Тригонометрический ряд - Trigonometric series

Эта статья о математической концепции. О книге Зигмунда см. Тригонометрический ряд.

В математике тригонометрический ряд это серии формы:

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx}).}$

Это называется Ряд Фурье если условия ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{n}}$ имеют вид:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\qquad (n=0,1,2,3\dots )}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\qquad (n=1,2,3,\dots )}$

куда ${\displaystyle f}$ является интегрируемая функция.

Нули тригонометрического ряда

Уникальность и нули тригонометрических рядов были активной областью исследований в Европе 19 века. Первый, Георг Кантор доказал, что если тригонометрический ряд сходится к функции ${\displaystyle f(x)}$ на интервале ${\displaystyle [0,2\pi ]}$, который тождественно равен нулю или, в более общем смысле, отличен от нуля не более чем в конечном числе точек, то все коэффициенты ряда равны нулю.^[1]

Позднее Кантор доказал, что даже если множество S на котором ${\displaystyle f}$ отлично от нуля бесконечно, но производный набор S ' из S конечно, то все коэффициенты равны нулю. Фактически, он доказал более общий результат. Позволять S₀ = S и разреши S_{к + 1} быть производный набор из S_k. Если есть конечное число п для которого S_п конечно, то все коэффициенты равны нулю. Позже Лебег доказал, что если существует счетно бесконечное порядковый α такой, что S_α конечна, то все коэффициенты ряда равны нулю. Известно, что работа Кантора над проблемой уникальности привела его к изобретению трансфинитный порядковые номера, которые появились как индексы α в S_α .^[2]

Рекомендации

1. [1]
2. Кук, Роджер (1993), "Уникальность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985", Архив истории точных наук, 45 (4): 281–334, Дои:10.1007 / BF01886630.