Раздел единства - Partition of unity

В математика, а разделение единства из топологическое пространство Икс это набор р из непрерывные функции из Икс к единичный интервал [0,1] такое, что для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$,

• Существует район из Икс где все кроме конечный количество функций р равны 0, и
• сумма всех значений функции при Икс равно 1, т.е. ${\displaystyle \;\sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$.

Разбиение единства круга с четырьмя функциями. Кружок разворачивается до отрезка (нижняя сплошная линия) для построения графика. Пунктирная линия сверху - это сумма функций в разделе.

Разделы единства полезны тем, что часто позволяют распространить локальные конструкции на все пространство. Они также важны в интерполяция данных в обработка сигналов, и теория сплайновые функции.

Существование

Существование разделов единства принимает две различные формы:

1. Учитывая любые открытая крышка {U_я}_я∈я пространства существует разбиение {ρ_я}_я∈я индексированный над тем же множеством я такой, что суп ρ_я⊆U_я. Такая перегородка называется подчиняться открытой обложке {U_я}_я.
2. Если пространство локально-компактно при любом открытом покрытии {U_я}_я∈я пространства существует разбиение {ρ_j}_j∈J проиндексировано по возможно отдельному набору индексов J такое, что каждое ρ_j имеет компактная опора и для каждого j∈J, supp ρ_j⊆U_я для некоторых я∈я.

Таким образом, каждый выбирает либо поддерживает индексируется открытой крышкой или компактными опорами. Если пространство компактный, то существуют разделы, удовлетворяющие обоим требованиям.

Конечное открытое покрытие всегда имеет подчиненное непрерывное разбиение единицы, если пространство локально компактно и хаусдорфово.^[1] Паракомпактность пространства является необходимым условием, гарантирующим существование разбиения единицы подчиняться любой открытой обложке. В зависимости от категория которому принадлежит пространство, это также может быть достаточным условием.^[2] В конструкции используются успокаивающие (функции удара), которые существуют в непрерывном и гладкие многообразия, но не в аналитические многообразия. Таким образом, для открытого покрытия аналитического многообразия аналитическое разбиение единицы, подчиненное этому открытому покрытию, обычно не существует. Видеть аналитическое продолжение.

Если р и T - разбиения единицы для пространств Икс и Yсоответственно, то множество всех пар ${\displaystyle \{\rho \otimes \sigma :\ \rho \in R,\ \tau \in T\}}$ является разбиением единицы для декартово произведение Космос Икс×Y. Тензорное произведение функций действует как ${\displaystyle (\rho \otimes \sigma )(x,y)=\rho (x)\sigma (y)}$.

Пример

Мы можем построить разбиение единицы на ${\displaystyle S^{1}}$ глядя на диаграмму с дополнением точки ${\displaystyle p\in S^{1}}$ отправка ${\displaystyle S^{1}-\{p\}}$ к ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с центром ${\displaystyle q\in S^{1}}$. Теперь позвольте ${\displaystyle \Phi }$ быть функция удара на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ определяется

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

тогда и эта функция, и ${\displaystyle 1-\Phi }$ можно однозначно продолжить на ${\displaystyle S^{1}}$ установив ${\displaystyle \Phi (p)=0}$. Тогда набор ${\displaystyle \{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}}$образует раздел единства над ${\displaystyle S^{1}}$.

Определения вариантов

Иногда используется менее ограничительное определение: сумма всех значений функции в определенной точке должна быть только положительной, а не 1 для каждой точки в пространстве. Однако с учетом такого набора функций ${\displaystyle \{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ можно получить разбиение единицы в строгом смысле слова делением на сумму; раздел становится ${\displaystyle \{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ куда ${\displaystyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$, который хорошо определен, поскольку в каждой точке только конечное число членов ненулевое. Более того, некоторые авторы отказываются от требования, чтобы опоры были локально конечными, требуя только, чтобы ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ для всех ${\displaystyle x}$.^[3]

Приложения

Разбиение единицы можно использовать для определения интеграла (относительно объемная форма ) функции, определенной над многообразием: сначала определяется интеграл функции, носитель которой содержится в единственном координатном фрагменте многообразия; затем используется разбиение единицы, чтобы определить интеграл от произвольной функции; наконец, показано, что определение не зависит от выбранного разбиения единицы.

Разбиение единицы может использоваться, чтобы показать существование Риманова метрика на произвольном многообразии.

Метод крутого спуска использует разбиение единицы для построения асимптотики интегралов.

Фильтр Линквица – Райли представляет собой пример практической реализации разделения единицы для разделения входного сигнала на два выходных сигнала, содержащих только высокочастотные или низкочастотные компоненты.

В Многочлены Бернштейна фиксированной степени м семья м+1 линейно независимых многочленов, являющихся разбиением единицы для единичного интервала ${\displaystyle [0,1]}$.

Разделение единицы используется для установления глобальных гладких приближений для Соболев функции в ограниченных областях. ^[4]

Смотрите также

• Гладкость § Гладкие разбиения единицы
• Аксиома склеивания
• Прекрасная связка

Рекомендации

1. Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 40. ISBN  978-0-07-054234-1.
2. Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2007). Бесконечный анализ измерений: автостопом (3-е изд.). Берлин: Springer. п. 716. ISBN  978-3-540-32696-0.
3. Стрихарц, Роберт С. (2003). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье. Сингапур: World Scientific Pub. Co. ISBN  981-238-421-9. OCLC  54446554.
4. Эванс, Лоуренс (2010-03-02), "Пространства Соболева", Уравнения с частными производными, Аспирантура по математике, 19, Американское математическое общество, стр. 253–309, Дои:10,1090 / г / м2 / 019/05, ISBN  9780821849743

• Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия, Universitext (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN  978-1-4419-7399-3, см. главу 13

внешняя ссылка

• Общие сведения о разделении единства в [Mathworld]
• Приложения разбиения единства в [Planet Math]