Гипергеометрическая функция матричного аргумента - Hypergeometric function of a matrix argument

В математика, то гипергеометрическая функция аргумента матрицы является обобщением классической гипергеометрический ряд. Это функция, определяемая бесконечным суммированием, которую можно использовать для вычисления некоторых многомерных интегралов.

Гипергеометрические функции матричного аргумента находят применение в теория случайных матриц. Например, распределения крайних собственных значений случайных матриц часто выражаются через гипергеометрическую функцию аргумента матрицы.

Определение

Позволять ${\displaystyle p\geq 0}$ и ${\displaystyle q\geq 0}$ быть целыми числами, и пусть${\displaystyle X}$ быть ${\displaystyle m\times m}$ комплексная симметричная матрица, тогда гипергеометрическая функция аргумента матрицы ${\displaystyle X}$и параметр ${\displaystyle \alpha >0}$ определяется как

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot C_{\kappa }^{(\alpha )}(X),}$

куда ${\displaystyle \kappa \vdash k}$ средства ${\displaystyle \kappa }$ это раздел из ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle (a_{i})_{\kappa }^{(\alpha )}}$ это Обобщенный символ Поххаммера, и ${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)}$ является "C" нормализацией Функция Джека.

Два аргумента матрицы

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ два ${\displaystyle m\times m}$ сложных симметричных матриц, то гипергеометрическая функция двух аргументов матрицы определяется как:

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot {\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)C_{\kappa }^{(\alpha )}(Y)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},}$

куда ${\displaystyle I}$ это единичная матрица размера ${\displaystyle m}$.

Не типичная функция аргумента матрицы

В отличие от других функций аргумента матрицы, таких как матричная экспонента, которые являются матричнозначными, гипергеометрическая функция (одного или двух) матричных аргументов является скалярнозначной.

Параметр ${\displaystyle \alpha }$

Во многих публикациях параметр ${\displaystyle \alpha }$ опущено. Также в разных публикациях разные значения ${\displaystyle \alpha }$ подразумеваются неявно. Например, в теории реальных случайных матриц (см., Например, Muirhead, 1984), ${\displaystyle \alpha =2}$ тогда как в других условиях (например, в сложном случае - см. Gross and Richards, 1989), ${\displaystyle \alpha =1}$. Что еще хуже, в теории случайных матриц исследователи предпочитают параметр, называемый ${\displaystyle \beta }$ вместо ${\displaystyle \alpha }$ который используется в комбинаторике.

Следует помнить, что

${\displaystyle \alpha ={\frac {2}{\beta }}.}$

Следует обратить внимание на то, использует ли конкретный текст параметр ${\displaystyle \alpha }$ или же ${\displaystyle \beta }$ и какое конкретное значение этого параметра.

Обычно в настройках, включающих реальные случайные матрицы, ${\displaystyle \alpha =2}$ и поэтому ${\displaystyle \beta =1}$. В настройках, включающих сложные случайные матрицы, ${\displaystyle \alpha =1}$ и ${\displaystyle \beta =2}$.

Рекомендации

• К. И. Гросс и Д. Сент-П. Ричардс, "Полная положительность, сферические ряды и гипергеометрические функции матричного аргумента", J. Прибл. Теория, 59, нет. 2, 224–246, 1989.
• Дж. Канеко, "Интегралы Сельберга и гипергеометрические функции, связанные с многочленами Джека", Журнал СИАМ по математическому анализу, 24, нет. 4, 1086-1110, 1993.
• Пламен Коев и Алан Эдельман, «Эффективное вычисление гипергеометрической функции матричного аргумента», Математика вычислений, 75, нет. 254, 833-846, 2006.
• Робб Мюрхед, Аспекты многомерной статистической теории, John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1984.

внешняя ссылка

• Программа для вычисления гипергеометрической функции матричного аргумента пользователя Plamen Koev.