Безусловная сходимость - Unconditional convergence

В математика, конкретно функциональный анализ, серия безусловно сходящийся если все переупорядочения ряда сходятся к одному и тому же значению. Напротив, серия условно сходящийся если он сходится, но не все разные порядки сходятся к одному и тому же значению. Безусловная сходимость эквивалентна абсолютная конвергенция в конечномерный векторные пространства, но это более слабое свойство в бесконечных измерениях.

Определение

Позволять ${\displaystyle X}$ быть топологическое векторное пространство. Позволять ${\displaystyle I}$ быть набор индексов и ${\displaystyle x_{i}\in X}$ для всех ${\displaystyle i\in I}$.

Сериал ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ называется безусловно сходящийся к ${\displaystyle x\in X}$, если

• набор индексации ${\displaystyle I_{0}:=\{i\in I\mid x_{i}\neq 0\}}$ является счетный, и
• для каждого перестановка (биекция ) ${\displaystyle \sigma :I_{0}\to I_{0}}$ из ${\displaystyle I_{0}=\{i_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ имеет место следующее соотношение: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{\sigma (i_{k})}=x}$

Альтернативное определение

Безусловная сходимость часто определяется эквивалентным образом: ряд безусловно сходится, если для каждой последовательности ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }}$, с ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}}$, сериал

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$

сходится.

Если Икс это Банахово пространство, каждый абсолютно сходящийся ряд безусловно сходится, но разговаривать импликация вообще не выполняется. Действительно, если Икс является бесконечномерным банаховым пространством, то по Теорема Дворецкого – Роджерса в этом пространстве всегда существует безусловно сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся. Однако когда Икс = р^п, посредством Теорема рядов Римана, сериал ${\displaystyle \sum x_{n}}$ безусловно сходится тогда и только тогда, когда оно сходится абсолютно.

Смотрите также

• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Теорема рядов Римана
• Теорема Дворецкого – Роджерса
• Перестановки и безусловная сходимость

Рекомендации

• Гл. Хайль: Учебник по основам теории
• Кнопп, Конрад (1956). Бесконечные последовательности и серии. Dover Publications. ISBN  9780486601533.
• Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов. Dover Publications. ISBN  9780486661650.
• Войтащик П. (1996). Банаховы пространства для аналитиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521566759.

В этой статье использованы материалы из Безусловная сходимость на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.