Главное значение Коши - Cauchy principal value

Эта статья посвящена способу присвоения значений несобственным интегралам. Для значений сложной функции, связанной с одной ветвью, см. Главное значение. Для части отрицательной мощности Серия Laurent, увидеть Основная часть.

В математика, то Главное значение Коши, названный в честь Огюстен Луи Коши, это метод присвоения значений определенным несобственные интегралы который иначе не был бы определен.

Формулировка

В зависимости от типа необычность в подынтегральном выражении е, главное значение Коши определяется в соответствии со следующими правилами:

(1) Для особенности на конечном числе б :

${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]}$

с   а < б < c   и где б - сложная точка, в которой поведение функции ж таково, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad }$ для любого а < б и

${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad }$ для любого c > б .

(Видеть плюс или минус для точного использования обозначений ± и.)

(2) Для особенности на бесконечности:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$

где ${\displaystyle ~\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty ~}$

и ${\displaystyle ~\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty ~.}$

В некоторых случаях приходится иметь дело с особенностями одновременно как на конечном числе б и в бесконечности. Обычно это делается с помощью ограничения формы

${\displaystyle \lim _{\;\eta \rightarrow 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]~.}$

В тех случаях, когда интеграл может быть разбит на два независимых конечных предела,

${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\;\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty \quad }$ и ${\displaystyle \quad \lim _{\;\eta \rightarrow 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ~,}$

конечный результат тот же, но больше не соответствует определению и технически не называется «основным значением».

Главное значение Коши можно также определить в терминах контурные интегралы комплекснозначной функции ж(z) : z = Икс + я у, Икс, у ∈ ℝ , с шестом по контуру C. Определить C(ε) быть таким же контуром, где участок внутри диска радиуса ε вокруг столба был удален. При условии функции ж(z) интегрируем по C(ε) неважно насколько маленький ε становится, то главное значение Коши является пределом:^[1]

${\displaystyle \mathrm {P} \int _{C}f(z)\ \mathrm {d} z=\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\ \mathrm {d} z~.}$

На случай, если Интегрируемый по Лебегу функции, то есть функции, которые интегрируются в абсолютная величина эти определения совпадают со стандартным определением интеграла.

Если функция ж(z) является мероморфный, то Теорема Сохоцкого – Племеля. связывает главное значение интеграла по C со средним значением интегралов при небольшом смещении контура вверх и вниз, так что теорема о вычетах можно применить к этим интегралам.

Интегралы главного значения играют центральную роль в обсуждении Преобразования Гильберта.^[2]

Теория распределения

Позволять ${\displaystyle {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$ быть набором функции удара, т.е. пространство гладкие функции с компактная опора на реальная линия ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тогда карта

${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$

определяется через главное значение Коши как

${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$

это распространение. Саму карту иногда можно назвать основная стоимость (отсюда обозначение p.v.). Это распределение появляется, например, в преобразовании Фурье Функция знака и Ступенчатая функция Хевисайда.

Четкость как распределение

Чтобы доказать существование предела

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$

для Функция Шварца ${\displaystyle u(x)}$, сначала заметьте, что ${\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}$ продолжается на ${\displaystyle [0,\infty )}$, так как

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}u(x)-u(-x)=0}$ и, следовательно

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}=2u'(0),}$

поскольку ${\displaystyle u'(x)}$ непрерывно и Правило L'Hospital применяется.

Следовательно, ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$ существует и применяя теорема о среднем значении к ${\displaystyle u(x)-u(-x)}$мы получаем это

${\displaystyle \left|\int _{0}^{1}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{0}^{1}{\frac {|u(x)-u(-x)|}{x}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{1}{\frac {2x}{x}}\sup _{x\in \mathbb {R} }|u'(x)|\,\mathrm {d} x\leq 2\sup _{x\in \mathbb {R} }|u'(x)|.}$

Кроме того,

${\displaystyle \left|\int _{1}^{\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\right|\leq 2\sup _{x\in \mathbb {R} }|x\cdot u(x)|\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=2\sup _{x\in \mathbb {R} }|x\cdot u(x)|,}$

отметим, что карта ${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$ ограничена обычными полунормами для Функции Шварца ${\displaystyle u}$. Следовательно, это отображение, поскольку оно очевидно линейно, определяет непрерывный функционал на Пространство Шварца и поэтому умеренное распределение.

Обратите внимание, что для доказательства требуется ${\displaystyle u}$ просто быть непрерывно дифференцируемым в окрестности ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle xu}$ быть ограниченным к бесконечности. Таким образом, главное значение определяется на основе еще более слабых предположений, таких как ${\displaystyle u}$ интегрируемый с компактным носителем и дифференцируемый в 0.

Более общие определения

Главное значение - это обратное распределение функции ${\displaystyle x}$ и это почти единственный дистрибутив с таким свойством:

${\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}$

где ${\displaystyle K}$ является константой и ${\displaystyle \delta }$ распределение Дирака.

В более широком смысле главное значение можно определить для широкого класса сингулярный интеграл ядра на евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Если ${\displaystyle K}$ имеет изолированную особенность в начале координат, но в остальном является "хорошей" функцией, то распределение главных значений определяется на гладких функциях с компактным носителем формулой

${\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}$

Такой предел не может быть четко определен или, будучи четко определенным, не обязательно определяет распределение. Однако это хорошо определено, если ${\displaystyle K}$ является непрерывным однородная функция степени ${\displaystyle -n}$ интеграл которого по любой сфере с центром в нуле равен нулю. Так обстоит дело, например, с Преобразование Рисса.

Примеры

Рассмотрим значения двух пределов:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}$

Это главное значение Коши для иначе некорректно определенного выражения

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$

Также:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}$

Аналогично имеем

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}$

Это главное значение иначе неопределенного выражения

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$

но

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$

Обозначение

Разные авторы используют разные обозначения главного значения Коши функции. ${\displaystyle f}$, среди прочего:

${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}$

${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$

а также ${\displaystyle P,}$ П.В., ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle P_{v},}$ ${\displaystyle (CPV),}$ и В.

Смотрите также

• Конечный интеграл Адамара
• Преобразование Гильберта
• Теорема Сохоцкого – Племеля.

Рекомендации

1. Канвал, Рам П. (1996). Линейные интегральные уравнения: теория и техника (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. п. 191. ISBN  0-8176-3940-3 - через Google Книги.
2. Кинг, Фредерик В. (2009). Преобразования Гильберта. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88762-5.