Лемма Хопфа - Hopf lemma

В математика, то Лемма Хопфа, названный в честь Эберхард Хопф, утверждает, что если непрерывная вещественная функция в области евклидова пространства с достаточно гладкой границей гармонична внутри и значение функции в точке на границе больше, чем значения в соседних точках внутри области, то производная функции по направленной наружу нормали строго положительна. Лемма - важный инструмент в доказательстве принцип максимума и в теории уравнения в частных производных. Лемма Хопфа была обобщена для описания поведения решения эллиптической задачи при приближении к точке на границе, где достигается его максимум.

Утверждение для гармонических функций

Пусть Ω - ограниченная область в р^п с гладкой границей. Позволять ж - вещественная функция, непрерывная на замыкании области Ω, и гармонический на Ω. Если Икс граничная точка такая, что ж(Икс) > ж(у) для всех у в Ω достаточно близко к Икс, то (односторонний) производная по направлению из ж в направлении наружу, указывая перпендикулярно границе на Икс строго положительный.

Доказательство для гармонических функций

Вычитая константу, можно предположить, что ж(Икс) = 0 и ж строго отрицательный во внутренних точках вблизи Икс. Поскольку граница области Ω гладкая, в Ω содержится маленький шар, замыкание которого касается границы в точке Икс и пересекает границу только в Икс. Тогда достаточно проверить результат, заменив Ω этим шаром. Масштабируя и переводя, достаточно проверить результат для единичного шара в р^п, предполагая ж(Икс) равна нулю для некоторого единичного вектора Икс и ж(у) <0, если |у| < 1.

К Неравенство Гарнака применяется к -ж

${\displaystyle \displaystyle {-f(rx)\geq -{1-r \over (1+r)^{n-1}}f(0),}}$

за р <1. Следовательно

${\displaystyle \displaystyle {{f(x)-f(rx) \over 1-r}={-f(rx) \over 1-r}\geq -{1 \over (1+r)^{n-1}}f(0)>-{f(0) \over 2^{n-1}}>0.}}$

Следовательно, производная по направлению при Икс ограничена снизу строго положительной константой в правой части.

Обсуждение

Рассмотрим второй порядок, равномерно эллиптический оператор формы

${\displaystyle Lu=a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u,\qquad x\in \Omega .}$

Здесь ${\displaystyle \Omega }$ открытое ограниченное подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Слабый принцип максимума утверждает, что решение уравнения ${\displaystyle Lu=0}$ в ${\displaystyle \Omega }$ достигает максимального значения при закрытии ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ в какой-то момент на границе ${\displaystyle \partial \Omega }$. Позволять ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$ быть такой точкой, то обязательно

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})\geq 0,}$

куда ${\displaystyle \partial /\partial \nu }$ обозначает внешняя нормаль производная. Это просто следствие того, что ${\displaystyle u(x)}$ должно быть неубывающим, поскольку ${\displaystyle x}$ подход ${\displaystyle x_{0}}$. Лемма Хопфа усиливает это наблюдение, доказывая, что при мягких предположениях относительно ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle L}$, у нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0.}$

Точная формулировка леммы следующая. Предположим, что ${\displaystyle \Omega }$ ограниченная область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ и разреши ${\displaystyle L}$ быть оператором, описанным выше. Позволять ${\displaystyle u}$ быть классным ${\displaystyle C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})}$ и удовлетворяют дифференциальному неравенству

${\displaystyle Lu\geq 0,\qquad {\textrm {in}}~\Omega .}$

Позволять ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$ быть дано так, чтобы ${\displaystyle 0\leq u(x_{0})=\max _{x\in {\overline {\Omega }}}u(x)}$.Если я) ${\displaystyle \Omega }$ является ${\displaystyle C^{2}}$ в ${\displaystyle x_{0}}$, и (ii) ${\displaystyle c\leq 0}$, то либо ${\displaystyle u}$ константа, или ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0}$, куда ${\displaystyle \nu }$ - нормальная единица, указывающая наружу, как указано выше.

Приведенный выше результат можно обобщить в нескольких отношениях. Предположение о регулярности ${\displaystyle \Omega }$ можно заменить условием внутреннего шара: лемма верна, если существует открытый шар ${\displaystyle B\subset \Omega }$ с ${\displaystyle x_{0}\in \partial B}$. Также можно рассматривать функции ${\displaystyle c}$ которые принимают положительные значения, при условии, что ${\displaystyle u(x_{0})=0}$. Для доказательства и другого обсуждения см. Ссылки ниже.

Смотрите также

• Принцип максимума Хопфа

Рекомендации

• Эванс, Лоуренс (2000), Уравнения с частными производными, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0772-2
• Френкель, Л. Э. (2000), Введение в принципы максимума и симметрию в эллиптических задачах, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-461955
• Кранц, Стивен Г. (2005), Геометрическая теория функций: исследования комплексного анализа, Springer, стр. 127–128, ISBN  0817643397
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения с частными производными I. Основная теория, Прикладные математические науки, 115 (2-е изд.), Springer, ISBN  9781441970541 (Тейлор назвал лемму Хопфа «принципом Зарембы».)

Внешняя ссылка

• Айк Микаелян, Лемма Хенрика Шахголяна Хопфа для одного класса сингулярных / вырожденных PDE-s
• Лемма Хопфа для класса дробных сингулярных / вырожденных PDE-s
• Апушкинская Д. Э., Назаров А. И. Контрпример к лемме Хопфа-Олейника (эллиптический случай)