Сингулярные интегральные операторы типа свертки - Singular integral operators of convolution type

В математика, сингулярные интегральные операторы типа свертки являются сингулярные интегральные операторы которые возникают на р^п и Т^п через свертку по распределениям; эквивалентно они являются сингулярными интегральными операторами, коммутирующими со сдвигами. Классические примеры в гармонический анализ являются оператор гармонического сопряжения по кругу Преобразование Гильберта на круге и действительной прямой Преобразование берлинга в комплексной плоскости и Преобразование Рисса в евклидовом пространстве. Непрерывность этих операторов на L² очевидно, потому что преобразование Фурье превращает их в операторы умножения. Преемственность на L^п пространства были впервые созданы Марсель Рис. Классические техники включают использование Интегралы Пуассона, теория интерполяции и Максимальная функция Харди – Литтлвуда. Для более общих операторов используются фундаментальные новые методы, введенные Альберто Кальдерон и Антони Зигмунд в 1952 г., были разработаны рядом авторов, чтобы дать общие критерии преемственности L^п пробелы. Эта статья объясняет теорию классических операторов и наброски последующей общей теории.

L² теория

Преобразование Гильберта на окружности

Смотрите также: Гармонический конъюгат

Теория для L² функции особенно просты по кругу.^[1][2] Если ж ∈ L²(Т), то он имеет разложение в ряд Фурье

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta }.}$

Харди космос ЧАС²(Т) состоит из функций, у которых отрицательные коэффициенты обращаются в нуль, а_п = 0 для п <0. Это в точности интегрируемые с квадратом функции, которые возникают как граничные значения голоморфных функций в открытом единичном круге. Действительно, ж - граничное значение функции

${\displaystyle F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},}$

в том смысле, что функции

${\displaystyle f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),}$

определяется ограничением F к концентрическим окружностям |z| = рудовлетворить

${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0.}$

Ортогональная проекция п из L²(Т) на H²(Т) называется Сегу проекция. Это ограниченный оператор на L²(Т) с участием норма оператора 1. По теореме Коши

${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{f(\zeta ) \over \zeta -z}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}$

Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}}$

Когда р = 1, подынтегральное выражение в правой части имеет особенность при θ = 0. усеченное преобразование Гильберта определяется

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}}$

где δ = | 1 - е^яε|, Поскольку он определяется как свертка с ограниченной функцией, он является ограниченным оператором на L²(Т). Сейчас же

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.}}$

Если ж является многочленом от z тогда

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}}$

По теореме Коши правая часть стремится к 0 равномерно при ε, а значит, δ стремится к 0. Таким образом,

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow if}}$

равномерно для многочленов. С другой стороны, если ты(z) = z немедленно, что

${\displaystyle \displaystyle {{\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}}$

Таким образом, если ж является многочленом от z⁻¹ без постоянного срока

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow -if}}$ равномерно.

Определить Преобразование Гильберта по кругу

${\displaystyle \displaystyle {H=i(2P-I).}}$

Таким образом, если ж является тригонометрическим полиномом

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}}$ равномерно.

Отсюда следует, что если ж любой L² функция

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}}$ в L² норма.

Это является непосредственным следствием результата для тригонометрических полиномов после того, как установлено, что операторы ЧАС_ε равномерно ограничены в норма оператора. Но на [–π, π]

${\displaystyle \displaystyle {(1-e^{i\theta })^{-1}=[(1-e^{i\theta })^{-1}-i\theta ^{-1}]+i\theta ^{-1}.}}$

Первый член ограничен на всем отрезке [–π, π], поэтому достаточно показать, что операторы свертки S_ε определяется

${\displaystyle \displaystyle {S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\theta )\theta ^{-1}\,d\theta }}$

равномерно ограничены. Относительно ортонормированного базиса е^вθ Операторы свертки диагональны, и их операторные нормы задаются взятием супремума модулей коэффициентов Фурье. Прямые вычисления показывают, что все они имеют вид

${\displaystyle \displaystyle {{1 \over \pi }\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|}}$

с 0 < а < б. Эти интегралы, как известно, равномерно ограничены.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции ж по кругу, ЧАС_εж равномерно сходится к Hf, так что, в частности, поточечно. Поточечный предел - это Главное значение Коши, написано

${\displaystyle \displaystyle {Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}}$

Если ж просто в L² тогда ЧАС_εж сходится к Hf точечно почти везде. Фактически определить Операторы Пуассона на L² функции

${\displaystyle T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{|n|}a_{n}e^{in\theta },}$

для р <1. Поскольку эти операторы диагональны, легко видеть, что Т_рж как правило ж в L² так как р увеличивается до 1. Кроме того, как доказал Лебег, Т_рж также поточечно стремится к ж на каждом Точка Лебега из ж. С другой стороны, также известно, что Т_рHf – ЧАС_{1 – р} ж стремится к нулю в каждой точке Лебега ж. Следовательно ЧАС_{1 – р} ж поточечно стремится к ж об общих точках Лебега ж и Hf а значит почти везде.^[3][4][5]

Результаты такого рода о поточечной сходимости в более общем виде доказываются ниже для L^п функции, использующие операторы Пуассона и максимальную функцию Харди – Литтлвуда от ж.

Преобразование Гильберта имеет естественную совместимость с сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами окружности.^[6] Таким образом, если ЧАС является диффеоморфизмом окружности с

${\displaystyle H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}$

тогда операторы

${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,}$

равномерно ограничены и в сильной операторной топологии стремятся к ЧАС. Более того, если Vf(z) = ж(ЧАС(z)), тогда VHV⁻¹ – ЧАС - оператор с гладким ядром, поэтому Оператор Гильберта – Шмидта.

Фактически, если г является инверсией ЧАС с соответствующей функцией г(θ), то

${\displaystyle (VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$

Так как ядро ​​в правой части гладкое на Т × Т, следует, что операторы в правой части равномерно ограничены, а значит, и операторы ЧАС_ε^час. Чтобы увидеть, что они сильно склонны ЧАС, достаточно проверить это на тригонометрических полиномах. В этом случае

${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.}$

В первом интеграле подынтегральное выражение представляет собой тригонометрический полином от z и ζ, поэтому интеграл является тригонометрическим полиномом от ζ. Это имеет тенденцию в L² к тригонометрическому полиному

${\displaystyle {1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.}$

Интеграл во втором члене можно вычислить с помощью принцип аргументации. Имеет тенденцию в L² к постоянной функции 1, так что

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz,}$

где предел находится в L². С другой стороны, правая часть не зависит от диффеоморфизма. Поскольку для тождественного диффеоморфизма левая часть равна Hf, это тоже равно Hf (это также можно проверить напрямую, если ж является тригонометрическим полиномом). Наконец, устремляя ε → 0,

${\displaystyle (VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$

Прямой метод вычисления коэффициентов Фурье для доказательства равномерной ограниченности оператора ЧАС^ε не обобщает прямо на L^п пробелы с 1 < п <∞. Вместо прямого сравнения ЧАС^εж с Интеграл Пуассона преобразования Гильберта используется классически для доказательства этого. Если ж имеет ряд Фурье

${\displaystyle f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta },}$

его интеграл Пуассона определяется как

${\displaystyle \displaystyle {P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),}}$

где Ядро Пуассона K_р дан кем-то

${\displaystyle \displaystyle {K_{r}(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^{2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}$

В ж находится в L^п(Т) то операторы п_р удовлетворить

${\displaystyle \displaystyle {\|P_{r}f-f\|_{p}\rightarrow 0.}}$

Фактически K_р положительные, поэтому

${\displaystyle \displaystyle {\|K_{r}\|_{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.}}$

Таким образом, операторы п_р имеют операторную норму, ограниченную 1 на L^п. Утверждение о сходимости выше следует по непрерывности из результата для тригонометрических полиномов, где оно является непосредственным следствием формулы для коэффициентов Фурье K_р.

Равномерная ограниченность операторной нормы оператора ЧАС_ε следует потому что HP_р − ЧАС_1−р задается сверткой по функции ψ_р, где^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}}$

для 1 - р ≤ | θ | ≤ π, а при | θ | <1 - р,

${\displaystyle \displaystyle {\psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}$

Эти оценки показывают, что L¹ нормы ∫ | ψ_р| равномерно ограничены. поскольку ЧАС - ограниченный оператор, то операторы ЧАС_ε равномерно ограничены по операторной норме на L²(Т). Тот же аргумент можно использовать для L^п(Т), если известно, что преобразование Гильберта ЧАС ограничена по операторной норме на L^п(Т).

Преобразование Гильберта на прямой

Смотрите также: Преобразование Гильберта

Как и в случае с кругом, теория L² функции особенно легко разрабатывать. Фактически, как наблюдали Розенблюм и Девинац, два преобразования Гильберта можно связать с помощью преобразования Кэли.^[8]

В Преобразование Гильберта ЧАС_р на L²(р) определяется

${\displaystyle {\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _{[0,\infty )}-i\chi _{(-\infty ,0]}\right){\widehat {f}},}$

где преобразование Фурье дан кем-то

${\displaystyle \displaystyle {{\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx.}}$

Определим пространство Харди H²(р) как замкнутое подпространство в L²(р), состоящий из функций, для которых преобразование Фурье обращается в нуль на отрицательной части вещественной оси. Его ортогональное дополнение задается функциями, для которых преобразование Фурье обращается в нуль на положительной части вещественной оси. Это комплексное сопряжение H²(р). Если п_р ортогональная проекция на H²(р), тогда

${\displaystyle \displaystyle {H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).}}$

Преобразование Кэли

${\displaystyle \displaystyle {C(x)={x-i \over x+i}}}$

переносит расширенную вещественную прямую на окружность, переводя точку ∞ в 1, а верхнюю полуплоскость - на единичный диск.

Определим унитарный оператор из L²(Т) на L²(р) от

${\displaystyle \displaystyle {Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).}}$

Этот оператор переносит пространство Харди окружности H²(Т) на H²(р). Фактически для |ш| <1 линейная оболочка функций

${\displaystyle f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}}$

плотно в H²(Т). Более того,

${\displaystyle Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}}$

где

${\displaystyle \displaystyle {z=C^{-1}({\overline {w}}).}}$

С другой стороны, для z ∈ ЧАС, линейная оболочка функций

${\displaystyle \displaystyle {g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)}}$

плотно в L²((0, ∞)). Посредством Формула обращения Фурье, они являются преобразованиями Фурье

${\displaystyle \displaystyle {h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},}}$

поэтому линейная оболочка этих функций плотна в H²(р). поскольку U несет ж_шна кратные час_zs, следует, что U несет H²(Т) на H²(р). Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.}}$

В Никольский (1986), часть L² Теория на реальной прямой и верхней полуплоскости развивается путем переноса результатов с круга и единичного диска. Естественной заменой концентрических окружностей в диске являются прямые, параллельные действительной оси в ЧАС. При преобразовании Кэли они соответствуют окружностям в диске, которые касаются единичной окружности в точке один. Поведение функций из H²(Т) на этих кругах является частью теории Карлесоновские меры. Однако теорию сингулярных интегралов легче развить, работая непосредственно с р.

ЧАС²(р) состоит в точности из L² функции ж возникающие из граничных значений голоморфных функций на ЧАС в следующем смысле:^[9] ж находится в H² при условии, что существует голоморфная функция F(z) на ЧАС так что функции ж_y(Икс) = ж(Икс + иу) для y > 0 находятся в L² и ж_y как правило ж в L² так как y → 0. В этом случае F обязательно уникален и задается Интегральная формула Коши:

${\displaystyle \displaystyle {F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds.}}$

Фактически, отождествляя H² с L²(0, ∞) через преобразование Фурье для y > 0 умножение на е^−yt на L²(0, ∞) индуцирует сжимающую полугруппу V_y на H². Следовательно, для ж в L²

${\displaystyle \displaystyle {{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).}}$

Если ж находится в H², F(z) голоморфна для Im z > 0, так как семейство L² функции г_z голоморфно зависит от z. Более того, ж_y = V_yж как правило ж в ЧАС² поскольку это верно для преобразований Фурье. И наоборот, если такой F существует в силу интегральной теоремы Коши и указанного тождества, примененного к ж_y

${\displaystyle \displaystyle {f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}}}$

для т > 0. Пусть т как правило 0, это следует из того Pf_y = ж_y, так что ж_y лежит в H². Но тогда тоже предел ж. поскольку

${\displaystyle \displaystyle {V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},}}$

уникальность F следует из

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}=\lim _{y\rightarrow 0}f_{y+t}=\lim _{y\rightarrow 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.}}$

Для ж в L², то усеченные преобразования Гильберта определены

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y-x|\leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\varepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y|\geq \varepsilon }{f(x-y) \over y}\,dy.\end{aligned}}}$

Операторы ЧАС_ε,р являются свертками ограниченных функций с компактным носителем, поэтому их операторные нормы задаются равномерной нормой их преобразований Фурье. Как и прежде, абсолютные значения имеют вид

${\displaystyle \displaystyle {{1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.}}$

с 0 < а < б, поэтому операторы ЧАС_ε,р равномерно ограничены по операторной норме. поскольку ЧАС_ε,рж как правило ЧАС_εж в L² для ж с компактной опорой, а значит, для произвольных ж, операторы ЧАС_ε также равномерно ограничены по операторной норме.

Чтобы доказать, что ЧАС_ε ж как правило Hf при стремлении ε к нулю достаточно проверить это на плотном множестве функций. С другой стороны,

${\displaystyle \displaystyle {{\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),}}$

так что достаточно доказать, что ЧАС_εж как правило если для плотного набора функций из H²(р), например преобразования Фурье гладких функций г с компактным носителем в (0, ∞). Но преобразование Фурье ж распространяется на всю функцию F на C, ограниченная на Im (z) ≥ 0. То же верно и для производных от г. С точностью до скаляра они соответствуют умножению F(z) полномочиями z. Таким образом F удовлетворяет Оценка Пейли-Винера для Im (z) ≥ 0:^[10]

${\displaystyle \displaystyle {|F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}}}$

для любого м, N ≥ 0. В частности, интеграл, определяющий ЧАС_εж(Икс) можно вычислить, взяв стандартный полукруглый контур с центром на Икс. Он состоит из большого полукруга радиусом р и небольшой круг радиуса ε с двумя частями действительной оси между ними. По теореме Коши интеграл по контуру равен нулю. Интеграл вокруг большого контура по оценке Пэли-Винера стремится к нулю. Интеграл по действительной оси - это искомый предел. Поэтому он задается как минус предел на маленьком полукруглом контуре. Но это предел

${\displaystyle \displaystyle {{1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.}}$

Где Γ - маленький полукруглый контур, ориентированный против часовой стрелки. По обычным методикам контурного интегрирования этот предел равен если(Икс).^[11] В этом случае легко проверить, что сходимость преобладает в L² поскольку

${\displaystyle H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy}$

так что сходимость преобладает

${\displaystyle G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x+ty)|\,dy}$

который находится в L² по оценке Пэли-Винера.

Отсюда следует, что для ж на L²(р)

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.}}$

Это также можно вывести напрямую, потому что после перехода к преобразованиям Фурье ЧАС_ε и ЧАС становятся операторами умножения на равномерно ограниченные функции. Множители для ЧАС_ε поточечно стремятся почти всюду к множителю при ЧАС, поэтому приведенное выше утверждение следует из теорема о доминируемой сходимости применяется к преобразованиям Фурье.

Что касается преобразования Гильберта на окружности, ЧАС_εж как правило Hf поточечно почти всюду, если ж это L² функция. Фактически, определить Операторы Пуассона на L² функции

${\displaystyle T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,}$

где ядро ​​Пуассона определяется выражением

${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.}$

для y > 0. Его преобразование Фурье есть

${\displaystyle \displaystyle {{\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},}}$

из чего легко увидеть, что Т_yж как правило ж в L² так как y возрастает до 0. Более того, как доказал Лебег, Т_yж также поточечно стремится к ж на каждом Точка Лебега из ж. С другой стороны, также известно, что Т_yHf – ЧАС_yж стремится к нулю в каждой точке Лебега ж. Следовательно ЧАС_εж поточечно стремится к ж об общих точках Лебега ж и Hf а значит почти везде.^[12][13] Абсолютные значения функций Т_yж − ж и Т_yHf – ЧАС_yж можно поточечно ограничить кратными максимальной функции от ж.^[14]

Что касается преобразования Гильберта на окружности, то равномерная ограниченность операторных норм ЧАС_ε следует из Т_ε если ЧАС как известно, ограничен, так как HT_ε − ЧАС_ε - оператор свертки по функции

${\displaystyle g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}}$

L¹ нормы этих функций равномерно ограничены.

Рисса преобразовывает в комплексной плоскости

Основная статья: Преобразование Рисса

Комплексные преобразования Рисса р и р* в комплексной плоскости - унитарные операторы на L²(C) определяется как умножение на z/|z| и его сопряженного на преобразовании Фурье L² функция ж:

${\displaystyle \displaystyle {{\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).}}$

Идентификация C с участием р², р и р* даны

${\displaystyle \displaystyle {R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},}}$

где р₁ и р₂ являются преобразованиями Рисса на р² определено ниже.

На L²(C), Оператор р и его целые степени унитарны. Их также можно выразить как сингулярные интегральные операторы:^[15]

${\displaystyle \displaystyle {R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$

где

${\displaystyle \displaystyle {M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\,(k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}}.}}$

Определение усеченных высших преобразований Рисса как

${\displaystyle \displaystyle {R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$

можно показать, что эти операторы равномерно ограничены по операторной норме. Для нечетных степеней это можно вывести с помощью метода вращения Кальдерона и Зигмунда, описанного ниже.^[16] Если известно, что операторы ограничены по операторной норме, это также можно вывести с помощью операторов Пуассона.^[17]

Операторы Пуассона Т_s на р² определены для s > 0 по

${\displaystyle \displaystyle {T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|x-t|^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}}$

Они задаются сверткой с функциями

${\displaystyle \displaystyle {P_{s}(x)={s \over 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}}$

п_s - преобразование Фурье функции е^{− s|Икс|}, поэтому при преобразовании Фурье они соответствуют умножению на эти функции и образуют полугруппу сжатия на L²(р²). поскольку п_y положительна и интегрируема с интегралом 1, операторы Т_s также определяют полугруппу сжатия на каждой L^п пробел с 1 < п < ∞.

Можно вычислить высшие преобразования Рисса ядра Пуассона:

${\displaystyle \displaystyle {R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}}$

для k ≥ 1 и комплексно сопряженный для - k. Действительно, правая часть - гармоническая функция F(Икс,y,s) трех переменных и для таких функций^[18]

${\displaystyle \displaystyle {T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}}$

Как и раньше, операторы

${\displaystyle \displaystyle {T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}}$

задаются сверткой с интегрируемыми функциями и имеют равномерно ограниченные операторные нормы. Поскольку преобразования Рисса унитарны на L²(C), из равномерной ограниченности усеченных преобразований Рисса следует, что они сходятся в сильной операторной топологии к соответствующим преобразованиям Рисса.

Равномерная ограниченность разницы между преобразованием и усеченным преобразованием также наблюдается для нечетных k с использованием метода вращения Кальдерона-Зигмунда.^[19][20] Группа Т действует вращением на функции на C через

${\displaystyle \displaystyle {U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}}$

Это определяет унитарное представление на L²(C) и унитарные операторы р_θ коммутируют с преобразованием Фурье. Если А - ограниченный оператор на L²(р), то он определяет ограниченный оператор А⁽¹⁾ onL²(C) просто сделав А действовать по первой координате. С обозначением L²(р²) = L²(р) ⊗ L²(р), А⁽¹⁾ = А ⊗ я. Если φ - непрерывная функция на окружности, то новый оператор может быть определен как

${\displaystyle \displaystyle {B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .}}$

Это определение понимается в том смысле, что

${\displaystyle \displaystyle {(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }}$

для любого ж, г в L²(C). Это следует из того

${\displaystyle \displaystyle {\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\theta .}}$

Принимая А быть преобразованием Гильберта ЧАС на L²(р) или его усечение ЧАС_ε, это следует из того

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\varepsilon }&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H_{\varepsilon }^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .\end{aligned}}}$

Сопряжение дает аналогичные формулы для Р* и его усечение. Это дает второй способ проверить оценку норм р, р* и их усечения. Его преимущество в том, что он применим также для L^п пробелы.

Операторы Пуассона могут также использоваться, чтобы показать, что усеченные высшие преобразования Рисса функции стремятся к высшему преобразованию Рисса в общих точках Лебега функции и ее преобразования. Действительно, (р^kТ_ε − р^(k)_ε)ж → 0 в каждой точке Лебега ж; в то время как (р^k − р^kТ_ε)ж → 0 в каждой точке Лебега р^kж.^[21]

Преобразование Берлинга в комплексной плоскости

Смотрите также: Уравнение Бельтрами

поскольку

${\displaystyle {{\overline {z}} \over z}=\left({{\overline {z}} \over |z|}\right)^{2},}$

преобразование Берлинга Т на L² унитарный оператор равен р². Это соотношение использовалось классически в Векуа (1962) и Альфорс (1966) установить свойства непрерывности Т на L^п пробелы. Результаты по преобразованию Рисса и его полномочиям показывают, что Т является пределом в сильной операторной топологии усеченных операторов

${\displaystyle T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.}$

Соответственно, Tf можно записать как интеграл главного значения Коши:

${\displaystyle Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }}P.V.\iint {\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.}$

Из описания Т и Т* на преобразованиях Фурье, то если ж гладкая компактная опора

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\T(\partial _{\overline {z}}f)&=\partial _{\overline {z}}T(f).\end{aligned}}}$

Как и преобразование Гильберта в одном измерении, преобразование Берлинга совместимо с конформными изменениями координат. Пусть Ω - ограниченная область в C с гладкой границей ∂Ω и φ - однолистное голоморфное отображение единичный диск D на Ω, продолжающийся до гладкого диффеоморфизма окружности на ∂Ω. Если χ_Ω это характеристическая функция области Ω оператор может χ_ΩТχ_Ω определяет ошибку Т(Ω) на L²(Ω). Через конформное отображение φ он индуцирует оператор, также обозначаемый Т(Ω), на L²(D) который можно сравнить с Т(D). То же самое и с усечениями Т_ε(Ω) и Т_ε(D).

Позволять U_ε быть диском |z − ш| <ε и V^ε область | φ (z) - φ (ш) | <ε. На L²(D)

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\varepsilon }(\Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}f(z)\right]dxdy,\\T_{\varepsilon }(D)f(w)&=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (z-w)^{2}}dxdy,\end{aligned}}}$

и операторные нормы этих усеченных операторов равномерно ограничены. С другой стороны, если

${\displaystyle T_{\varepsilon }^{\prime }(D)f(w)=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{(z-w)^{2}}}dxdy,}$

то разница между этим оператором и Т_ε(Ω) - усеченный оператор с гладким ядром K(ш,z):

${\displaystyle K(w,z)=-{1 \over \pi }\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}\right].}$

Итак, операторы T ′_ε(D) также должны иметь равномерно ограниченные операторные нормы. Чтобы увидеть, что их разность стремится к 0 в сильной операторной топологии, достаточно проверить это для ж гладкая компактная опора в D. По теореме Грина^[22]

${\displaystyle \left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dxdy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dxdy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-w}}d{\overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\varepsilon }}{f(z) \over z-w}\,d{\overline {z}}.}$

Все четыре члена в правой части стремятся к 0. Следовательно, разница Т(Ω) - Т(D) это Оператор Гильберта – Шмидта с ядром K.

Для поточечной сходимости есть простой аргумент, поскольку Матеу и Вердера (2006) показывая, что усеченные интегралы сходятся к Tf именно в его точках Лебега, то есть почти везде.^[23] по факту Т обладает следующим свойством симметрии для ж, г ∈ L²(C)

${\displaystyle \iint (Tf)g=-{1 \over \pi }\lim \int _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{(w-z)^{2}}}=\iint f(Tg).}$

С другой стороны, если χ - характеристическая функция диска D(z, ε) с центром z и радиус ε, то

${\displaystyle T\chi (w)=-\varepsilon ^{2}{\frac {1-\chi (w)}{(w-z)^{2}}}.}$

Следовательно

${\displaystyle T_{\varepsilon }(f)(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(T\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint (Tf)\chi =\mathbf {Av} _{D(z,\varepsilon )}\,Tf.}$

Посредством Теорема Лебега дифференцирования, правая часть сходится к Tf в точках Лебега Tf.

Рисс трансформируется в высшие измерения

Основная статья: Преобразование Рисса

Для ж в пространстве Шварца р^п, то jth Преобразование Рисса определяется

${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(x-y){1 \over |y|^{n-1}}dy,}$

где

${\displaystyle c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {n+1}{2}}}.}$

Под преобразованием Фурье:

${\displaystyle {\widehat {R_{j}f}}(t)={it_{j} \over |t|}{\widehat {f}}(t).}$

Таким образом р_j соответствует оператору ∂_jΔ^−1/2, где Δ = −∂₁² − ... −∂_п² обозначает лапласиан на р^п. По определению р_j - ограниченный и кососопряженный оператор для L² норма и

${\displaystyle R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.}$

Соответствующие усеченные операторы

${\displaystyle R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy}$

равномерно ограничены по операторной норме. Это можно доказать либо непосредственно, либо установить с помощью Кальдерон-Зигмунд метод вращений для группы SO (п).^[24] Это выражает операторы р_j и их усечения в терминах преобразований Гильберта в одномерном измерении и его усечения. Фактически, если г = SO (п) с нормированной мерой Хаара и ЧАС⁽¹⁾ - преобразование Гильберта по первой координате, то

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon }^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)}g^{-1}\,dg.\end{aligned}}}$

где φ (г) - это (1,j) матричный коэффициент г.

В частности для ж ∈ L², р_{j, ε}ж → р_jж в L². Более того, р_{j, ε}ж как правило р_j почти всюду. Это можно доказать точно так же, как преобразование Гильберта, используя операторы Пуассона, определенные на L²(р^п) когда р^п рассматривается как граница полупространства в р^п+1. В качестве альтернативы это можно доказать непосредственно из результата для преобразования Гильберта на р используя выражение р_j как интеграл по г.^[25][26]

Операторы Пуассона Т_y на р^п определены для y > 0 по^[27]

${\displaystyle T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {yf(x)}{\left(|x-t|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}dt.}$

Они задаются сверткой с функциями

${\displaystyle P_{y}(x)=c_{n}{\frac {y}{\left(|x|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$

п_y - преобразование Фурье функции е^−y|Икс|, поэтому при преобразовании Фурье они соответствуют умножению на эти функции и образуют полугруппу сжатия на L²(р^п). поскольку п_y положительна и интегрируема с интегралом 1, операторы Т_y также определяют полугруппу сжатия на каждом L^п пробел с 1 < п < ∞.

Преобразования Рисса ядра Пуассона можно вычислить

${\displaystyle R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{\frac {x_{j}}{\left(|x|^{2}+\varepsilon ^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$

Оператор р_jТ_ε дается сверткой с этой функцией. Непосредственно можно проверить, что операторы р_jТ_ε − р_{j, ε} задаются сверткой с равномерно ограниченными в L¹ норма. Следовательно, операторная норма разности равномерно ограничена. У нас есть (р_jТ_ε − р_{j, ε})ж → 0 в каждой точке Лебега ж; в то время как (р_j − р_jТ_ε)ж → 0 в каждой точке Лебега р_jж. Так р_{j, ε}ж → р_jж об общих точках Лебега ж и р_jж.

L^п теория

Элементарные доказательства теоремы М. Рисса

Теорема о Марсель Рис утверждает, что сингулярные интегральные операторы, непрерывные для L² нормы также непрерывны в L^п норма для 1 < п < ∞ и что нормы операторов непрерывно меняются с п.

Доказательство Бохнера преобразования Гильберта на окружности^[28]

После того, как установлено, что операторные нормы преобразования Гильберта на L^п(Т) ограничены для четных целых чисел, из Интерполяционная теорема Рисса – Торина. и двойственность, что они ограничены для всех п с участием 1 < п < ∞ и что нормы постоянно меняются с п. Более того, аргументы с интегралом Пуассона могут быть применены, чтобы показать, что усеченное преобразование Гильберта ЧАС_ε равномерно ограничены по операторной норме и сходятся в сильной операторной топологии к ЧАС.

Достаточно доказать оценку вещественных тригонометрических полиномов без постоянного члена:

${\displaystyle f\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{m=1}^{N}a_{m}e^{im\theta }+a_{-m}e^{-im\theta },\qquad a_{-m}={\overline {a_{m}}}.}$

поскольку ж + iHf является многочленом от е^iθ без постоянного срока

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(f+iHf)^{2n}\,d\theta =0.}$

Следовательно, взяв действительную часть и используя Неравенство Гёльдера:

${\displaystyle \|Hf\|_{2n}^{2n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\left|\left((Hf)^{2k},f^{2n-2k}\right)\right|\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\|Hf\|_{2n}^{2k}\cdot \|f\|_{2n}^{2n-2k}.}$

Итак, теорема М. Рисса следует индукцией для п четное число и, следовательно, для всех п с участием 1 < п < ∞.

Доказательство Котлара преобразования Гильберта на прямой^[29]

После того, как установлено, что операторные нормы преобразования Гильберта на L^п(р) ограничены, когда п является степенью двойки, из Интерполяционная теорема Рисса – Торина. и двойственность, что они ограничены для всех п с участием 1 < п < ∞ и что нормы постоянно меняются с п. Более того, аргументы с интегралом Пуассона могут быть применены, чтобы показать, что усеченное преобразование Гильберта ЧАС_ε равномерно ограничены по операторной норме и сходятся в сильной операторной топологии к ЧАС.

Достаточно доказать оценку, когда ж является функцией Шварца. В этом случае имеет место следующее тождество Котлара:

${\displaystyle (Hf)^{2}=f^{2}+2H(fH(f)).}$

Фактически, напишите ж = ж₊ + ж₋ согласно ±я собственные подпространства ЧАС. поскольку ж ± iHf распространяются на голоморфные функции в верхней и нижней полуплоскостях, также как и их квадраты. Следовательно

${\displaystyle f^{2}-(Hf)^{2}=\left(f_{+}+f_{-}\right)^{2}+\left(f_{+}-f_{-}\right)^{2}=2\left(f_{+}^{2}+f_{-}^{2}\right)=-2iH\left(f_{+}^{2}-f_{-}^{2}\right)=-2H(f(Hf)).}$

(Тождество Котлара также можно проверить напрямую с помощью преобразований Фурье.)

Следовательно, в предположении теоремы М. Рисса для п = 2^п,

${\displaystyle \|Hf\|_{2^{n+1}}^{2}=\left\|(Hf)^{2}\right\|_{2^{n}}\leq \left\|f^{2}\right\|_{2^{n}}+2\|H(fH(f))\|_{2^{n}}\leq \|f\|_{2^{n+1}}^{2}+2\|H\|_{2^{n}}\|f\|_{2^{n+1}}\|Hf\|_{2^{n+1}}.}$

поскольку

${\displaystyle R^{2}>1+2\|H\|_{2^{n}}R}$

для р достаточно большой, теорема М. Рисса должна выполняться и для п = 2^п+1.

Точно такой же метод работает для преобразования Гильберта на окружности.^[30] То же тождество Котлара легко проверяется на тригонометрических полиномах ж записав их как сумму членов с неотрицательными и отрицательными показателями, т. е. ±я собственные функции ЧАС. В L^п поэтому оценки могут быть установлены, когда п является степенью двойки и в целом следует из интерполяции и двойственности.

Метод вращения Кальдерона – Зигмунда.

Метод поворота для преобразований Рисса и их усечения одинаково хорошо применим на L^п места для 1 < п < ∞. Таким образом, эти операторы могут быть выражены через преобразование Гильберта на р и его усечения. Интеграция функций Φ из группы Т или ТАК(п) в пространство операторов на L^п понимается в слабом смысле:

${\displaystyle \left(\int _{G}\Phi (x)\,dx\,f,g\right)=\int _{G}(\Phi (x)f,g)\,dx}$

где ж лежит в L^п и г лежит в двойное пространство L^q с участием  1/п + 1/q. Отсюда следует, что преобразования Рисса ограничены на L^п и что различия с их усечением также равномерно ограничены. Преемственность L^п норм фиксированного преобразования Рисса является следствием Интерполяционная теорема Рисса – Торина..

Поточечная сходимость

Смотрите также: Теорема Фату

Доказательства поточечной сходимости преобразований Гильберта и Рисса опираются на Теорема Лебега дифференцирования, что можно доказать с помощью Максимальная функция Харди-Литтлвуда.^[31] Методы для простейшего и наиболее известного случая, а именно преобразования Гильберта на окружности, являются прототипом для всех других преобразований. Этот случай подробно объясняется здесь.

Позволять ж быть в L^п(Т) для п > 1. Теорема Лебега о дифференцировании утверждает, что

${\displaystyle \displaystyle {A(\varepsilon )={1 \over 2\varepsilon }\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }|f(t)-f(x)|\,dt\to 0}}$

почти для всех Икс в Т.^[32][33][34] Точки, в которых это выполняется, называются Точки Лебега из ж. Из этой теоремы следует, что если ж - интегрируемая функция на окружности, интеграл Пуассона Т_рж поточечно стремится к ж на каждом Точка Лебега из ж. Фактически, для Икс исправлено, А(ε) - непрерывная функция на [0, π]. Непрерывность в 0 следует, потому что Икс является точкой Лебега и в другом месте, потому что если час интегрируемая функция, интеграл от | h | на интервалах убывающей длины стремится к 0 на Неравенство Гёльдера.

Сдача р = 1 - ε, разницу можно оценить двумя интегралами:

${\displaystyle 2\pi |T_{r}f(x)-f(x)|=\int _{0}^{2\pi }|(f(x-y)-f(x))P_{r}(y)|\,dy\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }+\int _{|y|\geq \varepsilon }.}$

Ядро Пуассона обладает двумя важными свойствами при малых ε.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}$

Первый интеграл ограничен А(ε) по первому неравенству так стремится к нулю, когда ε стремится к 0; второй интеграл стремится к нулю по второму неравенству.

Те же рассуждения можно использовать, чтобы показать, что Т_{1 - ε}Hf – ЧАС_εж стремится к нулю в каждой точке Лебега ж.^[35] Фактически оператор Т_{1 - ε}Hf имеет ядро Q_р + я, где сопряженное ядро ​​Пуассона Q_р определяется

${\displaystyle \displaystyle {Q_{r}(\theta )={2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}$

Следовательно

${\displaystyle \displaystyle {2\pi |T_{1-\varepsilon }Hf(x)-H_{\varepsilon }f(x)|\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{r}(y)|\,dy+\int _{|y|\geq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{1}(y)-Q_{r}(y)|\,dy.}}$

Сопряженное ядро ​​Пуассона обладает двумя важными свойствами при малых ε.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|Q_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|Q_{1}(y)-Q_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}$

Точно такие же рассуждения, как и ранее, показывают, что два интеграла стремятся к 0 при ε → 0.

Комбинируя эти две предельные формулы, получаем, что ЧАС_εж поточечно стремится к Hf об общих точках Лебега ж и Hf а значит почти везде.^[36][37][38]

Максимальные функции

Смотрите также: Максимальная функция Харди – Литтлвуда

Большая часть L^п теория была разработана с использованием максимальных функций и максимальных преобразований. Этот подход имеет то преимущество, что он также распространяется на L¹ пространств в подходящем «слабом» смысле и дает уточненные оценки в L^п места для п > 1. Эти более точные оценки составляют важную часть методов, используемых для Леннарт Карлесон решение в 1966 г. Гипотеза Лусина что ряд Фурье оператора L² функции сходятся почти всюду.^[39] В более рудиментарных формах этого подхода L² теории уделяется меньше внимания: вместо этого больше внимания уделяется L¹ теория, в частности ее теоретико-мерный и вероятностный аспекты; результаты для других L^п пробелы выводятся формой интерполяция между L¹ и я^∞ пробелы. Подход описан в многочисленных учебниках, в том числе в классических. Зигмунд (1977) и Кацнельсон (1968). Здесь мы следуем описанию Кацнельсона для частного случая преобразования Гильберта функций из L¹(Т), случай, не описанный выше. Ф. Рис доказательство выпуклости, первоначально установленное Харди, устанавливается напрямую, не прибегая к Интерполяция Рисса-Торина.^[40][41]

Если ж это L¹ функция на окружности, ее максимальная функция определяется как^[42]

${\displaystyle \displaystyle {f^{*}(t)=\sup _{0<h\leq \pi }{1 \over 2h}\int _{t-h}^{t+h}|f(s)|\,ds.}}$

ж* конечен почти всюду и имеет слабую L¹ тип. Фактически при λ> 0, если

${\displaystyle \displaystyle {E_{f}(\lambda )=\{x:\,|f(x)|>\lambda \},\,\,f_{\lambda }=\chi _{E(\lambda )}f,}}$

тогда^[43]

${\displaystyle m(E_{f^{*}}(\lambda ))\leq {8 \over \lambda }\int _{E_{f}(\lambda )}|f|\leq {8\|f\|_{1} \over \lambda },}$

где м обозначает меру Лебега.

Приведенное выше неравенство Харди - Литтлвуда приводит к доказательству того, что почти каждая точка Икс из Т это Точка Лебега интегрируемой функции ж, так что

${\displaystyle \displaystyle {\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}{2h}}\to 0.}}$

На самом деле пусть

${\displaystyle \omega (f)(x)=\limsup _{h\to 0}{\frac {\int _{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}{2h}}\leq f^{*}(x)+|f(x)|.}$

Если г непрерывна, то ω (г) = 0, так что ω (ж − г) = ω (ж). С другой стороны, ж можно сколь угодно близко аппроксимировать в L¹ непрерывным г. Затем, используя Неравенство Чебычева,

${\displaystyle m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,(f-g)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\,|f(x)-g(x)|>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.}$

Правую часть можно сделать сколь угодно малой, так что ω (ж) = 0 почти всюду.

Интегралы Пуассона L¹ функция ж удовлетворить^[44]

${\displaystyle \displaystyle {|T_{r}f|\leq f^{*}.}}$

Это следует из того Т_р ж как правило ж точечно почти везде. На самом деле пусть

${\displaystyle \displaystyle {\Omega (f)=\limsup _{r\rightarrow 1}|T_{r}f-f|.}}$

Если г непрерывна, то разность всюду стремится к нулю, поэтому Ω (ж − г) = Ω (ж). С другой стороны, ж можно сколь угодно близко аппроксимировать в L¹ непрерывным г. Затем, используя Неравенство Чебычева,

${\displaystyle m\{x:\,\Omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\Omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,(f-g)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\,|f(x)-g(x)|>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.}$

Правую часть можно сделать сколь угодно малой, так что Ω (ж) = 0 почти всюду. Более тонкий аргумент показывает, что сходимость происходит в каждой точке Лебега ж.

Если ж интегрируемо, сопряженные интегралы Пуассона определяются и задаются сверткой по ядру Q_р. Это определяет Hf внутри |z| <1. Показать, что Hf имеет радиальный предел почти для всех углов,^[45] рассматривать

${\displaystyle \displaystyle {F(z)=\exp(-f(z)-iHf(z)),}}$

где ж(z) обозначает продолжение ж интегралом Пуассона. F голоморфна в единичном круге с |F(z) | ≤ 1. Ограничение F счетному семейству концентрических окружностей дает последовательность функций из L^∞(Т) который имеет слабую г предел в L^∞(Т) с интегралом Пуассона F. Автор L² Результаты, г является радиальным пределом почти для всех углов F. Это следует из того Hf(z) имеет радиальный предел почти всюду. Это принято как определение Hf на Т, так что Т_рЧАС f поточечно стремится к ЧАС почти всюду. Функция Hf имеет слабую L¹ тип.^[46]

Неравенство, использованное выше для доказательства поточечной сходимости для L^п функция с 1 < п <∞ имеет смысл для L¹ функции, вызывая максимальную функцию. Неравенство становится

${\displaystyle \displaystyle {|H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf|\leq 4f^{*}.}}$

Позволять

${\displaystyle \displaystyle {\omega (f)=\limsup _{\varepsilon \rightarrow 0}|H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf|.}}$

Если г гладкая, то разность всюду стремится к нулю, поэтому ω (ж − г) = ω (ж). С другой стороны, ж можно сколь угодно близко аппроксимировать в L¹ гладкой г. потом

${\displaystyle m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,4(f-g)^{*}(x)>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.}$

Правую часть можно сделать сколь угодно малой, так что ω (ж) = 0 почти всюду. Таким образом, разница для ж почти везде стремится к нулю. Можно привести более тонкий аргумент^[47] чтобы показать, что, как и в случае L^п, разность стремится к нулю во всех точках Лебега ж. В сочетании с результатом для сопряженного интеграла Пуассона следует, что если ж находится в L¹(Т), тогда ЧАС_εж сходится к Hf почти везде - теорема, первоначально доказанная Приваловым в 1919 году.

Общая теория

Кальдерон и Зигмунд (1952) ввел общие методы изучения сингулярных интегральных операторов типа свертки. В преобразовании Фурье операторы задаются операторами умножения. Это даст ограниченные операторы на L² если соответствующая функция множителя ограничена. Чтобы доказать ограниченность на L^п пространства, Кальдерон и Зигмунд ввели метод разложения L¹ функции, обобщающие лемма восходящего солнца из Ф. Рис. Этот метод показал, что оператор определяет непрерывный оператор из L¹ в пространство функций слабого L¹. В Интерполяционная теорема Марцинкевича а из двойственности тогда следует, что сингулярный интегральный оператор ограничен на всех L^п для 1 < п <∞. Ниже описывается простой вариант этой теории для операторов на р. Так как де Леу (1965) показал, результаты на р можно вывести из соответствующих результатов для Т ограничивая множитель целыми числами или, что то же самое, периодизируя ядро ​​оператора. Соответствующие результаты для круга были первоначально установлены Марцинкевичем в 1939 году. Эти результаты обобщаются на р^п и Т^п. Они предоставляют альтернативный метод для демонстрации того, что преобразования Рисса, высшие преобразования Рисса и, в частности, преобразование Берлинга определяют ограниченные операторы на L^п пробелы.^[48]

Разложение Кальдерона-Зигмунда

Смотрите также: Лемма о восходящем солнце и Лемма Кальдерона – Зигмунда.

Позволять ж - неотрицательная интегрируемая или непрерывная функция на [а,б]. Позволять я = (а,б). Для любого открытого подынтервала J из [а,б], позволять ж_J обозначают среднее значение |ж| над J. Пусть α - положительная постоянная, большая, чем ж_я. Делить я на два равных интервала (без средней точки). Один из этих интервалов должен удовлетворять ж_J <α, поскольку их сумма равна 2ж_я так что меньше 2α. В противном случае интервал будет удовлетворять α ≤ ж_J <2α. Отбросьте такие интервалы и повторите процесс деления вдвое с оставшимся интервалом, отбрасывая интервалы, используя тот же критерий. Так можно продолжать бесконечно. Выброшенные интервалы не пересекаются, и их объединение представляет собой открытое множество Ω. Для очков Икс в дополнении они лежат во вложенном наборе интервалов, длина которых уменьшается до 0, и на каждом из которых среднее значение ж ограничено α. Если ж непрерывно эти средние имеют тенденцию к |ж(Икс) |, Если ж только интегрируемо, это верно только почти везде, так как это верно в Точки Лебега из ж посредством Теорема Лебега дифференцирования. Таким образом ж удовлетворяет |ж(х) | ≤ α почти всюду на Ω^c, дополнение к Ω. Позволять J_п быть набором отброшенных интервалов и определить "хорошую" функцию г от

${\displaystyle \displaystyle {g(x)=\chi _{J_{n}}(f)\,\,\,(x\in J_{n}),\,\,\,\,\,g(x)=f(x)\,\,\,(x\in \Omega ^{c}).}}$

По конструкции |г(Икс) | ≤ 2α почти всюду и

${\displaystyle \displaystyle {\|g\|_{1}\leq \|f\|_{1}.}}$

Объединение этих двух неравенств дает

${\displaystyle \displaystyle {\|g\|_{p}^{p}\leq (2\alpha )^{p-1}\|f\|_{1}.}}$

Определите "плохую" функцию б от б = ж − г. Таким образом б равен 0 вне Ω и равен ж минус его средний показатель J_п. Так что в среднем б на J_п равен нулю и

${\displaystyle \displaystyle {\|b\|_{1}\leq 2\|f\|_{1}.}}$

Более того, поскольку |б| ≥ α на Ω

${\displaystyle \displaystyle {m(\Omega )\leq \alpha ^{-1}\|f\|_{1}.}}$

Разложение

${\displaystyle \displaystyle {f(x)=g(x)+b(x)}}$

называется Разложение Кальдерона – Зигмунда.^[49]

Теорема о множителях

Смотрите также: Множитель (анализ Фурье) и Интерполяционная теорема Марцинкевича

Позволять K(Икс) - ядро, определенное на р {0} такие, что

${\displaystyle W(f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x|\geq \varepsilon }K(x)f(x)\,dx}$

существует как умеренное распределение для ж а Функция Шварца. Предположим, что преобразование Фурье Т ограничена, так что свертка на W определяет ограниченный оператор Т на L²(р). Тогда если K удовлетворяет Состояние Хёрмандера

${\displaystyle A=\sup _{y\neq 0}\int _{|x|\geq 2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx<\infty ,}$

тогда Т определяет ограниченный оператор на L^п для 1 < п <∞ и непрерывный оператор из L¹ в функции слабого типа L¹.^[50]

Фактически, с помощью аргумента интерполяции Марцинкевича и двойственности достаточно проверить, что если ж гладко компактной опоры, то

${\displaystyle m\{x:\,|Tf(x)|\geq 2\lambda \}\leq (2A+4\|T\|)\cdot \lambda ^{-1}\|f\|_{1}.}$

Возьмем разложение Кальдерона - Зигмунда ж как указано выше

${\displaystyle f(x)=g(x)+b(x)}$

с интервалами J_п и с α = λμ, где μ> 0. Тогда

${\displaystyle m\{x:\,|Tf(x)|\geq 2\lambda \}\leq m\{x:\,|Tg(x)|\geq \lambda \}+m\{x:\,|Tb(x)|\geq \lambda \}.}$

Срок для г можно оценить с помощью Неравенство Чебычева:

${\displaystyle m\{x:\,|Tg(x)|\geq 2\lambda \}\leq \lambda ^{-2}\|Tg\|_{2}^{2}\leq \lambda ^{-2}\|T\|^{2}\|g\|_{2}^{2}\leq 2\lambda ^{-1}\mu \|T\|^{2}\|f\|_{1}.}$

Если J* определяется как интервал с тем же центром, что и J но вдвое длиннее, срок б можно разбить на две части:

${\displaystyle m\{x:\,|Tb(x)|\geq \lambda \}\leq m\{x:\,x\notin \cup J_{n}^{*},\,\,\,|Tb(x)|\geq \lambda \}+m(\cup J_{n}^{*}).}$

Второй член легко оценить:

${\displaystyle m(\cup J_{n}^{*})\leq \sum m(J_{n}^{*})=2\sum m(J_{n})\leq 2\lambda ^{-1}\mu ^{-1}\|f\|_{1}.}$

Для оценки первого члена заметим, что

${\displaystyle b=\sum b_{n},\qquad b_{n}=(f-\mathbf {Av} _{J_{n}}(f))\chi _{J_{n}}.}$

Таким образом, по неравенству Чебычева:

${\displaystyle m\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},\,\,\,|Tb(x)|\geq \lambda \}\leq \lambda ^{-1}\int _{(\cup J_{m}^{*})^{c}}|Tb(x)|\,dx\leq \lambda ^{-1}\sum _{n}\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|Tb_{n}(x)|\,dx.}$

По построению интеграл от б_п над J_п равно нулю. Таким образом, если y_п это середина J_п, то по условию Хермандера:

${\displaystyle \int _{(J_{n}^{*})^{c}}|Tb_{n}(x)|\,dx=\int _{(J_{n}^{*})^{c}}\left|\int _{J_{n}}(K(x-y)-K(x-y_{n}))b_{n}(y)\,dy\right|\,dx\leq \int _{J_{n}}|b_{n}(y)|\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|K(x-y)-K(x-y_{n})|\,dxdy\leq A\|b_{n}\|_{1}.}$

Следовательно

${\displaystyle m\left\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},|Tb(x)|\geq \lambda \right\}\leq \lambda ^{-1}A\|b\|_{1}\leq 2A\lambda ^{-1}\|f\|_{1}.}$

Объединение трех оценок дает

${\displaystyle m\{x:\,|Tf(x)|\geq \lambda \}\leq \left(2\mu \|T\|^{2}+2\mu ^{-1}+2A\right)\lambda ^{-1}\|f\|_{1}.}$

Константу минимизируют, взяв

${\displaystyle \mu =\|T\|^{-1}.}$

Аргумент интерполяции Маркинкевича расширяет границы до любого L^п с 1 < п <2 следующим образом.^[51] Данный а > 0, напишите

${\displaystyle f=f_{a}+f^{a},}$

где ж_а = ж если |ж| < а и 0 в противном случае и ж^а = ж если |ж| ≥ а и 0 в противном случае. Тогда по неравенству Чебычева и слабому типу L¹ неравенство выше

${\displaystyle m\{x:\,|Tf(x)|>a\}\leq m\left\{x:\,|Tf_{a}(x)|>{\tfrac {a}{2}}\right\}+m\left\{x:\,|Tf^{a}(x)|>{\tfrac {a}{2}}\right\}\leq 4a^{-2}\|T\|^{2}\|f_{a}\|_{2}^{2}+Ca^{-1}\|f^{a}\|_{1}.}$

Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\|Tf\|_{p}^{p}&=p\int _{0}^{\infty }a^{p-1}m\{x:\,|Tf(x)|>a\}\,da\\&\leq p\int _{0}^{\infty }a^{p-1}\left(4a^{-2}\|T\|^{2}\|f_{a}\|_{2}^{2}+Ca^{-1}\|f^{a}\|_{1}\right)da\\&=4\|T\|^{2}\iint _{|f(x)|<a}|f(x)|^{2}a^{p-3}\,dx\,da+2C\iint _{|f(x)|\geq a}|f(x)|a^{p-2}\,dx\,da\\&\leq \left(4\|T\|^{2}(2-p)^{-1}+C(p-1)^{-1}\right)\int |f|^{p}\\&=C_{p}\|f\|_{p}^{p}.\end{aligned}}}$

По двойственности

${\displaystyle \|Tf\|_{q}\leq C_{p}\|f\|_{q}.}$

Преемственность норм можно показать более изощренным аргументом.^[52] или следует из Интерполяционная теорема Рисса – Торина..

Заметки

1. Торчинский 2004, стр. 65–66
2. Белл 1992, стр. 14–15
3. Кранц 1999
4. Торчинский 1986 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTorchinsky1986 (Помогите)
5. Штейн и Рами 2005, стр. 112–114 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSteinRami2005 (Помогите)
6. Увидеть:
   • Михлин и Прёссдорф 1986
   • Сегал 1981
   • Прессли и Сигал 1986
7. Гарнетт 2007, п. 102
8. Увидеть:
   • Девинац 1967
   • Розенблюм и Ровняк 1997
   • Розенблюм и Ровняк 1994
   • Никольский 1986
9. Штейн и Шакарчи 2005, стр. 213–221
10. Хёрмандер 1990
11. Титчмарш, 1939 и 102–105 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTitchmarsh1939102–105 (Помогите)
12. Увидеть:
    • Кранц 1999
    • Торчинский 1986 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTorchinsky1986 (Помогите)
    • Duoandikoetxea 2001, стр. 49–51
13. Штейн и Шакарчи 2005, стр. 112–114
14. Штайн и Вайс, 1971 г.
15. Астала, Иванец и Мартин 2009, стр. 101–102 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAstalaIvanieczMartin2009 (Помогите)
16. Графакос 2005 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFGrafakos2005 (Помогите)
17. Штайн и Вайс, 1971 г.
18. Штайн и Вайс, 1971 г., п. 51
19. Графакос 2008
20. Штайн и Вайс, 1971 г., стр. 222–223
21. Штайн и Вайс, 1971 г.
22. Астала, Иванец и Мартин 2009, стр. 93–95 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAstalaIwanieczMartin2009 (Помогите)
23. Астала, Иванец и Мартин 2009, стр. 97–98 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAstalaIwanieczMartin2009 (Помогите)
24. Графокос 2008, стр. 272–274 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFGrafokos2008 (Помогите)
25. Графакос 2008
26. Штайн и Вайс, 1971 г., стр. 222–223, 236–237
27. Штайн и Вайс, 1971 г.
28. Графакос 2005, п. 215−216 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFGrafakos2005 (Помогите)
29. Графакос 2005, п. 255−257 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFGrafakos2005 (Помогите)
30. Гохберг и Крупник, 1992 г., стр. 19–20
31. Увидеть:
    • Штайн и Вайс, 1971 г., стр. 12–13
    • Торчинский 2004
32. Торчинский 2005, стр. 41–42 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTorchinsky2005 (Помогите)
33. Кацнельсон 1968, стр. 10–21
34. Штейн, Шакарчи и 112-114 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSteinShakarchi112-114 (Помогите)
35. Гарнетт 2007, стр. 102–103
36. Кранц 1999
37. Торчинский 1986 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTorchinsky1986 (Помогите)
38. Штейн и Шакарчи 2005, стр. 112–114
39. Ариас де Рейна 2002
40. Дюрен 1970, стр. 8-10, 14
41. Смотрите также:
    • Торчинский 2005 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTorchinsky2005 (Помогите)
    • Графакос 2008
    • Кранц 1999
42. Кранц 1999, п. 71
43. Кацнельсон 1968, стр. 74–75
44. Кацнельсон 1968, п. 76
45. Кацнельсон 1968, п. 64
46. Кацнельсон 1968, п. 66
47. Кацнельсон 2004, стр. 78–79 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFKatznelson2004 (Помогите)
48. Увидеть:
    • Хёрмандер 1990
    • Торчинский 2005 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTorchinsky2005 (Помогите)
    • Графакос 2008
    • Штейн 1970
    • Штайн и Вайс, 1971 г., стр. 257–267
49. Торчинский 2005, стр. 74–76,84–85 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTorchinsky2005 (Помогите)
50. Графакос 2008, стр. 290–293
51. Хёрмандер 1990, п. 245
52. Торчинский 2005, стр. 87–91 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTorchinsky2005 (Помогите)

использованная литература

• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции о квазиконформных отображениях, Математические исследования Ван Ностранда, 10, Ван Ностранд
• Ариас де Рейна, Хуан (2002), Поточечная сходимость рядов Фурье., Конспект лекций по математике, 1785, Спрингер, ISBN  3540432701
• Астала, Кари; Иванец, Тадеуш; Мартин, Гавен (2009), Эллиптические уравнения в частных производных и квазиконформные отображения на плоскости, Принстонская математическая серия, 48, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-13777-3
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-X
• Кальдерон, Альберто; Зигмунд, Антони (1952 г.), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Math., 88: 85–139, Дои:10.1007 / bf02392130
• Кальдерон, Альберто (1966), «Сингулярные интегралы», Бык. Амер. Математика. Soc., 72: 427–465, Дои:10.1090 / s0002-9904-1966-11492-1
• де Леу, Карел (1965), "Он L^п множители », Анна. математики., 81: 364–379, Дои:10.2307/1970621
• Девинац, Аллен (1967), Об операторах Винера-Хопфа, Функциональный анализ (Proc. Conf., Ирвин, Калифорния, 1966), Academic Press, стр. 81–118.
• Duoandikoetxea, Хавьер (2001), Фурье-анализ, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2172-5
• Дюрен, П. (1970), Теория H^п-Пространства, Академическая пресса
• Гарнетт, Джон Б. (2007), Ограниченные аналитические функции, Тексты для выпускников по математике, 236, Спрингер, ISBN  978-0-387-33621-3
• Гохберг, Израиль; Крупник, Наум (1968), "Норма преобразования Гильберта в L_п Космос", Функц. Анальный. Appl., 2: 180–181, Дои:10.1007 / BF01075955
• Гохберг, Израиль; Крупник, Наум (1992), Одномерные линейные сингулярные интегральные уравнения, I. Введение., Теория операторов: достижения и приложения, 53, Биркхойзер, ISBN  3-7643-2584-4
• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-09431-1
• Хёрмандер, Ларс (1960), "Оценки трансляционно-инвариантных операторов в L^п пробелы ", Acta Mathematica, 104: 93–140, Дои:10.1007 / bf02547187
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных, I. Теория распределений и анализ Фурье. (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-X
• Иванец, Тадеуш; Мартин, Гавен (1996), "Преобразования Рисса и связанные с ними сингулярные интегралы", J. Reine Angew. Математика., 473: 25–57
• Кацнельсон, Ицхак (1968), Введение в гармонический анализ (2-е изд.), Dover Publications, ISBN  9780486633312
• Кранц, Стивен Г. (1999), Панорама гармонического анализа, Математические монографии Каруса, 27, Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-031-1
• Матеу, Жанна; Вердера, Джоан (2006), "L^п и слабый L¹ оценки максимального преобразования Рисса и максимального преобразования Берлинга », Математика. Res. Lett., 13: 957–966, arXiv:математика / 0603077, Дои:10.4310 / mrl.2006.v13.n6.a10
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 83, Pergamon Press
• Михлин, Соломон Г.; Prössdorf, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы, Springer-Verlag, ISBN  3-540-15967-3
• Никольский, Н. К. (1986), Трактат об операторе смены. Теория спектральных функций, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 273, Springer-Verlag, ISBN  3-540-15021-8
• Прессли, Эндрю; Сегал, Грэм (1986), Группы петель, Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-853535-X
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1997), Классы Харди и теория операторов, Дувр, ISBN  0-486-69536-0
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994), Темы в классах Харди и однолистных функциях, Биркхойзер, ISBN  3-7643-5111-X
• Сигал, Грэм (1981), "Унитарные представления некоторых бесконечномерных групп", Comm. Математика. Phys., 80: 301–342, Bibcode:1981CMaPh..80..301S, Дои:10.1007 / bf01208274
• Штейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и дифференцируемость функций., Princeton University Press
• Stein, Elías M .; Вайс, Гвидо Л. (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Издательство Принстонского университета, ISBN  069108078X
• Stein, Elias M .; Шакарчи, Рами (2005), Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства, Принстонские лекции по анализу, 3, Издательство Принстонского университета, ISBN  0691113866
• Титчмарш, Э. (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN  0198533497
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе, Дувр, ISBN  0-486-43508-3
• Векуа, И. Н. (1962), Обобщенные аналитические функции, Pergamon Press
• Зигмунд, Антони (1977), Тригонометрический ряд. Vol. I, II (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-07477-0
• Зигмунд, Антони (1971), Intégrales singulières, Конспект лекций по математике, 204, Springer-Verlag