Неравенство Харнакса - Harnacks inequality

В математике Неравенство Гарнака является неравенством, связывающим значения положительного гармоническая функция в двух точках, представленных А. Гарнак  (1887 ). Дж. Серрин  (1955 ), и Дж. Мозер  (1961, 1964 ) обобщило неравенство Гарнака на решения эллиптических или параболических уравнения в частных производных. Перельман Решение гипотезы Пуанкаре использует версию неравенства Гарнака, найденную Р. Гамильтон  (1993 ) для потока Риччи. Неравенство Гарнака используется для доказательства Теорема Гарнака о сходимости последовательностей гармонических функций. Неравенство Гарнака также можно использовать для демонстрации интерьера. регулярность слабых решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Заявление

Гармоническая функция (зеленый) над диском (синий) ограничена сверху функцией (красный), которая совпадает с гармонической функцией в центре диска и приближается к бесконечности к границе диска.

Неравенство Гарнака применяется к неотрицательной функции ж определен на замкнутом шаре в р^п с радиусом р и центр Икс₀. В нем говорится, что если ж непрерывна на замкнутом шаре и гармонический на его внутренней части, затем для каждой точки Икс с |Икс − Икс₀| = р < р,

${\displaystyle {\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}$

В плоскости р² (п = 2) неравенство можно записать:

${\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0}).}$

Для общих доменов ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ неравенство можно сформулировать следующим образом: Если ${\displaystyle \omega }$ ограниченная область с ${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }$, то существует постоянная ${\displaystyle C}$ такой, что

${\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)}$

для каждой дважды дифференцируемой, гармонической и неотрицательной функции ${\displaystyle u(x)}$. Постоянная ${\displaystyle C}$ не зависит от ${\displaystyle u}$; это зависит только от доменов ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle \omega }$.

Доказательство неравенства Гарнака в шаре

К Формула Пуассона

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,}$

куда ω_{п − 1} площадь единичной сферы в р^п и р = |Икс − Икс₀|.

С

${\displaystyle R-r\leq |x-y|\leq R+r,}$

ядро в подынтегральном выражении удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leq {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.}$

Неравенство Гарнака следует из подстановки этого неравенства в вышеприведенный интеграл и использования того факта, что среднее значение гармонической функции по сфере равно ее значению в центре сферы:

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy.}$

Эллиптические уравнения в частных производных

Для эллиптических уравнений в частных производных неравенство Гарнака утверждает, что верхняя грань положительного решения в некоторой связанной открытой области ограничена некоторой постоянной величиной, умноженной на нижнюю грань, возможно, с добавленным членом, содержащим функционал норма данных:

${\displaystyle \sup u\leq C(\inf u+\|f\|)}$

Константа зависит от эллиптичности уравнения и связанной открытой области.

Параболические уравнения в частных производных

Существует версия неравенства Гарнака для линейных параболических УЧП, таких как уравнение теплопроводности.

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ - гладкая (ограниченная) область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и рассмотрим линейный эллиптический оператор

${\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u}$

с гладкими и ограниченными коэффициентами и положительно определенный матрица ${\displaystyle (a_{ij})}$. Предположим, что ${\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})}$ это решение

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0}$ в ${\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}}$

такой, что

${\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0{\text{ in }}(0,T)\times {\mathcal {M}}.}$

Позволять ${\displaystyle K}$ компактно содержаться в ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ и выберите ${\displaystyle \tau \in (0,T)}$. Тогда существует постоянная C > 0 (зависит только от K, ${\displaystyle \tau }$, ${\displaystyle t-\tau }$, а коэффициенты при ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$) такой, что для каждого ${\displaystyle t\in (\tau ,T)}$,

${\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).}$

Смотрите также

• Теорема Гарнака
• Гармоническая функция

Рекомендации

• Каффарелли, Луис А .; Кабре, Ксавье (1995), Полностью нелинейные эллиптические уравнения, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 31–41, ISBN  0-8218-0437-5
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN  0-691-04361-2
• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (1988), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка., Спрингер, ISBN  3-540-41160-7
• Гамильтон, Ричард С. (1993), "Оценка Гарнака для потока Риччи", Журнал дифференциальной геометрии, 37 (1): 225–243, Дои:10.4310 / jdg / 1214453430, ISSN  0022-040X, МИСТЕР  1198607
• Гарнак, А. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene, Лейпциг: В. Г. Тойбнер
• Джон, Фриц (1982), Уравнения с частными производными, Прикладные математические науки, 1 (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90609-6
• Камынин, Л. (2001) [1994], «Теорема Гарнака», Энциклопедия математики, EMS Press
• Кассманн, Мориц (2007), "Неравенства Гарнака: Введение" Краевые задачи 2007:081415, Дои: 10.1155/2007/81415, МИСТЕР 2291922
• Мозер, Юрген (1961), "О теореме Гарнака для эллиптических дифференциальных уравнений", Сообщения по чистой и прикладной математике, 14 (3): 577–591, Дои:10.1002 / cpa.3160140329, МИСТЕР  0159138
• Мозер, Юрген (1964), "Неравенство Гарнака для параболических дифференциальных уравнений", Сообщения по чистой и прикладной математике, 17 (1): 101–134, Дои:10.1002 / cpa.3160170106, МИСТЕР  0159139
• Серрин, Джеймс (1955), "О неравенстве Гарнака для линейных эллиптических уравнений", Журнал д'анализа математика, 4 (1): 292–308, Дои:10.1007 / BF02787725, МИСТЕР  0081415
• Л. К. Эванс (1998), Уравнения с частными производными. Американское математическое общество, США. Для эллиптических УЧП см. Теорему 5, с. 334, а параболические уравнения в частных производных см. В теореме 10, с. 370.