Эллиптический оператор - Elliptic operator

Решение для Уравнение Лапласа определено на кольцо. В Оператор Лапласа - самый известный пример эллиптического оператора.

В теории уравнения в частных производных, эллиптические операторы находятся дифференциальные операторы которые обобщают Оператор Лапласа. Они определяются условием положительности коэффициентов при старших производных, что подразумевает ключевое свойство, заключающееся в том, что главный символ обратима, или, что то же самое, нет реальных характеристика направления.

Эллиптические операторы типичны для теория потенциала, и они часто появляются в электростатика и механика сплошной среды. Эллиптическая регулярность означает, что их решения имеют тенденцию гладкие функции (если коэффициенты в операторе гладкие). Устойчивые решения гиперболический и параболический уравнения обычно решают эллиптические уравнения.

Определения

Линейный дифференциальный оператор L порядка м на домене ${\displaystyle \Omega }$ в р^п данный

${\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u\,}$

(куда ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})}$ это мультииндекс, и ${\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial ^{\alpha _{1}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u}$) называется эллиптический если для каждого Икс в ${\displaystyle \Omega }$ и каждый ненулевой ${\displaystyle \xi }$ в р^п,

${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,\,}$

куда ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$.

Во многих приложениях это условие недостаточно сильное, и вместо этого условие равномерной эллиптичности может быть наложено на операторов порядка m = 2k:

${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},\,}$

куда C положительная константа. Обратите внимание, что эллиптичность зависит только от членов высшего порядка.^[1]

Нелинейный оператор

${\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u)_{|\alpha |\leq m})\,}$

является эллиптическим, если его разложение Тейлора первого порядка по ты а его производные относительно любой точки - линейный эллиптический оператор.

Пример 1

Негатив Лапласиан в р^d данный

${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u\,}$

- равномерно эллиптический оператор. Оператор Лапласа часто встречается в электростатике. Если ρ - плотность заряда в некоторой области Ω, потенциал Φ должен удовлетворять уравнению

${\displaystyle -\Delta \Phi =4\pi \rho .\,}$

Пример 2

Для матричнозначной функции А (х) которая симметрична и положительно определена для каждого Икс, имеющий компоненты а^ij, Оператор

${\displaystyle Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu\,}$

эллиптический. Это наиболее общая форма линейного эллиптического дифференциального оператора второго порядка с дивергентной формой. Оператор Лапласа получается, если взять А = Я. Эти операторы также встречаются в электростатике в поляризованных средах.

Пример 3

За п неотрицательное число, p-лапласиан - нелинейный эллиптический оператор, определяемый формулой

${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).\,}$

Аналогичный нелинейный оператор встречается в механика ледника. В Тензор напряжений Коши льда, согласно закону течения Глена, имеет вид

${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)\,}$

для некоторой постоянной B. Тогда скорость ледяного покрова в установившемся состоянии будет решать нелинейную эллиптическую систему

${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,\,}$

где ρ - плотность льда, грамм - вектор ускорения свободного падения, п это давление и Q это принудительный термин.

Эллиптическая теорема регулярности

Позволять L - эллиптический оператор порядка 2k с коэффициентами, имеющими 2k непрерывные производные. Задача Дирихле для L найти функцию ты, учитывая функцию ж и некоторые подходящие граничные значения, такие что Lu = f и такой, что ты имеет соответствующие граничные значения и нормальные производные. Теория существования эллиптических операторов с использованием Неравенство Гординга и Лемма Лакса – Милграма., только гарантирует, что слабое решение ты существует в Соболевское пространство ЧАС^k.

Эта ситуация в конечном итоге неудовлетворительна, поскольку слабое решение ты может не иметь достаточно производных для выражения Лу даже иметь смысл.

В эллиптическая теорема регулярности гарантирует, что при условии ж интегрируем с квадратом, ты на самом деле будет 2k интегрируемые с квадратом слабые производные. В частности, если ж бесконечно-часто дифференцируема, то ты.

Любой дифференциальный оператор, проявляющий это свойство, называется гипоэллиптический оператор; таким образом, любой эллиптический оператор гипоэллиптичен. Свойство также означает, что каждый фундаментальное решение эллиптического оператора бесконечно дифференцируема в любой окрестности, не содержащей 0.

В качестве приложения предположим функцию ${\displaystyle f}$ удовлетворяет Уравнения Коши – Римана. Поскольку уравнения Коши-Римана образуют эллиптический оператор, отсюда следует, что ${\displaystyle f}$ гладко.

Общее определение

Позволять ${\displaystyle D}$ - (возможно, нелинейный) дифференциальный оператор между векторными расслоениями любого ранга. Возьми его главный символ ${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$ относительно одноформной ${\displaystyle \xi }$. (По сути, то, что мы делаем, заменяет наивысший порядок ковариантные производные ${\displaystyle \nabla }$ по векторным полям ${\displaystyle \xi }$.)

Мы говорим ${\displaystyle D}$ является слабоэллиптический если ${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$ линейный изоморфизм для каждого ненулевого ${\displaystyle \xi }$.

Мы говорим ${\displaystyle D}$ есть (равномерно) сильно эллиптический если для некоторой постоянной ${\displaystyle c>0}$,

${\displaystyle \left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}}$

для всех ${\displaystyle \|\xi \|=1}$ и все ${\displaystyle v}$. Важно отметить, что определение эллиптичности в предыдущей части статьи является сильная эллиптичность. Здесь ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ это внутренний продукт. Обратите внимание, что ${\displaystyle \xi }$ ковекторные поля или одноформные, но ${\displaystyle v}$ - элементы векторного расслоения, на которых ${\displaystyle D}$ действует.

Типичным примером (сильно) эллиптического оператора является оператор Лапласиан (или его отрицательный, в зависимости от соглашения). Нетрудно увидеть, что ${\displaystyle D}$ должен быть ровного порядка, чтобы сильная эллиптичность даже могла быть вариантом. В противном случае просто рассмотрите возможность подключения обоих ${\displaystyle \xi }$ и его негатив. С другой стороны, слабоэллиптический оператор первого порядка, такой как Оператор Дирака может возводиться в квадрат, чтобы стать сильно эллиптическим оператором, таким как лапласиан. Композиция слабоэллиптических операторов слабоэллиптическая.

Тем не менее слабая эллиптичность достаточно сильна для Альтернатива Фредгольма, Оценки Шаудера, а Теорема Атьи – Зингера об индексе. С другой стороны, нам нужна сильная эллиптичность для принцип максимума, и гарантировать, что собственные значения дискретны, а их единственная предельная точка - бесконечность.

Смотрите также

• Математический портал

• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• Принцип максимума Хопфа
• Эллиптический комплекс
• Уравнение ультрагиперболической волны
• Полуэллиптический оператор
• Лемма Вейля

Примечания

1. Обратите внимание, что это иногда называют строгая эллиптичность, с равномерная эллиптичность используется для обозначения наличия верхней границы и для символа оператора. Важно проверить определения, которые использует автор, так как условные обозначения могут отличаться. См., Например, Evans, глава 6, для использования первого определения, и Gilbarg and Trudinger, Chapter 3, для использования второго.

Рекомендации

• Эванс, Л. К. (2010) [1998], Уравнения с частными производными, Аспирантура по математике, 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4974-3, МИСТЕР  2597943
  Рассмотрение:
  Раух, Дж. (2000). «Уравнения с частными производными, Л. К. Эванса» (pdf). Журнал Американского математического общества. 37 (3): 363–367. Дои:10.1090 / s0273-0979-00-00868-5.
• Gilbarg, D .; Трудингер, Н.С. (1983) [1977], Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13025-3, МИСТЕР  0737190
• Шубин, М. А. (2001) [1994], «Эллиптический оператор», Энциклопедия математики, EMS Press

внешняя ссылка

• Линейные эллиптические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейные эллиптические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.