Серия Грандис - Grandis series

В математика, то бесконечная серия 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, также написано

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

иногда называют Серия Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди, давший памятную трактовку серии в 1703 году. расходящийся ряд, что означает отсутствие суммы в обычном понимании. С другой стороны, это Сумма Чезаро составляет 1/2.

Нелегкие методы

Один очевидный способ атаковать сериал

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

относиться к нему как к телескопическая серия и выполняем вычитания на месте:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

С другой стороны, подобная процедура заключения в скобки приводит к явно противоречивому результату.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Таким образом, применяя круглые скобки к ряду Гранди различными способами, можно получить либо 0, либо 1 в качестве «значения». (Вариации этой идеи, названные Мошенничество Эйленберга-Мазура, иногда используются в теория узлов и алгебра.)

Рассматривая серию Гранди как расходящийся геометрический ряд и используя те же алгебраические методы, которые оценивают сходящиеся геометрические ряды для получения третьего значения:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + ..., поэтому

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + ...) = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = S

1 − S = S

1 = 2S,

в результате чего S = 1/2. Тот же вывод следует из расчета -S, вычитая результат из S, и решая 2S = 1.^[1]

Приведенные выше манипуляции не учитывают, что на самом деле означает сумма ряда и как указанные алгебраические методы могут быть применены к расходящийся геометрический ряд. Тем не менее, в той мере, в какой важно иметь возможность произвольно брать в скобки ряды и что еще важнее уметь выполнять с ними арифметические операции, можно прийти к двум выводам:

• Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... не имеет суммы.^[1][2]
• ... но его сумма должен быть 1/2.^[2]

Фактически, оба эти утверждения можно сделать точными и формально доказать, но только с использованием четко определенных математических концепций, возникших в 19 веке. После конца 17 века введение исчисления в Европе, но до появления современных строгость, напряжение между этими ответами разжигало то, что было охарактеризовано как "бесконечный" и "жестокий" спор между математики.^[3][4]

Отношение к геометрическому ряду

На любой номер ${\displaystyle r}$ в интервале ${\displaystyle (-1,1)}$, то сумма до бесконечности геометрического ряда можно оценить через

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}.}$

Для любого ${\displaystyle \varepsilon \in (0,2)}$, таким образом, можно найти

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{1-(-1+\varepsilon )}}={\frac {1}{2-\varepsilon }},}$

и так предел ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ оценок серии

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{2}}.}$

Однако, как уже упоминалось, ряд, полученный переключением пределов,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

расходится.

С точки зрения комплексный анализ, ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ таким образом рассматривается как значение при ${\displaystyle z=-1}$ из аналитическое продолжение из серии ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}z^{n}}$, который определен только на сложном единичном диске, ${\displaystyle |z|<1}$.

Ранние идеи

Основная статья: История серии Гранди

Расхождение

В современной математике сумма бесконечного ряда определяется как предел последовательности его частичные суммы, если он существует. Последовательность частичных сумм ряда Гранди равна 1, 0, 1, 0, ..., который явно не приближается ни к какому числу (хотя у него есть два очки накопления при 0 и 1). Следовательно, серия Гранди расходящийся.

Можно показать, что выполнение многих, казалось бы, безобидных операций над серией, таких как изменение порядка отдельных терминов, недопустимо, если только серия не абсолютно сходящийся. В противном случае эти операции могут изменить результат суммирования.^[5] Кроме того, члены ряда Гранди могут быть переставлены так, чтобы точки накопления лежали в любом интервале двух или более последовательных целых чисел, а не только 0 или 1. Например, ряд

${\displaystyle 1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots }$

(в котором после пяти начальных +1 членов члены чередуются попарно из +1 и -1 членов) является перестановка ряда Гранди, в котором каждое значение в преобразованном ряду соответствует значению, отстоящему не более чем на четыре позиции от него в исходном ряду; его точки накопления - 3, 4 и 5.

Образование

Познавательное воздействие

Примерно в 1987 году Анна Серпинская представила серию Гранди группе 17-летних студентов, изучающих предварительные вычисления, в Варшава лицей. Она сосредоточилась на студентах-гуманитариях, ожидая, что их математический опыт будет менее значительным, чем у их сверстников, изучающих математику и физику, поэтому эпистемологический препятствия, которые они создают, будут более репрезентативными май по-прежнему присутствуют лицеисты.

Первоначально Серпинская ожидала, что ученики откажутся приписывать ценность серии Гранди, и в этот момент она могла шокировать их, заявив, что 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ¹⁄₂ в результате формулы геометрического ряда. В идеале, ища ошибку в рассуждениях и исследуя формулы для различных общих соотношений, ученики «заметили бы, что есть два вида рядов и родится неявная концепция сходимости». Однако студенты не были шокированы, когда им сказали, что 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ¹⁄₂ или даже это 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = −1. Серпинская отмечает, что априори, реакция студентов не должна быть слишком удивительной, учитывая, что Лейбниц и Гранди думали ¹⁄₂ быть правдоподобным результатом;

«Апостериори, однако, объяснение отсутствия шока со стороны студентов может несколько отличаться. Они спокойно приняли абсурд, потому что, в конце концов,« математика полностью абстрактна и далека от реальности », и« с этими математическими трансформации, вы можете доказать всякую чепуху », как позже сказал один из мальчиков".

В конечном счете, студенты не были защищены от вопроса о сближении; Серпинской удалось вовлечь их в проблему, связав ее с десятичными разложениями на следующий день. Как только 0.999... = 1 застала студентов врасплох, остальной ее материал «прошел мимо их ушей».^[6]

Предубеждения

В другом исследовании, проведенном в Тревизо, Италия около 2000 года, третий и четвертый год Liceo Scientifico ученикам (от 16 до 18 лет) были розданы карточки с вопросами:

«В 1703 году математик Гвидо Гранди изучил сложение: 1 - 1 + 1 - 1 + ... (бесконечно много слагаемых всегда равны +1 и –1). Что вы думаете об этом?»

Студентам была представлена ​​идея бесконечного множества, но у них не было опыта работы с бесконечными сериями. Им дали десять минут без книг и калькуляторов. 88 ответов были разделены на следующие категории:

(26) результат 0

(18) результат может быть либо 0, либо 1

(5) результата не существует

(4) результат ¹⁄₂

(3) результат 1

(2) результат бесконечен

(30) нет ответа

Исследователь Джорджио Баньи опросил нескольких студентов, чтобы определить их рассуждения. Примерно 16 из них обосновали ответ 0, используя логику, аналогичную логике Гранди и Риккати. Другие оправданы ¹⁄₂ как среднее значение 0 и 1. Багни отмечает, что их рассуждения, хотя и сходные с рассуждениями Лейбница, не имеют вероятностной основы, которая была так важна для математики 18 века. Он приходит к выводу, что эти ответы соответствуют связи между историческим развитием и индивидуальным развитием, хотя культурный контекст различен.^[7]

Перспективы

Джоэл Леманн описывает процесс различения между различными концепциями сумм как построение моста через концептуальную трещину: путаницу по поводу расхождения, преследовавшую математику 18-го века.

«Поскольку ряды обычно представлены без истории и отдельно от приложений, ученик должен задаться вопросом не только:« Что это такое? », Но и« Почему мы это делаем? ». Озабоченность определением сходимости, но не суммой заставляет весь процесс казаться искусственный и бессмысленный для многих студентов, а также преподавателей ".

В результате у многих студентов развивается установка, аналогичная позиции Эйлера:

«... проблемы, которые возникают естественным образом (т. е. из природы), действительно имеют решения, поэтому предположение о том, что в конечном итоге все получится, подтверждается экспериментально без необходимости каких-либо доказательств существования. решение работает, вы, вероятно, были правы или, по крайней мере, достаточно правы ... так зачем беспокоиться о деталях, которые появляются только в домашних заданиях? "

Леманн рекомендует ответить на это возражение тем же примером, который был выдвинут Каллетом против трактовки Эйлером ряда Гранди.^{[требуется разъяснение ]}

Суммируемость

Основная статья: Подведение итогов серии Гранди

Связанные проблемы

Основная статья: Вхождения в серию Гранди

Серии 1-2 + 3-4 + 5-6 + 7-8 + .... (вплоть до бесконечность) также расходится, но можно использовать некоторые методы, чтобы суммировать его до¹⁄₄. Это квадрат значения, которое большинство методов суммирования присваивает ряду Гранди, что разумно, поскольку его можно рассматривать как Продукт Коши двух экземпляров серии Гранди.

Смотрите также

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• Рамануджан суммирование
• Чезаро суммирование
• Лампа Томсона
• Мошенничество Эйленберга-Мазура

Примечания

1. Девлин стр.77
2. Дэвис стр.152
3. Клайн 1983 г. с.307
4. Кнопп с.457
5. Protter, Murray H .; Морри, Чарльз Б., младший (1991), Первый курс реального анализа, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 249, ISBN  9780387974378.
6. Серпинская, стр. 371–378.
7. Bagni стр. 6–8

Рекомендации

• Баньи, Джорджио Т. (30 июня 2005 г.). «Бесконечные серии от истории до математического образования» (PDF). Международный журнал преподавания и обучения математике. Архивировано из оригинал (PDF) 29 декабря 2006 г.
• Дэвис, Гарри Ф. (май 1989 г.). Ряды Фурье и ортогональные функции.. Дувр. ISBN  978-0-486-65973-2.
• Девлин, Кит (1994). Математика, наука о закономерностях: поиск порядка в жизни, разуме и Вселенной. Научная американская библиотека. ISBN  978-0-7167-6022-1.
• Клайн, Моррис (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и бесконечный ряд». Математический журнал. 56 (5): 307–314. CiteSeerX  10.1.1.639.6923. Дои:10.2307/2690371. JSTOR  2690371.
• Кнопп, Конрад (1990) [1922]. Теория и применение бесконечных рядов. Дувр. ISBN  978-0-486-66165-0.
• Хобсон, Э. У. (1907). Теория функций действительного переменного и теория рядов Фурье. Собрание исторической математики Мичиганского университета: Издательство Кембриджского университета. Раздел 331.
• Леманн, Джоэл (1995). «Сходящиеся концепции ряда: уроки истории». Учитесь у мастеров. ISBN  0-88385-703-0.
• Серпинская, Анна (ноябрь 1987 г.). «Студенты-гуманитарии и эпистемологические препятствия, связанные с ограничениями». Образовательные исследования по математике. 18 (4): 371–396. Дои:10.1007 / BF00240986. JSTOR  3482354.
• Уиттакер, Э. Т.; Уотсон, Г.Н. (1962). Курс современного анализа (4-е, переизд. Ред.). Издательство Кембриджского университета. § 2.1.

внешняя ссылка

• Один минус один плюс один минус один - Numberphile, Серия Гранди