Среднее значение Дирихле - Dirichlet average

Средние значения Дирихле являются средними значениями функций под Плотность Дирихле. Важным из них являются средние Дирихле с определенной структурой аргументов, а именно:

${\displaystyle F(\mathbf {b} ;\mathbf {z} )=\int f(\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )\,d\mu _{b}(\mathbf {u} ),}$

куда ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {z} =\sum _{i}^{N}u_{i}\cdot z_{i}}$ и ${\displaystyle d\mu _{b}(\mathbf {u} )=u_{1}^{b_{1}-1}\cdots u_{N}^{b_{N}-1}d\mathbf {u} }$ - мера Дирихле размерностиN. Они были введены математиком Биллом К. Карлсоном в 70-х годах, который заметил, что простое понятие этого типа усреднения обобщает и объединяет многие специальные функции, в том числе обобщенные функции. гипергеометрические функции или различные ортогональные многочлены:^[1]. Они также играют важную роль в решении эллиптические интегралы (видеть Симметричная форма Карлсона ) и связаны со статистическими приложениями различными способами, например, в Байесовский анализ.^[2]

Известные средние значения Дирихле

Некоторые средние Дирихле настолько фундаментальны, что названы. Некоторые из них перечислены ниже.

R-функция

R-функция (Карлсона) представляет собой среднее значение Дирихле ${\displaystyle x^{n}}$,

${\displaystyle R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )=\int (\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )^{n}\,d\mu _{b}(\mathbf {u} )}$

с ${\displaystyle n}$. Иногда ${\displaystyle R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )}$ также обозначается ${\displaystyle R(-n;\mathbf {b} ,\mathbf {z} )}$.

Точные решения:

За ${\displaystyle n\geq 0,n\in \mathbb {N} }$ можно записать точное решение в виде итерационной суммы^[3]

${\displaystyle R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (b)}{\Gamma (b+n)}}\cdot D_{n}{\text{ with }}D_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}\cdot z_{i}^{k}\right)\cdot D_{n-k}}$

куда ${\displaystyle D_{0}=1}$, ${\displaystyle N}$ это размер ${\displaystyle \mathbf {b} }$ или же ${\displaystyle \mathbf {z} }$ и ${\displaystyle b=\sum b_{i}}$.

S-функция

S-функция (Карлсона) - это среднее значение Дирихле ${\displaystyle e^{x}}$,

${\displaystyle S(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )=\int \exp(\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )\,d\mu _{b}(\mathbf {u} ).}$

Рекомендации

1. Карлсон, Б. (1977). Специальные функции прикладной математики.
2. Дики, Дж. М. (1983). «Множественные гипергеометрические функции: вероятностные интерпретации и статистическое использование». Журнал Американской статистической ассоциации. 78 (383): 628. Дои:10.2307/2288131.
3. Глюзенкамп, Т. (2018). «Вероятностная обработка неопределенности от конечного размера взвешенных данных Монте-Карло». EPJ Plus. 133 (6): 218. arXiv:1712.01293. Дои:10.1140 / epjp / i2018-12042-x.