Условная сходимость - Conditional convergence

В математика, а серии или же интеграл как говорят условно сходящийся если сходится, но не сходятся абсолютно.

Определение

Точнее серия ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ говорят сходятся условно если ${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$ существует и является конечным числом (не ∞ или −∞), но ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$

Классический пример - чередующийся ряд данный

$${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n},}$$

который сходится к ${\displaystyle \ln(2)}$, но не совсем сходится (см. Гармонический ряд ).

Бернхард Риманн доказал, что условно сходящийся ряд переставил вообще сходиться к любому значению, включая ∞ или −∞; видеть Теорема рядов Римана. В Теорема Леви – Стейница. определяет набор значений, к которым ряд терминов в р^п может сходиться.

Типичный условно сходящийся интеграл - это интеграл на неотрицательной действительной оси ${\textstyle \sin(x^{2})}$ (видеть Интеграл Френеля ).

Смотрите также

• Абсолютная конвергенция
• Безусловная сходимость

Рекомендации

• Вальтер Рудин, Принципы математического анализа (Макгроу-Хилл: Нью-Йорк, 1964).