Лауричелла гипергеометрический ряд - Lauricella hypergeometric series

В 1893 г. Джузеппе Лауричелла определены и изучены четыре гипергеометрический ряд F_А, F_B, F_C, F_D трех переменных. Они есть (Лауричелла 1893 ):

${\displaystyle F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

для |Икс₁| + |Икс₂| + |Икс₃| <1 и

${\displaystyle F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

для |Икс₁| < 1, |Икс₂| < 1, |Икс₃| <1 и

${\displaystyle F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

для |Икс₁|^½ + |Икс₂|^½ + |Икс₃|^½ <1 и

${\displaystyle F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

для |Икс₁| < 1, |Икс₂| < 1, |Икс₃| <1. Здесь Символ Поххаммера (q)_я указывает на я-й восходящий факториал q, т.е.

${\displaystyle (q)_{i}=q\,(q+1)\cdots (q+i-1)={\frac {\Gamma (q+i)}{\Gamma (q)}}~,}$

где второе равенство верно для всех сложных ${\displaystyle q}$ Кроме ${\displaystyle q=0,-1,-2,\ldots }$.

Эти функции могут быть расширены на другие значения переменных Икс₁, Икс₂, Икс₃ посредством аналитическое продолжение.

Лауричелла также указал на существование еще десяти гипергеометрических функций трех переменных. Они были названы F_E, F_F, ..., F_Т и изучен Шанти Сараном в 1954 г. (Саран 1954 ). Таким образом, всего существует 14 гипергеометрических функций Лауричеллы – Саран.

Обобщение на п переменные

Эти функции могут быть легко расширены до п переменные. Например один пишет

${\displaystyle F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\cdots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\cdots (c_{n})_{i_{n}}\,i_{1}!\cdots \,i_{n}!}}\,x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}~,}$

где |Икс₁| + ... + |Икс_п| <1. Эти обобщенные ряды также иногда называют функциями Лауричеллы.

Когда п = 2 функции Лауричеллы соответствуют Аппель гипергеометрический ряд двух переменных:

${\displaystyle F_{A}^{(2)}\equiv F_{2},\quad F_{B}^{(2)}\equiv F_{3},\quad F_{C}^{(2)}\equiv F_{4},\quad F_{D}^{(2)}\equiv F_{1}.}$

Когда п = 1, все четыре функции сводятся к Гипергеометрическая функция Гаусса:

${\displaystyle F_{A}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{B}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{C}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{D}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {_{2}}F_{1}(a,b;c;x).}$

Интегральное представление F_D

По аналогии с Функция Аппеля F₁, Лауричеллы F_D можно записать в виде одномерного Эйлер -тип интеграл на любой номер п переменных:

${\displaystyle F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_{1}t)^{-b_{1}}\cdots (1-x_{n}t)^{-b_{n}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Re} c>\operatorname {Re} a>0~.}$

Это представление легко проверить с помощью Расширение Тейлора подынтегрального выражения с последующим почленным интегрированием. Из представления следует, что неполный эллиптический интеграл Π - частный случай функции Лауричеллы F_D с тремя переменными:

${\displaystyle \Pi (n,\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\sin(\phi )\,F_{D}^{(3)}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};n\sin ^{2}\phi ,\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\qquad |\operatorname {Re} \phi |<{\frac {\pi }{2}}~.}$

Конечные решения F_D

Случай 1 : ${\displaystyle a>c}$, ${\displaystyle a-c}$ целое число

Можно связать F_D к Карлсон Р функция ${\displaystyle R_{n}}$ через

${\displaystyle F_{D}(a,{\overline {b}},c,{\overline {z}})=R_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}={\frac {\Gamma (a-c+1)\Gamma (b^{*})}{\Gamma (a-c+b^{*})}}\cdot D_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}}$

с итерационной суммой

${\displaystyle D_{n}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}^{*}\cdot (z_{i}^{*})^{k}\right)\cdot D_{k-i}}$ и ${\displaystyle D_{0}=1}$

где можно использовать, что функция Carlson R с ${\displaystyle n>0}$ имеет точное представление (см. ^[1] для дополнительной информации).

Векторы определены как

${\displaystyle {\overline {b^{*}}}=[{\overline {b}},c-\sum _{i}b_{i}]}$

${\displaystyle {\overline {z^{*}}}=[{\frac {1}{1-z_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{1-z_{N-1}}},1]}$

где длина ${\displaystyle {\overline {z}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ является ${\displaystyle N-1}$, а векторы ${\displaystyle {\overline {z^{*}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b^{*}}}}$ иметь длину ${\displaystyle N}$.

Случай 2: ${\displaystyle c>a}$, ${\displaystyle c-a}$ целое число

В этом случае также существует известная аналитическая форма, но ее довольно сложно записать и включает в себя несколько шагов. ^[2] для дополнительной информации.

Рекомендации

1. Глюзенкамп, Т. (2018). «Вероятностная обработка неопределенности от конечного размера взвешенных данных Монте-Карло». EPJ Plus. 133 (6): 218. arXiv:1712.01293. Дои:10.1140 / epjp / i2018-12042-x.
2. Tan, J .; Чжоу, П. (2005). «О представлении конечной суммы функций Лауричеллы FD». AICM. 23 (4): 333. Дои:10.1007 / s10444-004-1838-0.

• Аппель, Пол; Кампе де Фериет, Жозеф (1926). Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (На французском). Париж: Готье-Виллар. JFM  52.0361.13. (см. стр.114)
• Экстон, Гарольд (1976). Множественные гипергеометрические функции и приложения. Математика и ее приложения. Чичестер, Великобритания: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN  0-470-15190-0. МИСТЕР  0422713.
• Лауричелла, Джузеппе (1893 г.). "Sulle funzioni ipergeometriche a pi variabili". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском). 7 (S1): 111–158. Дои:10.1007 / BF03012437. JFM  25.0756.01.
• Саран, Шанти (1954). «Гипергеометрические функции трех переменных». Ганита. 5 (1): 77–91. ISSN  0046-5402. МИСТЕР  0087777. Zbl  0058.29602. (исправление 1956 г. в Ганита 7, п. 65)
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-06483-X. МИСТЕР  0201688. (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN  978-0-521-09061-2)
• Шривастава, Хари М .; Карлссон, Пер В. (1985). Кратные гипергеометрические ряды Гаусса. Математика и ее приложения. Чичестер, Великобритания: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN  0-470-20100-2. МИСТЕР  0834385. (есть еще одно издание с ISBN  0-85312-602-X)

• Рональд М. Аартс. «Функции Лауричеллы». MathWorld.