Джон, Фриц (1982), Уравнения с частными производными, Прикладные математические науки, 1 (4th ed.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90609-6
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Partial differential equations, with supplements by Lars Gȧrding and A. N. Milgram, Lectures in Applied Mathematics, 3А, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0049-3
• Агмон, Шмуэль (2010), Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4910-7
• Штейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и дифференцируемость функций., Princeton University Press
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2006), Function theory of one complex variable, Аспирантура по математике, 40 (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN  0-8218-3962-4
• Taylor, Michael E. (2011), Partial differential equations I. Basic theory, Прикладные математические науки, 115 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-1-4419-7054-1
• Zimmer, Robert J. (1990), Essential results of functional analysis, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN  0-226-98337-4
• Folland, Gerald B. (1995), Introduction to partial differential equations (2nd ed.), Princeton University Press, ISBN  0-691-04361-2
• Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Introduction to the Theory of Linear Partial Differential Equations, Studies in Mathematics and Its Applications, 14, Elsevier, ISBN  0-444-86452-0
• Bell, Steven R. (1992), The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-X
• Warner, Frank W. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 94, Спрингер, ISBN  0-387-90894-3
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley Interscience, ISBN  0-471-05059-8
• Courant, R. (1950), Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces, Interscience
• Schiffer, M .; Хоули, Н. С. (1962), "Связи и конформное отображение", Acta Math., 107: 175–274, Дои:10.1007 / bf02545790
• Хёрмандер, Ларс (1990), The analysis of linear partial differential operators, I. Distribution theory and Fourier analysis (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-X
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004), Введение в уравнения с частными производными, Texts in Applied Mathematics, 13 (2-е изд.), Springer, ISBN  0-387-00444-0